بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحليل ميدان آکوستيک حاصل از جريان لايه اي تراکم پذير بر روي حفره
چکيده
هدف نهايي اين تحقيق تحليل عددي ميدان آکوستيک حاصل از جريان لايه اي تراکم پذير بر روي حفـره مـي باشـد. در ايـن مقالـه از روش عددي که داراي مزاياي زيادي براي مسايل آکوستيک مي باشد استفاده شده است . براي جلوگيري از بـالا رفـتن خطـا بـه علـت فشرده شدن شبکه در نزديک ديوار در جريان هاي لزج از نوع جديدي از روش که اين مشکل در آن حل شده است استفاده مي شود. با حل جريان لايه اي درون حفره مربعي توانايي روش براي حل مسايل لزج بررسي مي شود. در ادامه جريان بر روي حفره باز در اعداد ماخ پايين بررسي مي شود و ميدان آکوستيک آن محاسبه و با نتايج تجربي مقايسه خواهد شد.
۱. مقدمه
به صداي حاصل از حرکت وسيله نقليه صداي آيروديناميکي گفته مي شود. علت توليد صداي آيروديناميکي در اطراف خودرو را بايد در طبيعت ناپايدار جريان هوا در گردابه ها، زواياي تيز بدنه ، خلل و فرج و شکاف هاي موجود در بدنه جستجو کرد( از اين ميان نوسانات خودنگهدار١ که باعث توليد فرکانس هاي خالص مي شود از پيچيدگي بيشتري برخوردار است . اين نوسانات در حفره هاي بيروني بدنه خودرو و در صورت باز بودن شيشه در داخل اتاق آن ايجاد مي شود( نوسانات جريان تراکم پذير بر روي حفره نخستين بار توسط رزيتر٢ در سال ۱۹۶۴ مورد بررسي دقيق قرار گرفت که به آن مد لاية برشي ٣ گفته مي شود [-].
مد ديگري در لايه برشي مشاهده شده که کمتر مورد توجه قرار گرفته است . در يک تحقيق تجربي توسط آقاي قريب ٤ (۱۹۸۷) مد دنباله ٥ مشاهده شد، که در آن فرکانس هاي ايجاد شده مانند فرکانس هاي حاصل از دنباله يک جسم فربه ٦ مي باشد که با فرکانس هاي لاية برشي متفاوت است . مسايل آيرو-آکوستيک محاسباتي همواره مکاني براي رقابت روش هاي عددي بوده است ، به علت نياز به دقت عددي بسيار بالا حتي روش هايي که به خوبي مي توانند شاک را تسخير٧ کند هنگام رويارويي با امواج ضعيف آکوستيک به علت داشتن اتلاف هاي دروني توانايي تسخير کردن آنها را ندارد. به علت داشتن اتلاف هاي دروني ، بيشتر روش هاي عددي موجود را نمي توان در مسايل آکوستيک مورد استفاده قرار داد. از بين روش هاي قابل استفاده روش CE/SE داراي مزيت هاي زيادي است که ساير روش ها فاقد آن مي باشد.
روش CE/SE داراي قدرت تفکيک ٢ بالا و يک روش چند بعدي براي حل معادلات بقا است که توسط دکتر چنگ و همکارانشان در ناسا ايجاد شده است . از جمله ويژگي هاي اين روش مي توان به :
١) برخورد مشابه بين ترم زمان و ترم هاي مکان ،
٢) محاسبه دقيق شارهاي مکان - زمان ،
٣) متغيرهاي بقايي و گراديان هاي آنها به عنوان مجهول در نظر گرفته مي شود،
٤) استفاده از مش هاي غير ساخت يافته ،
٥) اتلاف عددي بسيار کم ،
٦) عدم استفاده از روش - هاي خاص مانند حل کننده ريمان ٤ ،
۷) عدم احتياج به ميان يابي و يا برون يابي براي محاسبه شارها،
۸) شرايط مرزي غير انعکاسي آسان و کارآمد، ۹) توانايي کار در تمام اعداد ماخ ٥ و
۱۰) عدم احتياج به مدل آکوستيک براي اين گونه مسايل ، اشاره کرد.
اين روش توانايي تسخير کردن ناپيوستگي هاي بزرگ (شاک ) و ناپيوستگي هاي کوچک (امواج صوتي ) را به طور هم زمان داراست که در نتيجه آن را به روشي مناسب براي مسايل ايرو آکوستيک ، بدون احتياج به مدل هاي آکوستيکي ، تبديل نموده است . يکي از دلايل اصلي موفقيت روش در حل مسايل مختلف برخورد کاملاً يکسان نسبت به ترم هاي مکان و زمان مي باشد، اين ويژگي در هيچ يک از روش هاي عددي گذشته وجود ندارد[.].
۲-روش عددي
معادلات حاکم فرم بي بعد معادلات نوير - استوکس ٦ دو بعدي براي يک گاز کامل به صورت بقايي را مي توان به صورت زير در نظر گرفت :
که U بردار متغيرهاي جريان ، G وF بردار شارهاي غيرلزج ، Gv وFv بردار شارهاي لزج مي باشد که :
که p فشار بي بعد سيال ، ρ چگالي و u,v مولفه هاي سرعت در راستاي x,y مي باشند. Et مقدار ويژه انرژي کل ١ که برابر
است با:
که γ نسبت گرماي ويژه مي باشد.
اگر فرض شود که x=x١،y =x٢ و t=x٣ مختصات يک فضاي سه بعدي اقليدسي E٣ باشد، آنگاه معادله (١) را مي توان به صورت زير بازنويسي کرد:
با استفاده از قضيه ديورژانس گاوس معادله (/) را مي توان به صورت زير نوشت :
که (S)V سطح يک ناحيه مکان - زمان V در فضاي E٣ مي باشد و ds=ndσ، که dσ و n مساحت و بردار عمود بر يک المان سطح است .
تعريف CE و SE
ناحيه دوبعدي مکاني را به گونه اي مثلث بندي کرده که مثلث ها بر روي يکديگر نيفتد. با توجه به شکل ١ يک مثلث دلخواه BDF با مرکز G را در نظر بگيريد، مرکز همسايه هاي اين مثلث را با C,A و F نشان مي دهيم . در شکل ٢ سه رأس مثلث به همراه مرکز همسايه هاي آن تشکيل يک شش ضلعي مي دهد که در پله زماني ١−n قرار گرفته است . نقاط ′A,B′,C′,D′,E′ و ′F تشکيل يک شش ضلعي در پله زماني n مي دهد. سيلندر ′ABCDEFA′B′C′D′E′F که معادلات بقا را بر روي آن ارضا کرده ، CE ناميده مي شود. نقاط ′′A,′B′,′C′,′D′,′E′ و ′′F در پله زماني ١+n قرار دارند. به مجموعه چهار صفحه ′′B′BGG′، ′′D′DGG′، ′F′′FGG′ و ′A′B′C′D′E′F که در شکل ٣ نشان داده شده است ، SE براي نقطه ′G ناميده مي شود.
براي داشتن دقت بالا در داخل هر SE براي پيدا کردن متغيرهاي جريان و شارهاي غيرلزج در هر نقطه از سري تيلور٢ درجه يک استفاده مي شود[.].
همان طور که از شکل ٢ مشخص است سطوح CE نقطه ′G از SE هاي سه همسايه آن و شش ضلعي ′A′B′C′D′E′F که متعلق به SE نقطه ′G مي باشد، تشکيل شده است .
از آنجايي که در روش CE/SE هم بردار متغيرها و هم گراديان هاي آن به عنوان مجهول در نظر گرفته مي شود و تعريف SE به گونه اي انجام شد که براي محاسبه شارها در سطوح هر CE احتياج به ميان يابي و يا برون يابي نمي باشد در نتيجه اتلاف هاي دروني کاهش مي يابد و خطاي روش کم تر مي شود[.].
محاسبه شارهاي لزج ، با توجه به اين امر که گراديان هاي متغيرها نيز به عنوان مجهول در نظر گرفته مي شوند ممکن مي باشد، جزئيات بيشتر در [.] آمده است .
رژه زماني ١ متغيرهاي جريان
با توجه به شکل ٢ تمام سطوح CE مربوط به پله زماني ١−n مي باشد به جز شش ضلعي ′A′B′C′D′E′F که در پله زماني n قرار گرفته است ، از آنجايي که مقادير متغيرهاي جريان و گراديان هاي آنها در زمان −n مشخص است پس شارهاي اين سطوح بدون احتياج به ميان يابي و يا برون يابي قابل محاسبه است . اما سطح بالايي که در زمان n قرار دارد داراي بردار عمود بر سطح (٠,٠,١) مي باشد، با توجه به معادله (١) مي توان نوشت :
که U بردار متغيرها در مرکز سطح ٢ شش ضلعي ′A′B′C′D′E′F مي باشد. پس با ارضا معادله (٢.٧) براي CE مي توان مقدار
U را به طور صريح ٣ محاسبه نمود.
محاسبه گراديان متغيرها
در حالت کلي که مثلث ها يکسان نمي باشد مرکز سطح شش ضلعي ′A′B′C′D′E′F با مرکز سطح مثلث ′A′C′E بر روي يکديگر نمي افتد. مثلث ′A′C′E را موازي با محورهاي x,y به طوري جابجا کرده ، که مرکز سطحش بر روي مرکز سطح شش ضلعي ′A′B′C′D′E′F قرار گيرد. اين مثلث جديد را ∗A∗C∗E مي ناميم ، مختصات رئوس اين مثلث با توجه به مختصات رئوس ′A′C′E و مرکز سطح ′A′B′C′D′E′F قابل محاسبه است . از آنجايي که هر راس مثلث ∗A∗C∗E در SE متناظر خود قرار دارد مي توان متغيرهاي جريان را در رئوس اين مثلث با داشتن مقدار U از پله زماني قبل محاسبه کرد. به عنوان نمونه مقدار U در نقطه ∗A از روي مقدار متغير جريان در پله زماني قبلي يعني در نقطه A با استفاده از سري تيلور قابل محاسبه است .
مي توان مقدار Ux و Uy را با استفاده تفاضل مرکزي در سه نقطه محاسبه کرد، اما اگر ناپيوستگي ها در ميدان جريان وجود داشته باشد نوسانات غيرفيزيکي در اطراف اين ناپيوستگي ها ايجاد مي شود. هرچه اين ناپيوستگي ها قوي تر باشد دامنه نوسانات ايجاد شده بيشتر خواهد شد. اگر در اعداد ماخ پايين محاسبات انجام شود ناپيوستگي هاي قوي مانند شاک ها وجود ندارد اما وجود امواج آکوستيک هم باعث ايجاد اندکي نوسانات ناخواسته در ميدان جريان مي شود که اين امر مطلوب نمي باشد پس بايد به گونه اي اين نوسانات عددي ناخواسته را حذف نمود تا محاسبات عددي هرچه بيشتر به واقعيت نزديک باشد.
مثلث هاي را در نظر بگيريد، مقدار متغيرهاي جريان در نقاط مشخص است و مقدار متغيرهاي جريان در نقطه ′G در قسمت قبلي مقاله محاسبه شد. پس در هر يک از اين سه مثلث مي توان مقدار گراديان متغيرهاي جريان را با استفاده از تفاضل مرکزي محاسبه کرد، که آنها را به ترتيب با Ux١ وUy١ براي ، Ux٢
وUy٢ براي نشان مي دهيم . با استفاده از اين سه گراديان مي توان يک ميانگين وزني براي پيدا کردن گراديان در مرکز سطح شش ضلعي ′A′B′C′D′E′F بدست آورد:
که α هر عدد حقيقي مثبتي مي تواند باشد.
روش غيرحساس نسبت به CFL
روشي که در بخش هاي قبلي توضيح داده شد براي ١≥CFL پايدار است . اما با کاهش CFL اتلاف هاي دروني افزايش يافته و خطاي روش بالا مي رود. در حل مسايل لزج ريز کردن شبکه در نزديک ديوارها براي محاسبه تغييرات در لايه مرزي لازم مي باشد در نتيجه اعداد CFL در جهت عمود ميدان حل ، به علت وجود شبکه غير يکنواخت ، تغييرات زيادي را پيدا مي کند که باعث مي - شود خطا بالا رود. براي مقابله با اين مشکل روش غير حساس نسبت به CFL توسط تيم دکتر چنگ در ناسا ايجاد و آزمايش شده است . عيب استفاده از اين روش بالا رفتن بيشتر پيچيدگي روش و افزايش اندکي در زمان لازم براي محاسبات مي باشد.
از آنجايي که در اين تحقيق استفاده از شبکه هاي کاملاً غير يکنواخت ضروري است ، بايد از روش غير حساس نسبت به CFL استفاده شود. اطلاعات بيشتر در [/] آمده است .
شرايط مرزي غيرانعکاسي
استفاده از شرايط مرزي غيرانعکاسي در مسايل ايرو-آکوستيک اهميت فراواني دارد. در واقع اگر شرط مرزي عددي به درستي اعمال نشود در جايي که امواج آکوستيک بايد از ميدان حل خارج شود، مانند شرايط ورودي ٣ و خروجي ٤ ، خارج نشده و به داخل ميدان حل بازتاب مي کند که اين خود باعث دور شدن از فيزيک واقعي جريان و حتي گاهي مخدوش شدن کل ميدان جريان مي شود.
در روش CE/SE شرايط مرزي غيرانعکاسي بر اساس اصل انتشار امواج ايجاد شده است [٠]. انواع مختلفي از شرايط مرزي غير انعکاسي براي روش CE/SE ايجاد شده است که هر کدام در جايي کاربرد دارد. يک گره مرزي (j,n) را در نظر بگيريد، نوع اول شرايط مرزي غير انعکاسي بدين صورت مي باشد:
و U(j) در مقداري داده شده ، ثابت مي ماند. اين نوع شرط مرزي بيشتر براي شرط ورودي کاربرد دارد. شرط مرزي خروجي اگر عمود بر محور x باشد امکان دارد گراديان در راستاي y صفر نباشد، در اين حالت نوع دوم از شرايط مرزي غير انعکاسي کاربرد دارد:
اگر شرط مرزي خروجي عمود بر محور y باشد امکان دارد گراديان در راستاي x صفر نباشد، در اين حالت نوع سوم از شرايط مرزي غير انعکاسي بايد مورد استفاده قرار گيرد:
که ′j نزديکترين نقطه داخلي به j مي باشد. همان طور که در بخش بعدي خواهيم ديد شرايط مرزي غيرانعکاسي اجازه مي دهند که امواج از ميدان جريان خارج شود بدون اين که آنها را به داخل ميدان بازتاب کند.
٣. نتايج عددي
جريان سيال درون حفره مربعي
يکي از مسايل معروف جريان لزج ، جريان داخل يک حفره مربعي شکل مي باشد که در آن صفحه بالايي به طور ناگهاني از حال سکون به طور افقي و با سرعت U به حرکت در مي آيد. در ابتدا جريان در داخل حفره در حال سکون بوده و با حرکت صفحه بالا به علت وجود لزجت به چرخش در داخل حفره تغيير حالت مي دهد. در داخل حفره بسته به عدد رينولدز يک يا چند گردابه ايجاد مي شود. با بالا رفتن عدد رينولدز تعداد اين گردابه ها بيشتر مي شود.
نتايج زيادي در مورد اين مساله وجود دارد اما يکي از پر استفاده ترين آنها نتايج گيا١ و همکاران اوست [٣] که مساله را با روش تابع جريان و ورتيس تيي حل کرده اند. در اين مقاله سرعت افقي در طول خط عمودي و سرعت عمودي در طول خط افقي گذرا از مرکز هندسي حفره ، براي اعداد رينولدز مختلف گزارش شده است . عدد رينولدز بر مبناي سرعت صفحه و طول حفره محاسبه مي شود.
شکل ۴(الف ) نمودار مولفه عمودي سرعت نسبت به x را در خط افقي و شکل ٤(ب ) نمودار مولفه افقي سرعت نسبت به y را در خط عمودي که از مرکز مربع مي گذرد براي عدد رينولدز ١٠٠٠ را نشان مي دهد.
