بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
ارائه یک روش جدید برای محاسبه شرایط مرزی دور براساس مشخصه های معادلات تراکم پذیری مصنوعی برای جریان تراکم ناپذیر در عبور از پله
چکیده:
روش های مختلفی برای حل معادله معادله ناویر- استوکس بصورت تراکم پذیر و یا تراکم ناپذیر پیشنهاد شده است. روش حل مسئله در اینجا روش حجم محدود صریح بوده که با استفاده از روش میانگین گیری جیمزسون برای محاسبه شارهای جابجایی، و گسسته سازی زمانی رانگ-گوتا مرتبه چهار انجام شده است. نقطه حائز اهمیت در این پژوهش ارائه روشی جدید برای محاسبه شرایط مرزی در حل جریان حول پله عقب گرد می باشد. این روش جدید، برای محاسبه شرایط مرزی، از مشخصه های معادلات تراکم پذیر مصنوعی استفاده می کند. بطور سنتی، برون یابی مرتبه اول یا دوم از سلول های داخلی یک دامنه محاسباتی برای تخمین فشار و سرعت بر روی دیواره ها، و مرزهای ورودی و خروجی استفاده می شد. در این پژوهش نشان داده شده است که با استفاده از این روش جدید بر اساس مشخصه ها، سرعت همگرایی در مقایسه با روش قدیمی افزایش پیدا می کند. برای این منظور یک کد کامپیوتری با استفاده از زبان فرترن برای آزمون های عددی طراحی شد که این موضوع را در رینولدز های مختلف بررسی می کند. نهایتا جواب های بدست آمده با جواب های موجود در ادبیات فن مقایسه شده و دارای دقت بالایی می باشند.
کلمات کلیدی: تراکم پذیری مصنوعی ، حجم محدود ، مشخصه ها، شرایط مرزی، پله عقب گرد
-1 مقدمه
حل جریان های تراکم ناپذیر با توجه به کاربرد بسیار وسیع آنها از جمله طراحی مبدل های حرارتی، آیرودینامیک در سرعت کم، سیستم های هیدرودینامیکی، سیستمهای سرمایش الکتریکی، و غیره همواره نقطه تمرکز بسیاری از مهندسین سیالات، در طول دهه های اخیر بوده است. قوانین فیزیکی حاکم بر رفتار و جریان سیالات همگن در حال حرکت و با فرض پیوسته بودن سیال و بدون وجود واکنش های شیمیایی و هم چنین پخش جرمی با استفاده از پایه های ریاضی لازم بر قوانین حاکم بر سیال استخراج می شود. قوانین مشهور و متداول پایستاری فیزیکی در مکانیک سیالات و انتقال گرما قانون پایستاری جرم یا معادله پیوستگی، قانون پایستاری اندازه حرکت نیوتن یا قانون توازن نیروها و قوانین ترمودینامیک یا قانون پایستاری انرژی هستند و از جمع آوری این قوانین، معادلات ناویر – استوکس حاصل می شود.
برای جریان تراکم ناپذیر در عبور از یک پله، با توجه به ماهیت فروصوتی جریان، در مرز ورودی مولفه های سرعت از پروفیل سرعت سهمی شکل یا تجربی به دست می آیند و فشار از داخل محدوده حل برونیابی می شود و در مرز دور خروجی، فشار برابر با فشار جریان آزاد در نظر گرفته شده و مولفه های سرعت از داخل دامنه برونیابی می شوند. جریان بر روی یک پله عقب گرد یا وارون از جمله جریان های است که در آن جدایش سیال و پیوند دوباره آن به جداره و نیز چرخش جریان در آن رخ می دهد. این جریان، در عین داشتن شکل هندسی ساده می تواند جدایش سیال و پیوستن سیال را به گونه خوبی نشان دهد و همچنین با عوض کردن پارامترهای هندسی مانند ارتفاع پله و ارتفاع کانال می توان به نتایج جالبی دست پیدا کرد، که حل و تحلیل آنها بسیار مهم می باشد. همانطوری که گفته شد با مشاهده رفتارهای گوناگون سیال در پله وارون علاقه بسیاری از محققان را به خود جلب میکند و تحقیقات فراوانی در این موضوع انجام شده است که قسمتی از این تحقیقات شامل کارهای تجربی و قسمتی شامل کارهای عددی می باشد.
در ادبیات فن روش های گسسته سازی متعددی برای گسسته سازی معادلات تراکم پذیری مصنوعی وجود دارد.[1] روش برپایه مشخصه ها توسط ژائو برای شبیه سازی جریانهای تراکم ناپذیر به همراه انتقال حرارت در شبکه های بی سازمان دو و سه بعدی مورد استفاده قرار گرفت. این روش ها بر مبنای محاسبه متغیرهای جریان در امتداد مسیرهای یک بعدی مشخصه های معادلات تراکم پذیری مصنوعی در جهت عمود بر مرز مشترک بین دو سلول با استفاده از مقادیر آنها در زمان قبل می باشد.[4-2]
در خصوص شرایط مرزی اعمال شده در حل معادلات تراکم ناپذیر ناویر -استوکس با تراکم پذیری مصنوعی، به دلیل شرط عدم لغزش روی مرزهای جامد، مولفه های سرعت روی این مرزها صفر است و فشار روی مرز با
استفاده از برونیابی سلول های نزدیک مرز محاسبه شده است که در مراجع مختلف مانند کارهای یوان [5] و ژائو و [2] همکاران دیده می شود. در مورد جریان های تراکم پذیر، ثابت شده است که انعکاس موج های اکوستیک از مرزهای داخلی در طول حل، بر سرعت همگرایی تاثیر می گذارد که این مساله در مورد معادلات تراکم پذیری مصنوعی نیز صادق می باشد.
نحوه تعیین شرایط مرزی در روند حل عددی بسیار تاثیرگذار بوده و بر سرعت همگرایی و دقت جوابها تاثیر می گذارد. همچنین با انتخاب شرایط مرزی مناسب و منطبق بر فیزیک جریان، محدوده عددی حل کاهش یافته و باعث کاهش زمان محاسبات خواهد شد.
در این مقاله سعی شده است براساس روابط سازگاری که برای مسیرهای مشخصه معادلات تراکم پذیری مصنوعی نوشته می شود، مقادیر پارامترهای جریان (مولفه های سرعت و فشار) در روی مرز خروجی مشخص شوند. با توجه به سازگاری این روش با فیزیک جریان، این روش نسبت به روش معمول محاسبه شرایط مرزی دارای مزایایی از قبیل سرعت همگرایی بالاتر و محدوده محاسباتی کوچکتر خواهد بود که در این مقاله مورد بررسی قرار گرفته است.
-2 معادلات حاکم بر جریان های تراکم ناپذیر لزج همراه با تراکم پذیری مصنوعی
در محاسبه جریان های تراکم ناپذیر، یکی از مشکلات اساسی غیرممکن بودن حل همزمان معادلات مومنتم و پیوستگی به دلیل عدم وجود ترم فشار در معادله پیوستگی می باشد. برای غلبه بر این مشکل، چورین در سال 1967 برای اولین بار، روشی را پیشنهاد دادند که شامل اضافه کردن یک ترم مجازی از مشتق فشار بر حسب زمان در معادله پیوستگی می شد. این عمل منجر به تبدیل کردن سیستم معادلات از حالت بیضوی-سهموی به حالت هذلولوی شده و نهایتا حل همزمان این معادلات بوسیله روش های پیشرو در زمان را ممکن می ساخت (معادله .(1 در این پزوهش این معادلات به روش حجم محدود گسسته سازی شده اند.
-3 محاسبه شارهای جابجایی و لزجت در وجوه سلول
در این پژوهش، مبنای اصلی محاسبه شار های جابجایی و لزجت روش جیمسون می باشد. همانطور که از نام روش پیداست، در این روش، شاری که از وجوه سلول محاسباتی عبور خواهد کرد، برابر خواهد بود با میانگین شار سلول قبلی و سلول بعدی.(شکل (1
-4 گسسته سازی زمانی
در این تحقیق برای حل در بازه زمانی از روش رانگ گوتای مرتبه 4 استفاده شده است.
-5 شرایط مرزی پیشنهادی
شرایط مرزی ورودی و خروجی در پله عقب گرد، از چالش های این مساله محسوب می شود بطوری که تعیین درست این شرایط در بدست آوردن جواب های پایا و حتی دقت جواب ها دخیل می باشد. با توجه به اینکه مساله در شرایط فروصوتی فرض شده، مقادیر سرعت مورد نیاز در مرز دور خروجی بصورت برون یابی از سلول های بدست می آید و فشار خروجی همان فشار اولیه فرض می شود. در خصوص شرایط ورودی، فشار، از سلول های مجاور برون یابی می شود و برای مقادیر سرعت از پروفیل های سرعت مختلف استفاده شده است. علت انتخاب پروفیل سرعت به جای یک سرعت ثابت در ورودی پله، نزدیک بودن مساله به حالت واقعی و اطمینان حاصل کردن از توسعه یافته بودن جریان در ناحیه پله می باشد.
از آنجاییکه تعیین شرایط مرزی جدیدی که بتواند حل مساله را بهبود ببخشد شرایط مرزی نقطه تمرکز این پروژه می باشد، در این بخش سعی شده است تا به این موضوع بیشتر پرداخته شود.
پیشتر به نحوه تعیین شرایط مرزی جامد، ورودی و خروجی به صورت سنتی اشاره شد. در اینجا شرایط مرزی اعمال شده جدید توسط مشخصه ها ارائه شده است.
برروی منحنی های مشخصه معادلات دیفرانسیل جزیی به معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل شده و متغیرهای جریان پیوسته اند و مشتق های مرتبه اول روی منحنی های مشخصه نامعین و ناپیوسته میباشد و شرایط اولیه نیز نباید در امتداد منحنی های مشخصه تعریف شوند. از این مطلب در بدست آوردن معادلات منحنی های مشخصه در فضای فیزیکی استفاده می شود. در جریان تراکم ناپذیر چگالی در سرتاسر قلمرو
یکنواخت بوده، مجهول در نظر گرفته نمی شود و تنها میدان های فشار و سرعت و در صورت لزوم میدان دما مجهول می باشند. همچنین می توان بعضی از خواص فیزیکی مانند ضریب لزجت را ثابت فرض کرد.
برای بدست آوردن مشخصه های جریان، ابتدا باید ساختار مشخصه های معادلات تراکم پذیر مصنوعی را بدست بیاوریم. در مقالات بسیاری این کار انجام شده است8]،4،.[2 در این بخش، با استفاده از روش های مستقیم این روابط را برای جریان های تراکم پذیر بدست می آوریم.
در این راستا، جریان را بصورت یک بعدی، تراکم ناپذیر همراه با تراکم پذیری مصنوعی در حالت اولیه را به صورت زیر داریم:
اگر این سیستم را با تمام مشتقات جریان نشان دهیم، خواهیم داشت:
برای بدست آوردن مسیر های مشخصه ها که اولین مشتق ها بر روی آنها تعریف نشده می باشند، دترمینان ضرایب ماتریس بالا برابر صفر قرار داده می شود و مشخصه های زیر بدست می آیند:
مسیر های C+ و-C موج های صوتی نمای محدوده جریان تراکم ناپذیر می باشند. همانطور که در روابط بالا مشاهده می شود، موج های C+ همیشه از طرف چپ سلول و C- از طرف راست سلول منتشر می شوند که موافق با ماهیت فروصوتی جریان می باشد.
اگر این مشخصه ها را در ماتریس بالا وارد کنیم، روابط سازگاری به صورت زیر بدست می آید:
با استفاده از روابط سازگاری بدست آمده از روابط مشخصه ها در بالا، می توانیم شرایط مرزی جدیدی منطبق بر هندسه مساله تعیین کنیم. لازم به ذکر است که در اینجا فقط شرایط مرزی ورودی و خروجی با استفاده از مشخصه های جریان تراکم ناپذیر جایگزین می شوند، و شرایط مرزی دیوار جامد همان شرایط مرزی سنتی، یا برون یابی مرتبه دوم می باشد. همچنین در مرز ورودی مولفه سرعت عمودی صفر می باشد.
با توجه به شکل 2 مشاهده می شود که مشخصه از بیرون دامنه و با در نظر گرفتن پروفیل سرعت مورد نظر محاسبه می شود در حالیکه داخل دامنه حل قرار داشته از زمان قبلی به زمان بعدی منتشر می شود. با استفاده از روابط سازگاری مربوط به (رابطه ( 13 می توان آنها را در طول همین مشخصه ها گسسته سازی کرد.
در ورودی همان سرعت بدست آمده از پروفیل سرعت می باشد و فشار سیال ورودی می باشد. با حل
دو معادله بالا مقادیر مورد استفاده در مرز ورودی بدست می آیند.
در معادلات بالا بصورت برون یابی از دو سلول مجاور بدست می آید:
تمام این شرایط برای مرز خروجی نیز برقرار می باشند. با توجه به شکل 3 مشاهده می شود که از داخله دامنه محاسباتی بدست می آید، در صورتی که در مورد اینچنین نیست.
توجه به رابطه 13 برای مرز خروجی خواهیم داشت:
با حل دو معادله موجود در رابطه (9) مقادیر مورد استفاده در مرز خروجی بدست می آیند. در این
حالت داریم:
