بخشی از مقاله
چکیده
در این تحقیق, با استفاده از تئوریهای الاستیسیته غیر محلی, گرادیان کرنش اصلاحشده و زوج تنش اصلاحشده ارتعاشات آزاد ترمومکانیکی دو نانو ورق نازک مستطیلی ویسکوالاستیک که توسط محیط ویسکوپاسترناک به یکدیگر کوپل شدهاند بررسیشده است. ازطرفی مدل کلوین ویت برای نشان دادن اثر ویسکوالاستیک سازه و بستر استفاده شده است. معادلات حاکم بر حرکت با استفاده از اصل همیلتون برای سه حالت مختلف ارتعاشات شامل: وقتیکه دو ورق همجهت حرکت میکنند, در جهت مخالف حرکت میکنند و نهایتاً حالتی که یکی از ورقها ساکن باشد, استخراج شدهاند. شرایط مرزی تکیهگاه ساده, برای تمام لبههای ورقها استفاده شده است. روش تحلیلی ناویر برای بدست آوردن یک فرم بسته برای فرکانس سیستم استفاده شده است. همچنین فرض شده که هر نانوورق ترکیبی از فلز و سرامیک باشد که میتواند دو خاصیت مطلوب مقاومت مکانیکی بالا و مقاومت حرارتی قوی را بهطور همزمان داشته باشد. توزیع خواص بین دولایه با استفاده از قانون توانی در جهت ضخامت در نظر گرفته شده است. از طرفی اثرات سطحی شامل الاستیسیته سطحی, تنش پسماند و چگالی سطحی برای برقراری تعادل در سطح بالا و پایین هر نانوورق در نظر گرفته شده است.
-1 مقدمه
بررسی ارتعاشات صفحهها یک مورد مهم از ارتعاشات مکانیکی است. معادلات حاکم بر حرکت صفحات سادهتر از دیگر اشکال هندسی سهبعدی است چون یکی از ابعاد صفحات نسبت به دو بعد دیگر بسیار کوچک است. بر اساس نسبت ارتفاع به سایر ابعاد، آنها را به دودسته صفحات نازک و ضخیم تقسیم می کنند.
الف - صفحات نازک، صفحههایی اند که نسبت ضخامت آنها به دیگر ابعاد کمتر از 0,1 باشد. نظریه حاکم بر این صفحات نظریه کلاسیک یا کیرشهف1 میباشد که به علت نازکی صفحات از جابجایی برشی عرضی و اینرسی دورانی صرفنظر شده است. یعنی صفحات عمود بر صفحه میانی - صفحه خنثی - بعد از تغییر شکل صفحه عمود بر صفحه باقی میمانند تنش عمودی در جهت ضخامت در مقایسه با دیگر تنشها قابل صرفنظر کردن بوده و ممان اینرسی صفحه در امتداد طول و عرض صفحه ناچیز است. با افزایش ضخامت صفحه دقت نتایج این نظریه کم میشود.
ب - صفحات ضخیم، صفحاتیاند که نسبت ضخامت آنها به دیگر ابعاد بیشتر از 0,2 باشد. نظریههای مربوط به این نوع از صفحات نظریه میندلین1 ، اول و سوم برشی و یا الاستیسیته سهبعدی است. این نکته را باید متذکر شویم که اگر نظریههایی که برای صفحات ضخیم بکار می برند برای صفحات نازک هم به کار ببرند همان جواب نظریههای مربوط به صفحات نازک را میدهد. بنابراین بهصرفهتر است که در صفحات نازک از نظریه کلاسیک استفاده کنیم. اثرات تغییر شکل برشی وقتیکه صفحه ضخیم باشد مهم هستند. تاکنون تحقیقهای فراوانی برای بررسی ارتعاشات نانو ورقهای نازک [7-1]و ضخیم[11-8] صورت گرفته است.
این نکته باید توجه شود که وقتی اندازه سازه کوچک میشود و به مقیاس نانو میرسد, تئوری الاستیسیته کلاسیک قادر نیست رفتار مکانیکی سازه را توضیح دهد به این دلیل تاکنون تئوریهای غیر کلاسیک مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته برای مدلسازی نانوساختارها ارائه شده است. یکی از این تئوریها, تئوری غیرمحلی ارینگن[13 ,12]2است. بر اساس این تئوری، اثر اندازه از طریق یک ضریب اضافی تحت عنوان پارامترغیرمحلی در معادلات ساختاری نمود پیدا میکند. این تئوری بیان میکند ک تنش در یک نقطه فقط تابع کرنش دران نقطه نیست بلکه تابع کرنش در تمام نقاط دیگر نیز است. بر اساس این تئوری, وانگ و وانگ [14]رفتار ارتعاشی یک ورق نازک و ضخیم مستطیلی را با در نظر گرفتن اثرات سطحی بررسی کردند و نشان دادند که فرکانس با افزایش پارامتر غیرمحلی کاهش مییابد. همچنین آنها نشان دادند که وقتی اندازه طول ورق افزایش مییابد اثرات سطحی بر فرکانس ارتعاشی کاهش پیدا میکند. اکسنسر و ایدوگ [15] با استفاده از تئوری غیرمحلی اثرات اندازه بر نیروهای کمانش و فرکانسهای طبیعی یک ورق مستطیلی را برای شرایط مرزی متفاوت بررسی کردند. بر اساس تئوری غیر محلی, فاضل زاده و پوراسماعیلی [16]ارتعاشات ترمومکانیکی دو نانوورق که توسط یک محیط الاستیک به یکدیگر کوپل شدهاند را با استفاده از حل ناویر آنالیز کردند. همچنین یک حل عددی به نام ریلی ریتز برای بدست آوردن فرکانسهای طبیعی یک نانوورق مستطیلی استفاده شده است بر اساس تئوری غیرمحلی ارینگن توسط چکراورتی و بهرا ,[17] زنکور و سبحی [18] اثرات اندازه را بر کمانش حرارتی یک نانو گرفن3 که روی یک محیط الاستیک قرار دارد را با استفاده از تئوری غیرمحلی بر میدان جابجایی سینوسی تحلیل کردند. یک سیستم چند لایه ورقی که بهصورت زنجیره نانوورقی که درانها نانوورقها با پیوندهای واندروالس به یکدیگر کوپل شدهاند در دو حالت زنجیره باز و بسته در محیط الاستیک انجامشده است بهوسیله کارلیکیچ و همکاران [19]ارائه کردند، در این مقاله حل دقیقی بر اساس روش مثلثاتی برای یافتن فرکانس طبیعی و نیروی کمانش سیستم ارائه شده است. شهیدی و همکاران [20] یک مدل غیرمحلی را برای آنالیز ارتعاشات یک نانوورق غیریکنواخت توسعه دادند و با استفاده از روش المان محدود و توابع ریلی ریتز1 فرکانسهای طبیعی را بدست آوردند. پرادهان و کومار [21] تأثیر مقیاسهای کوچک بر ورقهای گرافنی ارتوتروپیک با استفاده از تئوری غیرمحلی و روش مربع سازی دیفرانسیلی2 را تجزیه وتحلیل کردهاند. در این کار اثرات پارامترغیرمحلی و خواص ماده و شرایط مرزی و نسبت ابعاد بروی فرکانس طبیعی بررسیشده است.
همانگونه که در شکل - 1-3 - مشاهده میشود, دو نانوورق ویسکوالاستیک با طول L و عرض b و ضخامت یکنواخت h توسط یک محیط ویسکوپاسترناک به یکدیگر کوپل شدهاند. همانطور که در شکل نشان دادهشده است میرایی و سختیهای خطی و برشی به ترتیب c و k و k2 در نظر گرفتهشده است. همچنین سیستم در یک محیط دمایی قرارگرفته است. از طرفی جابجایی هر ورق با w1 - x,y,t - و w2 - x,y,t - نشان دادهشده است. میرایی سازه را نیز با g نشان دادیم. در هر نانوورق, مواد در سطح بالا h و در سطح پایین h به ترتیب فلز و سرامیک در نظر گرفتهشدهاند. بههرحال ما فرض کردیم که خواص مواد مثل مدول یانگ , E - z - چگالی , - z - ضریب انبساطی - z - بهطور پیوسته در جهت ضخامت بر اساس قانون توانی متغیر باشند.
