بخشی از مقاله
*** اين فايل شامل تعدادي فرمول مي باشد و در سايت قابل نمايش نيست ***
مدلسازي رفتاري ويسکو-هايپرالاستيک لاستيک ها همراه با نرخ کرنش در بارگذاري کشش تک محوره
چکيده
توصيف تغييرشکل هاي بزرگ همراه با نرخ کرنش در لاستيک هاي تراکم ناپذير با معادلات ساختاري ويسکو-هايپرالاستيک تراکم ناپذير بيان مي شود. به دليل وجود تغيير شکل هاي بزرگ و همين طور اثرات زماني ناشي از رفتار ويسکوز توصيف رفتار اين مواد به طور دقيق ممکن نشده است . به همين منظور روش هاي متفاوتي براي توصيف هر چه بهتر رفتار اين مواد ارائه شده اند. در اين مقاله و براي رسيدن به روابط ساختاري، روابط ساختاري به دو بخش تقسيم مي شوند، بخشي براي مطالعه مشخصه رفتاري شبه استاتيکي هايپرالاستيک جسم مي باشد که مي توان از توابع انرژي مربوط به هايپر الاستيک براي توصيف آن استفاده کرد و بخش ديگر که به نرخ کرنش بستگي دارد و بيانگر سابقه کرنش و تغيير شکل مي باشدکه از انتگرال هاي فانکشنالي مربوط به ويسکو الاستيک استفاده شده است . در به کار بردن فانکشنال مربوطه از دو زمان وارهيدگي براي تنش وابسته به نرخ کرنش استفاده شده است که اين زمان هاي وارهيدگي با فاکتورهاي وزني به يکديگر مرتبط مي شوند. در نهايت کل تنش به صورت مجموع تنش ها از دو بخش هايپرالاستيک و ويسکوالاستيک به دست مي آيد. در بخش مربوط به هايپرالاستيسيته از تابع انرژي چند جمله اي استفاده شده است که تابعي از ناورداهاي تانسور تغيير شکل چپ کوشي - گرين مي باشند. در بخش مربوط به ويسکوالاستيک ، فانکشنال مربوطه به صورت حاصلضرب توابعي از ناورداهاي تانسور تغيير شکل چپ کوشي - گرين و همين طور نرخ کشيدگي ها در نظر گرفته مي شود. با مقايسه با داده هاي تجربي صحت و دقت روش مذکور در توصيف رفتار ويسکو-هايپرالاستيک لاستيک ها همراه با اثر نرخ کرنش بررسي مي گردد.
واژه هاي کليدي: ويسکوهايپرالاستيک- تغيير شکل هاي بزرگ- لاستيک- نرخ کرنش
مقدمه
لاستيک ها به طور گسترده به عنوان عايق ارتعاشي ، قطعات ذخيره کننده انرژي در صنايع اتومبيل ، سپر و حايل در قطعاتي که در معرض بارهاي ضربه اي قرار دارد و ساير موارد به کار مي روند. رفتار مکانيکي مواد را مي توان بسته به نوع ماده و کاربردي که براي آن در نظر گرفته شده، تحت عناوين مختلفي دسته بندي نمود. بسياري از مواد مورد استفاده در شاخه هاي مهندسي و فيزيک غيرالاستيک بوده و در هر تغيير شکل مجاز، تلف کننده انرژي مي باشند. در مواردي که تغييرشکل و بارگذاري بزرگي بر يک قطعه اعمال مي گردد، بايد طراحي مناسبي نيز براي توليد آن در نظر گرفته شود. در شرايطي نيز لازم است استفاده بهينه از ماده تضمين شود تا از تغييرشکل غير قابل قبول و يا شکست قطعه در خلال عملکرد پرهيز شود. تحليل رفتار اين مواد با در اختيار گذاردن روش هايي براي تحليل تنش و کرنش رفتارهاي ماده مورد نظر فراهم مي گردد. اساسا اين مساله نيازمند برخي فرم هاي تئوري براي مدل کردن رفتار ماده، تکنيک هاي تجربي براي اندازه گيري پارامترهاي آن و روش هايي براي انجام محاسبات مربوط به يک کاربرد خاص مي باشد. وقتي رفتار ماده مي تواند به خوبي با تئوري خطي الاستيسيته يا يکي از تئوريهاي پلاستيسيته بيان گردد، تئوري هاي مناسبي موجود و معمول است . در مورد رفتار ويسکوالاستيک خطي نيز روش هاي تجربي ورياضي زيادي موجود بوده ولي حل مسائل به مراتب مشکل تر است . با افزايش کاربرد مواد ويسکوالاستيک و سازه هاي پيشرفته در صنايع مختلف و نياز به تحليل رفتار آنها، تحليل هاي غير خطي مورد توجه اغلب محققين قرار گرفته است . طبيعت غير خطي معادلات حاکم و عدم دسترسي به معادله رفتاري ماده- که بتواند رفتار ماده را به درستي توصيف نمايد- دو مشکل عمده در حل مسائل مقدار مرزي غير خطي مي باشند. با توسعه و گسترش کامپيوترها و پيشرفت روز افزون روش هاي عددي از جمله روش اجزاء محدود، مشکل اول تا حدودي بر طرف شده است ولي مشکل دوم همچنان باقي مانده است . دسته هاي مختلفي از مواد مثل ، الاستومرها، پليمرها، فوم ها و بافت هاي بيولوژيکي قابليت تغيير شکل هاي بزرگ ويسکوالاستيک را دارند. مهمترين و واضح ترين خاصيت فيزيکي لاستيک ها و مواد لاستيک -مانند، ميزان کشش پذيري زياد آن ها تحت تنش هاي کم ( در مقایسه با مواد جامدی مثل فلزات ) و و ابستگی تنش به تاریخچه کرنش میباشد . ماکزیمم مقدار کشش معمولا در محدوده 5-10 (نسبت طول ثانويه به طول اوليه ) مي باشد و منحني تنش -کشش غير خطي است ، لذا ماده از قانون هوک تبعيت نمي کند. براي کشش هاي کوچک مي توان شيب منحني را به عنوان مدول الاستيسيته تعريف کرد که در حدود MPa ١ است . کشش پذيري زياد و مدول الاستيسيته پايين لاستيک ها در مقايسه با جامداتي مثل فلزات که مدول الاستيسيته آن ها حدود 200GPa و ماکزيمم کشش پذيري آن ها حدود ١..١ است باعث مي شود تا اختلاف چشمگيري بين لاستيک ها و جامدات سختي مثل فلزات وجود داشته باشند. رفتار غيرخطي مواد لاستيک- مانند مي تواند با استفاده از توصيف فيزيکي اثر متقابل مولکول ها و با استفاده از تئوري هايي مثل تئوري کلاسيک گوسي ، تئوري باند هاي لغزشي ، تئوري شبکه ماکرو مولکولي ، که توسط افرادي چون ترلور (Trelore)، بويس و ارودا (Boyce&Arruda)، بيشاف و همکارانش ، ميسنر و ماتجکا بحث شده است [٢,١]، توصيف شود و يا با استفاده از روش هايي که مبتني بر پديده شناسي مي باشند، توصيف گردد. توابع انرژي که با استفاده از روش هاي مولکولي فرمول بندي مي شوند معمولا پيچيده بوده و مخصوص ماده خاصي مي باشند. ولي در روش هاي مبتني بر پديده شناسي ، ماده به صورت يک محيط پيوسته فرض مي شود و يک تابع چگالي انرژي کرنشي استخراج مي گردد که معمولا بر حسب ناورداهاي تغيير شکل مي باشند. جهت نشان دادن رفتار غير خطي ماده معمولا به چندين ثابت مادي نياز است . اين ثوابت با استفاده از نتايج تجربي آزمايش هاي انجام شده روي ماده تعيين مي گردند.
تئوري معادلات ساختاري ويسکوالاستيسيته در کرنش هاي بزرگ توسط کولمن (Coleman) و نال (Noll) ارائه گرديد و مبناي مهمي براي مدل کردن رفتار وابسته به نرخ ماده به شيوه پديدهاي قرار گرفت [٤,٣]. در اين زمينه تئوري کلي با استفاده از فانکشنال هايي (Functional) با حافظه کمرنگ شونده (Fading memory) فرمول بندي شده است . صورت هاي ديگري از تئوري کلي توسط پژوهشگران ديگر نظير شاپري (Shapery)، هوبر (huber) و ساکمیماکیس ، هاپت ، دروزودف ، کریستیانسن پیشنهاد گردید [5-7]
یکی از معروفترين مدل ها، مدل BKZ است که در واقع دسته اي از انتگرال هاي مناسب را براي مدل ويسکوالاستيک بيان مي کند، که آخرين بار توسط تانر (Tanner) در سال ١٩٩٨ بازنگري شده است .
در اين دسته تئوري ها تنش به يک تنش تعادلي و يک تنش اضافي ناشي از ويسکوزيته تفکيک مي گردد. تنش تعادلي پاسخ ماده را در يک نرخ کرنش بسيار آهسته بيان مي دارد. تنش مازاد به صورت انتگرالي بر روي تاريخچه کرنش بيان شده و يک تابع وارهيدگي به عنوان معياري براي حافظه ماده مشخص مي گردد. تابع وارهيدگي مي تواند به صورت يک تابع نمايي به کار گرفته شود. در حالت ويسکوالاستيک تابع وارهيدگي به صورت سري نمايي از پاسخ هاي استراحت مي باشد[٧]:
در پژوهش هاي اخير، تابع انرژي هايپرالاستيسيته به صورت والانيس -لاندل و مدل ويسکو الاستيک به صورت خطي در نظر گرفته شده است . در بررسي ويسکو-هايپرالاستيک، در سال ٢٠٠٤، پژوهش هايي توسط يانگ (Yang) و شيم (Shim) صورت گرفته است ، که درپژوهش مذکور ١=N در نظر گرفته شده بود.[٥]. اما در زمينه ويسکو-هايپرالاستيک با ٢=N پژوهشي صورت نگرفته است که در اين مقاله به آن خواهيم پرداخت .
در اين مقاله ، روابط ساختاري که قابليت به کارگيري در نرخ کرنش هاي متفاوت را داشته باشد براي مواد ويسکو- هايپرالاستيک تراکم ناپذير ارائه شده است . روابط ساختاري براي اين مواد بر مبناي مدلي ارائه شده که در اين مدل فنر تعادلي هايپرالاستيک به المان ماکسولي به صورت موازي وصل شده است . المان ماکسول وابستگي به زمان را ايجاد مي کند. وابستکي به زمان المان ماکسول ناشي از وجود يک دمپر ويسکوز غيرخطي مي باشد. اين دمپر به فنر هايپرالاستيک واسطه به صورت سري متصل است و مجموع اين دمپر غير خطي و فنر واسطه هايپرالاستيک ، المان ماکسول را تشکيل مي دهد. مدل به کار رفته در شکل -١ نشان داده شده است . همان طور که ملاحظه مي شود تنش کوشي کلي برابر است با . در مدل به کار رفته ، ابتدا روابط شبه استاتيکي هايپرالاستيک براي لاستيک ها بيان مي شود. سپس روابط ساختاري ويسکوالاستيک بيان مي گردد. در نهايت با ترکيب اين دو، روابط ساختاري ويسکو- هايپرالاستيک تراکم ناپذير با در نظر گرفتن اثر نرخ کرنش به دست مي آيد.
هايپرالاستيسيته
حالت خاص از الاستيسيته کوشي ، هايپرالاستيسيته يا لاستيسيته گرين نام دارد. در اين تئوري فرض بر اين است که تابع انرژي کرنشي يا تابع انرژي ذخيره شده در فضاي گراديان هاي تغيير شکل به صورتي تعريف شود که براي مواد بدون قيد روابط زير برقرار باشد:
S تانسور تنش نامي است و σ تانسور تنش کوشي است . در فرمول بالا F، تانسور گراديان تغيير شکل و J دترمينان F مي باشد. در واقع ماده اي هايپرالاستيک يا مستقل - از مسير ناميده مي شود که کار انجام شده توسط تنش ها در فرآيندهاي تغيير شکل تنها به پيکربندي اوليه در زمان t٠ و پيکربندي نهايي در زمان t بستگي داشته باشد. رابطه زير از مستقل از مسير بودن ناشي مي شود:
(2)T تانسور تنش دوم پيولا-کيرشهف ، E تانسور کرنش گرين و عملگر : بيانگر تريس ماتريس حاصلضرب دو ماتريس است .
ذره اي را که ابتدا در مختصات مادي X قرار دارد در نظر بگيريد، با جابجايي اين ذره به موقعيت جديد x پس از تغيير شکل ، گراديان تغيير شکل ،F ، به صورت زير تعريف مي شود:
با استفاده از F، تانسورهاي تغيير شکل کوشي -گرين چپ و راست را به ترتيب به صورت زير بيان مي گردند:
همچنين تانسور کرنش گرين به صورت زير بيان مي شود:
سه ناورداي تانسور B، به صورت زير خواهند بود:
درلاستيک هاي تراکم ناپذير، 1=I فرض مي شود و با استفاده از روش ريويلين (Rivlin) [٤] ، رابطه ساختاري براي مواد هايپرالاستيک تراکم ناپذير و همسانگرد به صورت زير بيان مي شود:
که Pe، فشار مي باشد و بيانگر تنش کوشي است و داريم :
تابع انرژي پتانسيل کرنشي مي باشد که به صورت چند جمله اي براساس در نظر گرفته مي شود.
که مقدار ثابت هايي هستند که با مقايسه با نتايج آزمايش به دست مي آيند. بارگذاري به صورت کشش تک محوره در نظر گرفته مي شود، ميزان کشيدگي در جهت بارگذاري ، فرض مي گردد وکشيدگي هاي اصلي مي باشد در حالت بارگذاري کشش تک محوره، C =B مي باشد. در اين حالت گراديان تغيير شکل F و تانسور تغيير شکل چپ کوشي - گرين B به صورت زير بيان مي شوند:
ناورداهاي B به صورت زير به دست مي آيند:
با استفاده از معادلات (٩) و (١١) تنش کوشي به صورت زير به دست مي آيد:
که :
. تنش کوشي در حالت شبه استاتيک مي باشد. فشار هيدرواستاتيک با استفاده از شرط ورابطه به دست مي آيد:
رابطه ساختاري در حالت بارگذاري تک محوره بر حسب کشيدگي ها به صورت زير به دست مي آيد:
رابطه کشيدگي و کرنش مهندسي در جهت نيروي تک محوره اعمال شده، به صورت مي باشد. در حالت شبه استاتيکي (Quasi-static) آزمايش با نرخ کرنش انجام مي شود. داده هاي تجربي مورد استفاده، از نمودارهاي تنش -کرنش در حالت استاتيکي و براي لاستيک SHA٣٠ استخراج شده است .[5]
با استفاده از روش حداقل کردن مربعات خطاها مقادير A٥, A٤ , A٣ , A٢ ,A١ به دست مي آيد. مقادير A٥, A٤ , A٣ , A٢ ,A١ در جدول.١ آمده است . در يافتن اين ضرايب فرض مي شود در نرخ کرنش هاي پايين پاسخ ماده مستقل از نرخ زماني مي باشد. مقايسه بين منحني هاي تجربي و مدل به کار رفته ، در نمودار تنش کوشي بر حسب کرنش مهندسي ، در شکل - ٢ آمده است و نشانگر نزديکي نتايج تجربي و مدل به کار رفته مي باشد، لذا صحت روابط ساختاري هايپرالاستيک پيشنهاد شده مورد تاييد قرار مي گيرد.
