بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مدل هاي ارائه شده براي معادلات جریان تراکم پذیر دوفازي
چکیده
هدف از نگارش این مقاله بررسی مدل هاي مختلف ارائه شده براي معادلات جریان تراکم پذیر دوفازي می باشد . جریان دوفاز تراکمپذیر کاربرد وسیعی از جمله در نازلها ، شیرهاي انبساط ، خطوط انتقال گاز و اتصالات و لولههاي وانروال بویلرها دارد . معادلات مختلفی جهت حل عددي جریان هاي تراکم پذیر دوفازي بکار می رود ، براي تحلیل عددي جریان هاي دو فاز تراکم پذیر ، ابتدا می بایستی براي این نوع جریان مدلی را ارائه و سپس متدي را نیز جهت تحلیل عددي آن پیشنهاد داد . انتخاب نوع معادلات جریان دوفازي در فرایند حل عددي و همگرایی نتایج مهم می باشد ، این معادلات باید طوري انتخاب شوند که هم از لحاظ زمانی زودتر به نتیجه برسد و هم تمام مشخصات فیزیکی مسئله را در بر بگیرد و هم اینکه دقت نتایج قابل قبول باشد . در این یادداشت روش هاي گوناگون مدل سازي معادلات جریان دوفاز تراکم پذیر شامل مدل هاي کلاسیک ، مدل هفت معادله اي و مدل ساده شده پنج معادله اي بیان شده و درباره آن ها بحث و مقایسه صورت پذیرفته تا در حل مسائل جریان تراکم پذیر دوفاز بهترین مدل را انتخاب نموده و سپس در ادامه با توجه به مدل خود در پی ارائه روش حل عددي براي آن باشیم . در اینجا با مقایسه نتایج و دقت آن ها متوجه می شویم مدل پنج معادله اي جریان تراکم پذیر از لحاظ هزینه و دقت و صرفه جویی زمانی بهینه می باشد .
واژههاي کلیدي: معادلات کلاسیک ، جریان تراکم پذیر،دوفازي،حل عددي،معادلات غیر کنسرواتیو.
-1 مقدمه:
جریان تراکم پذیر چند فاز در خیلی از جاها که سیالات داراي مشخصه هاي فیزیکی و یا خواص ترمودینامیکی متفاوتی می باشند و یا در دو سیال که از طریق یک سطح مشترك از هم جدا شده باشند دیده می شود . مثلا در سطح مشترك بین هوا و هلیم تحت موج شوك ویا رفتار حباب گازي در یک مایع تحت موج شوك .
مدل سازي جریان دوفاز عموما بر اساس فرایند متوسط گیري می باشد [1]،. [2] در حالت کلی این تکنیک متوسط گیري مدلی را بر اساس ویژگی هاي دو معادله سرعت و فشار متفاوت براي هر فاز بعلاوه چند معادله دیگر تولید می کند .
خیلی از تحلیل هاي عددي این نوع از جریان ها که بر اساس معادلات اویلر یا ناویر استوکس هستند توسط یک یا چندین معادلات کنسرواتیو جزئی تقویت شدند تا معادلات حالت مناسب تري در بین سطح مشترك مورد استفاده قرار گیرند . تمام این روش هاي عددي کلاسیک باعث تولید دیفیوز (پخش) فرضی1 در اثر تماس هاي غیر پیوسته2 می شود که در نهایت موجب مخلوط فرضی سیال در سطح مشترك می شود . با این روش در این مخلوط فرضی مقادیر فشار و دما بدرستی محاسبه نمی شوند . هنگامی که خواص سیستم به هم نزدیک است ( تغییرات چگالی کم و تغییرات مربوط به معادله هاي حالت هم کم باشد) روش هاي کلاسیک انحراف ناچیزي دارند . اما در خیلی از موارد خواص سیال ها خیلی متفاوت از هم اند ، یعنی می توان گفت تفاوت زیادي در مقدار چگالی دارند ، بعنوان نمونه می توان سطح مشترك جدا کننده ي مایع و گاز را در نظر گرفت و یا در خیلی از کاربرد ها مثل احتراق ، سطح بین جامد و گاز . تحت این شرایط روش هاي کلاسیک که شامل معادلات کنسرواتیو هستند ساز گاري خوبی ندارند .آبگرال[3] ، کارنی[4] ، آبگرال[5] نشان دادند حتی هنگامی که خواص سیال بهم نزدیک هستند روش هاي استاندارد بر پایه همان معادلات جزئی کنسرواتیو خطاهاي زیادي در محاسبات مربوط به فشار و سرعت نشان می دهند .
-2 معادلات کلاسیک جریان تراکم پذیر دوفازي
در تحلیل هاي عددي جریان چند جزئی بعنوان نمونه در مسائل احتراق مدلی که اغلب استفاده می شود بر حسب معادلات کسر جرمی و فشار جزئی می باشد .اما مفهوم فشار جزئی فقط در تعادل ترمودینامیکی محلی3 صادق است ، هنگامی که حجم کنترل شامل گاز هایی است که بطور کامل با هم مخلوط شده اند و این فرضیه در خیلی از جاها صادق است بدلیل اینکه تعداد برخورد بین این مولکول ها خیلی زیاد بوده و باعث می شود دما بسرعت همه جا یکنواخت شود (البته در غیاب عوامل غیر تعادلی نظیر واکنش هاي شیمیایی و ... ) . هنگامی که سیال ها از ابتدا با هم مخلوط نشده باشند ویا در حالت وجود سطح مشترك ، برخورد مولکول ها فقط در یک بخش نازکی از حجم کنترل صورت می گیرد (در همان سطح مشترك) . در نتیجه هر سیال دماي خاص خود را دارد و فرضیه ي تعادل ترمودینامیکی دیگر صادق نخواهد بود . خطا هاي عددي که با استفاده از این فرض تولید می شود توسط آبگرال[3] نشان داده شده است . براي اینکه نشان دهیم وقتی از این مدل استفاده می کنیم چه اتفاقی می افتد یک مثال ساده اي را با استفاده از مفهوم کسر جرمی و فشار جزئی بکار می بریم .
حجم کنترلی به حجم V که توسط سیال 1 به حجم V1 و سیال 2 به حجم V2 پر شده است را در نظر بگیرید (شکل . (1 حجم Vk شامل جرمی مطابق رابطه ي M k n k Mˆ k می باشد که در آن nk و Mˆ k به ترتیب برابر با تعداد مول ها و جرم مولی سیالK( K 1or 2 ) می باشند . فرض فشار جزئی براساس معادلات ترمودینامیکی می باشد ، در این مسائل ساده شده این فرض باعث می شود که تعادل دمایی محلی را در نظر بگیریم ؛ . Tk T فشار جزئی Pp1 برابر با فشاري است که سیال 1 تمام حجم V را اشغال کند . برطبق این فرض تمام سیال تابع قانون گاز ایده آل می باشد و با فرض Rˆ بعنوان ثابت مولار گازي (ثابت آووگادرو) داریم :
حداکثر فشار با تعریف می شود . معادله (1) را می توان به فرم زیر نوشت :
که بیانگر چگالی جزئی می باشد ، چگالی که سیال K در صورت اشغال تمام حجم V خواهد داشت . R نشان دهنده ثابت گازبر واحد جرم است . چگالی مخلوط برابر است با
ساده تر است که کسر جرمی را به فرم بیان کنیم . در نتیجه براي فشار داریم :
که در آن برابر ثابت گاز می باشد همچنین
حال تصور کنید حجم کنترل V مربوط می شود به سلول مورد محاسبه در ناحیه دیفیوز (پخش ) عددي ، تماس غیرپیوسته و یا در سطح مشترك . به عنوان مثال سیال 1 را هوا و سیال 2 را آب مایع در نظر بگیرید ، هیچ دلیلی ندارد که هنگام فرایند دیفیوز عددي ، روش محاسباتی ، دماي این دو سیال در حال تعادل باشد . به همان ترتیب اگر هر دو سیال گاز هم بود همان نتایج حاصل می شد .
اما معادلات اویلر و ناویر استوکس دماي یکسانی را براي مخلوط در نظر می گیرند و مجبور می کند که دو سیال را در حالت تعادل حرارتی در نظر بگیریم اگرچه به لحاظ فیزیکی غیر ممکن است .
به خاطر همین دلایل بدنبال چیز دیگري هستیم که با شرایط کار در جریان دوفاز سازگار باشد .
این نظریه بر اساس مفهوم کسر حجمی بنا نهاده شده ؛ چگالی مخلوط بصورت بدست می آید وو
چگالی هر فاز بصورت تعریف می شود . فشار جزئی هر فاز برابر و فشار مخلوط برابر است با :
توجه داشته باشید هنگامی که دما در حالت تعادل است Tk T و فشار داده شده توسط معادله (4) برابر با فشار حاصل از رابطه (3) می باشد .
مزیت فرموله کردن معادلات بر اساس کسر حجمی خیلی روشن است ؛ براي محاسبه فشار نیازي نیست که تعادل دمایی برقرار باشد . به عبارت دیگر این طرز فرمول نویسی علم ما را در خصوص دما ، چگالی و انرژي داخلی آن ها افزون می کند . در نتیجه نیاز به مدلی داریم که این متغیر ها را در نظر بگیرد ، یعنی نوشتن معادلات کلاسیک به فرم کسر حجمی . مثلا براي تحلیل جریان یک بعدي و غیر آیزنتروپیک در جریان دوفاز حداقل نیاز به هفت معادله داریم (دو معادله جرم ، دو معادله مومنتوم ، دو معادله انرژي (فشار) و بعلاوه یک معادله کمکی که در واقع همان معادله کسر حجمی می باشد ) .
این نوع از مدل هفت معادله اي براي مدت طولانی شناخته شده بود [6] ،[7]، . [8] اما خب این معادلات نسبت به سیستم کلاسیک شش معادله اي داراي مزیت هایی هستند : کاملا هایپربولیک هستند ، این معادلات می توانند در مخلوطی از فازها همانطور بکار روند که در مسائل سطوح مشترك سیال خالص بکار می روند و همچنین به دلیل اینکه هر فاز داراي معادلات خاص خودش می باشد می تواند براي سیالات با خواص ترمودینامیکی متفاوت نیز بکار رود . این معادلات به علت شامل بودن تعداد زیادي از امواج و حساس بودن نسبت به روند ساده سازي ، بطور کلی داراي حل عددي پیچیده اي می باشند.
-3 مدل هفت معادله اي جریان تراکم پذیر دوفازي
در[9] مــدل هفـــت معادلـــه اي بیرنانزیـــاتو1 مــورد اســـتفاده قـــرار گرفتـــه اســت . بـــا مـــد نظـــر قــرار دادن متغیـــر هـــاي کنســـرواتیو این معادلات را به فرم زیر داریم :
که برابر کسر حجمی دوفاز بوده و چگالی دوفاز ، uk بردار سرعت و Pk فشار هر فاز می باشد ، همچنین برابر انرژي مخصوص کل و انرژي مخصوص داخلی هر فاز می باشد به ترتیـب مقـدار فشـار و سـرعت در سطح مشترك هستند ، که می توان برابر در نظر گرفت و یا مثل [9] برابر رابطه زیر در نظر گرفت :
براي کاربرد و استفاده بهتر از این معادلات می توان آن ها را با استفاده از متغیر هاي آنتروپیک باز نویسـی کـرد و همچنین ساختار این معادلات را به فرم کوازي لاینیر1 در آورد . اعمال عملیات جبري براي تبدیل این معادلات به فرم کوازي لاینیر در [9] آمده است ، در زیر هفت معادله به فرم جدید آنتروپیک نمایش داده شده است :
که در آن ak برابر سرعت صوت بوده و رابطه هاي زیر را هم داریم :
به دلیل پیچیده بودن و حجم بالاي محاسبات عددي با استفاده از روش هفت معادله اي ، نیاز یه یک مدل ساده تري احساس شد ، مـدلی که نه به سادگی مدل کلاسیک باشد و نه به پیچیدگی مدل هفت معادله اي باشد . همچنین به دلیل کمبود منابع کامپیوتري و به علت بزرگ بودن ناحیه ي پخش و دقت کم در نتایج در نتیجه نیاز به مدلی داریم که بیشترین مشخصه هاي فیزیکی مدل یا جریان سـیال را در بـر گیـرد . این مدل ، مدل پنج معادله اي ساده می باشد .
