مقاله مطالعه تحلیلی انتقال حرارت جابجایی به جریان آشفته سیال فوق بحرانی

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

مطالعه تحلیلی انتقال حرارت جابجایی به جریان آشفته سیال فوق بحرانی

چکیده: یک مدل ریاضی برای محاسبه نرخ انتقال حرارت به جریان آشفته آب فوق بحرانی در لوله های مدور ارائه شده است. این مدل بر اساس تئوری قانون دیواره بنا نهاده شده است. نتایج حاصل از بکارگیری عبارات تحلیلـی مختلـف بـرای پروفیـل عمـومی سرعت، در مدل کنونی، مورد بررسی قرار گرفته اند. تغییرات شعاعی شار حرارتی وتنش برشی، در مـدل کنـونی لحـاظ شـده انـد.

همچنین اثر عدد پرانتل آشفتگی مورد بررسی قرار گرفته است. مقایسه نتایج حاصل از این مدل با داده های تجربی مؤیـد آن اسـت که در غیاب نیروهای حجمی( یعنی، شناوری و شتاب جریان)، توافق خوبی بین نتایج این مدل وداده های تجربی وجود دارد.

واﮊه های کلیدی: انتقال حرارت جابجایی، جریان آشفته، سیال فوق بحرانی، مدل تحلیلی، قانون دیواره
فهرست علائم:
Cp ظرفیت گرمایی ویژه،.kJ/kg v سرعت جریان در راستای شعاع
D قطر لوله، mm f ضریب اصطکاک
G سرعت جرمی، kg/m2.s ε ضریب پخش گردابه ای برای وقتی که ۱Prt=
g شتاب گرانش، m/s2 εh ضریب پخش گردابه ای گرما
h ضریب انتقال حرارت، kW/m2.oC εm ضریب پخش گردابه ای مومنتوم
i انتالپی مخصوص، kJ/kg κ ضریب انبساط حرارتی، W/m.oC
Nu عدد نوسلت  لزجت دینامیکی ، kg/m.s
P فشار، MPa v لزجت سینماتیکی، m2 / s
Pr عدد پرانتل ρ جرم حجمی، kg/m3
q″ شار حرارتی، kW/m2 τ تنش برشی، N/m2
Re عدد رینولدز τt تنش برشی ناشی از آشفتگی جریان،N/m2
r فاصله شعاعی از مرکز لوله، mm
ro شعاع لوله، mm زیر نویس ها:
T درجه حرارت، oC b مقادیر حجمی کمیت مورد نظر
u سرعت سیال در جهت جریان w مقادیر کمیت مورد نظر در دمای دیواره

۱- مقدمه

فعالیت های پژوهشی در زمینه انتقال حرارت به سیالات فوق بحرانی، که پیچیده تـرین و کلـی تـرین نمونـه از انتقـال حرارت به سیالات باخواص متغیر می باشد، ازحدود سال ٠۵١٩ میلادی آغاز شده است. در چند دهه اخیر اسـتفاده از سـیالات فوق بحرانی در سیستمهای مختلف مهندسی، افزایش وسیع و قابل توجهی یافته است. در این سیستمها از سـیال فـوق بحرانـی، بعنوان سیال عامل یا مبرد استفاده شده است. بعنوان مثال، چندین دهه است که در سیکل های تـوربین بخـار، از دیگهـای فـوق بحرانی استفاده میشود. از هلیم فوق بحرانی در سیستمهای برودتی استفاده می شود. هیدروﮊن فـوق بحرانـی هـم بعنـوان سـیالعامل و هم بعنوان جاذب گرما، در سیستمهای رانش (راکت های) هسته ای و شیمیائی مورد استفاده قرار گرفتـه اسـت. موتـوربرخی هواپیماهای مدرن نظامی را با پمپ کردن سوخت در فشارهای فوق بحرانی، از طریق لوله های اطراف موتور خنـک مـی کنند.

نقطه بحرانی ترمودینامیکی،نشان دهنده وضعیتی است که در آن، مایع اشباع و بخار اشباع یکـی مـی شـوند. در فشـارهای فوق بحرانی، هیچگاه دو فاز مایع و بخار از یک ماده خالص با یکدیگر در یک تعادل وجود نخواهند داشت. بلکه بجای آن یـک تغییر پیوسته در دانسیته سیال مشاهده می شود بطوریکه همواره تنها یک فاز وجود دارد. برای هر فشار فوق بحرانی، یـک درجـهحرارت نزدیک به دمای بحرانی وجود دارد که تغییرات خواص سیال در آن درجه حرارت، حداکثر است. به این درجه حـرارت،دمای شبه بحرانی، گویند. در شکل (۱)، دیاگرام فشار- درجه حرارت سیال نشان داده شده است. همانطور که در شکل مشـاهدهمی شود، دمای شبه بحرانی اندکی بزرگتر از دمای بحرانی است و مقدار آن با افزایش فشار افزایش می یابد. مکان هندسـی نقـاط شبه بحرانی با خط چین مشخص شده است. در اغلب موارد منظور ما از منطقه فوق بحرانی ناحیه مجاور به نقاط شبه بحرانی می باشد، که در آن تغییرات خواص سیال بسیار شدید است. این محدوده، ناحیه بحرانی نیز نامیده می شود. لازم به تذکر است که در ناحیه فوق بحرانی، هرچه فشار نزدیکتر به فشار بحرانی باشد، تغییرات خواص در مجاورت دمای شبه بحرانـی شـدیدتر خواهـد

بود. اما با افزایش فشار، از شدت تغییر این خواص نیز کاسته خواهد شد. نحوه تغییرات خواص ترمودینـامیکی و انتقـالی آب بـا
درجه حرارت برای فشار MPa ۴۲، در شکل (۲) نشان داده شده است. مشخصـات نقطـه بحرانـی آب عبارتنـد از و این الگوی تغییر خواص تنها محدود به آب نمی شود، بلکه بسیاری از سـیالات دیگـر نیـز از الگـویی مشابه تبعیت می کنند.

به دنبال تغییرات شدید خواص سیال در ناحیه بحرانی، انتقال حرارت در این ناحیه بشدت افزایش می یابـد. بنـابراین مـدل کردن و تخمین ضریب انتقال حرارت به جریان سیال فوق بحرانی از این حیث مشکل خواهد بود که تغییـرات خـواص سـیال از دیواره تا مرکز لوله شدید می باشد. بعنوان نمونه، برای استفاده از روابط تجربـی بـی بعـد نظیـر ، نیـاز بـه ارزیابی خواص سیال در دمایی داریم که بیانگر رفتار جریان در هر مقطع باشد. اما در شرایط فوق بحرانی، نه دمـای دیـواره، نـه دمای حجمی ونه دمای پوسته ای هیچکدام بطور کامل نمی توانند بیانگر رفتار جریـان در هـر مقطـع باشـند. همچنـین تغییـرات ناگهانی خواص سیال در مجاورت ناحیه بحرانی موجب می شود که مدل کردن جریان سیال فـوق بحرانـی تبـدیل بـه مسـأله ای بسیار پیچیده گردد. علیرغم مطالعات متعددی که در این زمینه انجام گرفته، با این حال تاکنون یک رابطه تجربی فراگیر و یـا یـک حل عددی کلی که بتواند افزایش چشمگیر انتقال حرارت در ناحیـه فـوق بحرانـی را بـه دقـت پـیش بینـی کنـد بدسـت نیامـده است.هدف این مطالعه تخمین ضرایب انتقال حرارت با دقت بیشتری، نسبت به آنچه تاکنون انجام گرفته، می باشد.

۲- مدل تحلیلی انتقال حرارت جابجایی اجباری به سیال فوق بحرانی

پایه های کلی این مطالعه مانند بسیاری از پژوهشهای تحلیلی دیگری کـه در ایـن زمینـه انجـام گرفتـه، براسـاس تحقیقـات ارزشمند دیسلر ]۱ [ وگلدمن ]۲ [ می باشد. معادلات حرکت وانرﮊی برای جریان داخل لوله بایـد بطـور همزمـان حـل شـوند. بـه منظور احتساب اثر تغییر خواص، از فرض اساسی گلدمن ]۲ [ استفاده شده است. او فرض کرد ضریب پخش گردابه ای موضعی، تابعی از خواص سیال در همان موضع بوده ( یعنی دمای موضعی سیال) و مستقل از تغییرات کوچک خواص سـیال درمجـاورت موضع مورد نظر می باشد. به عبارت دیگر او فرض کرد همان عباراتی را که برای تعیین ضریب پخش گردابه ای برای جریانهـای با خواص ثابت بدست آمده اند، می توان برای جریان با خواص متغیر بکار گرفت. هر چند لازم است کـه اثـر تغییـرات شـعاعی خواص سیال با درجه حرارت در تعیین ضریب پخش گردابه ای در هر نقطه به حساب آورده شود.

۲-۱- معادلات حاکم و حل عددی

معادلات ساده شده اندازه حرکت و انرﮊی حاکم بر یک جریان داخلی، شبه پایدار، متقارن، توسعه یافته وآشـفته بـه ترتیـب عبارتند از:

فرضیات ساده کننده
دیگری که در استخراج معادلات فوق به کار رفته اند عبارتند از:
الف- در معادله اندازه حرکت، ترمهای جابجایی در قیاس با ترم تنش برشی ناچیز هستند. به کمک یک تقریب انـدازه بزرگـی می توان درستی این فرض را ثابت کرد.
ب- ترم گرانش (اثرات شناوری) در معادله اندازه حرکت نادیده انگاشته می شود و جریان، تقارن محوری خـود را حفـظ مـی کند. این فرض درشرایطی که شار حرارتی نسبت به سرعت جرمی زیاد نباشد قابل قبول خواهد بود.
ج- در معادله انرﮊی، ترمهای اتلاف ناشی از لزجت، جابجایی حرارتی در راستای شعاع و هدایت گرمایی در امتداد محور لوله،
در قیاس با ترمهای جابجایی محوری و هدایت شعاعی ناچیز می باشند.

در معادلات فوق، تنش برشی و شارهای حرارتی عبارتند از:

εM و εH ضرایب پخش گردابه ای حرکت وگرما می باشند. بر خلاف لزجت سینماتیکی و ضریب پخش گرمـایی، ضـرایب

پخش گردابه ای را نمی توان جزﺀ خواص سیال در نظر گرفت. در واقع این ضرایب هم به خـواص سـیال و هـم بـه سـاختار

فیزیکی جریان آشفته بستگی دارند. این ضرایب، بمنظور احتسـاب اثـر نوسـانات سـرعت و دمـا (انتـالپی) در جریـان آشـفته،

بصورت زیر تعریف می شوند:


نسبت ضریب پخش گردابه ای حرکت به ضریب پخش گردابه ای گرما به عنوان عدد پرانتـل آشـفتگی معرفـی مـی شـود.

یعنی؛

داده های موجود برای جریان آب نشان می دهد که در شرایط متعارف، مقدار Prt به عدد یک بسیار نزدیک است. بنـابراین
بعنوان اولین تقریب، مقادیر εM و εH یکسان در نظر گرفته می شوند. جکسون و هال ]۳[ درستی این فرض را بـرای جریـان سیالات فوق بحرانی مورد تردید قرار دادند. پتوخف و مِدوِتسکایا ]۴[ در تلاش برای ارتقاﺀ مدل تحلیلی خود، از رابطـه ای برای محاسبه Prt استفاده کردند که اثر تغییر خواص سیال، در آن لحاظ شده بود. با استفاده از رابطه مذکور، نتـایج حاصـل از مدل آنها تا حدی بهبود یافت. جکسون وهال]۳[ متذکر شدند که در ارزیابی نتایج حاصل از مدلهای مختلف، تشـخیص اینکـه اختلاف بین نتایج این مدلها و داده های تجربی ناشی از نقص فیزیکی مدل می باشد یا عدم دقـت روش حـل عـددی، بسـیار مشکل است. در این مطالعه، ما اثر تغییرات عدد Prt را مورد بررسی قرار داده ایم.

در ناحیه فوق بحرانی، تغییرات شدید خواص سیال در نزدیکی دمای بحرانی موجب می شود معـادلات حرکـت و انـرﮊی
حاکم بر جریان بشدت به هم وابسته گردند. در نتیجه، این معادلات باید بطور همزمان حل شوند. از بررسی مطالعـات انجـام
گرفته در زمینه مدلسازی جریانهای فوق بحرانی، نیاز به استفاده از یک مـدل توربـولانس سـازگارتر بـا شـرایط فـوق بحرانـی احساس می شود. هاپتمن و مالهوترا ]۵[ برای مدل کردن ریاضی جریان قائم بالارونده یک سـیال بـا دانسـیته متغیـر، بجـای استفاده از مدل طول اختلاط، از مدل κ-ε استفاده کردند. پولیاکف ]۶[ با بررسی تحقیقات انجام گرفته در این زمینـه دریافـت که در شارهای حرارتی پایین (که در آنها پدیده اخلال در انتقال حرارت رخ نمی دهد)، مدل ساده طـول اخـتلاط١ مـی توانـد بطرز مناسب و قابل قبولی فرآیند انتقال حرارت به سیال فوق بحرانی را توصیف کند. در حقیقت استفاده از مـدلهای پیچیـده

تری، همچون κ-ε، در تحلیل جریانهای آشفته فوق بحرانی، در برخی حالات نتایج غیر قابل قبول تربدست می دهـد. علـت

آنستکه، تعداد ثوابت و تقریبهای موجود در این مدلها که اصولاﹰ برای جریانهای با خواص ثابت یا با خواص کم تغییـر بدسـت آمده اند، بیشتر است. بنابراین برای آنکه بتوان از آنها برای مدل کردن جریانهای فوق بحرانی استفاده کرد، باید آنها را به میـزان فراوانی اصلاح کرد و تغییر داد تا با شرایط فوق بحرانی، که در آن خواص بشدت متغیرند، سازگار شوند.

تحقیقات وتجربیات محققین مختلف نشان داده است، که تحت شرایطی خاص، می توان جریان را کاملاﹰ توسعه یافته فرض
نمود. کورگانف و همکارانش ]۷[ با انجام سنجشهای تجربـی، دریافتنـد کـه در فواصـل دور از ناحیـه ورودی لولـه، علیـرغم تغییرات شدید خواص سیال، جریان، کاملاﹰ توسعه یافته می شود. این وضعیت تحت شرایطی رخ می دهد که سـرعت جرمـی
جریان بالا و شار حرارتی پایین باشد. این بدان معنی است که ضریب انتقال حرارت در هر مقطع از ناحیه توسعه یافته جریـان
را می توان با استفاده از خواص سیال در همان مقطع محاسبه نمود. به عبارت دیگر ضـریب انتقـال حـرارت در هـر مقطـع از
ریان توسعه یافته، مستقل از شرایط جریان در بالادست مقطع مزبور خواهد بود. فرض توسعه یافتگی جریـان، مـا را بسـوی
ایجاد مدلی یک بعدی برای تخمین نرخ انتقال حرارت بـه جریـان آشـفته آب فـوق بحرانـی سـوق مـی دهـد. مـدل مـذکور دربرگیرنده پیشرفتهای اخیر در مدلسازی با قانون دیواره می باشد( یعنی تعریف جدید .( Prt

استفاده ازقانون دیواره متضمن این فرض اساسی است که تغییرات سرعت در هر مقطع عرضی از جریان بر پروفیل سرعت
عمومی بدست آمده برای جریان آشفته خواص ثابت منطبق است. متغیرهای بدون بعد سـرعت u و فاصـله از دیـواره y ،بصورت زیر تعریف می شوند
:

عبارتی که بیانگر رابطه بین u و y می باشد، پروفیل عمومی سرعت١ نام دارد.روش حل عـددی بـرای بدسـت آوردن پروفیلهای سرعت و دما بدین ترتیب است: با معین بودن مقادیر سرعت جرمی سیال، دمای دیـواره، فشـار وشـار حرارتـی در دیواره، می توان از معادلات (۳) و (۴)، بطور همزمان از دیـواره تـا مرکـز لولـه انتگـرال گرفـت. بـه ایـن منظـور فاصـله بـین دیواره( r  r0 یا ( y  0 تا مرکز لوله( r  0 یا ( y  r0 به تعداد زیادی از فواصل کوچک ∆y تقسیم می شود. با معلوم بودن دمای سیال در دیواره، تنش برشی در دیواره، τw ،تخمین زده می شود. تنش برشی در دیواره، تابعی از ضریب اصطکاک می باشد. برای جریانهای با خواص ثابت، روابط تجربی متعددی وجود دارد که ضریب اصطکاک را بصـورت تـابعی از عـدد رینولدز، توصیف می کنند. برای تخمین اولیه τw، از هر یک از این روابط می توان اسـتفاده کـرد. ایـن حـدس اولیـه در
ضمن انجام روند حل عددی، به شیوه تکرار٢ اصلاح خواهد شد. هر چند که یک حدس دقیقتـر بـرای τw تـأثیری در نتیجـه
نهایی انتگرالگیری ندارد، ولی موجب بالا رفتن سرعت همگرایی و کاهش زمان محاسبات می گردد. در اولـین گـام از دیـواره بسوی مرکز لوله، بمنظور تخمین y  در فاصله y1  ∆y از دیواره لوله، از خواص سیال در شرایط دیواره استفاده مـی کنـیم.
عبارات متعددی برای پروفیل سرعت عمومی ارائه شده است. با انتخاب یک عبـارت بـرای پروفیـل سـرعت عمـومی میتـوان سرعت u  را درy1 بدست آورد. اثر عبارت استفاده شده برای پروفیل عمومی سرعت در این مطالعه مورد بحث قرار گرفته

است.بعنوان شرط مرزی، سرعت در دیواره، صفر در نظر گرفته می شود. توجه شود که ضریب پخش گردابه ای حرکـت را مـی

توان با استفاده از عبارت پروفیل عمومی سرعت بدست آورد. وقتی سرعت درy1 محاسبه شـد، بـا معلـوم بـودن مقـدار شـار
حرارتی در دیواره، q′′w ، معادله شار حرارتی، یعنی معادله (۴)، حل شده و انتالپی i ، درy1 تعیین می شود.با استفاده از جدول خواص ترمودینامیکی آب، دمای متناظر با انتالپی محاسبه شده بدست می آید. این روند را می توان در گامهای بعد تکرار نمود

تا پیمایش از دیواره تا مرکز لوله کاملاﹰٌ انجام گیرد. با یافتن نحوه توزیع تنش برشی وشار حرارتی دز عرض جریان، مـی تـوانبجای استفاده از تنش برشی وشار حرارتی در دیواره درگامهای بعد، از مقادیر تنش برشی و شار حرارتی متناظر بـا همـان گـام استفاده کرد. با پیروی از کار نیشیکاوا و همکارانش ]۸[ و با انتگرال گیری از معادلات (۱) و(۲) خواهیم داشت:

در رابطه بالا، G سرعت جرمی جریان بوده و بصورت زیر تعریف می گردد:

در انتگرال گیری از معادلات(۱) و(۲) بمنظور رسیدن به معادلات (۰۱) و(۱۱)، فرض شده است که مؤلفه شعاعی سـرعت به اندازه ای کوچک است که می توان فشار را در عرض جریان ثابت در نظر گرفت. عبارت ∂i/∂x نیز در عرض جریان ثابت در نظر گرفته می شود. یعنی تابعی ازr نمی باشد. با تکمیل پیمایش و انتگراگیری از دیواره تا مرکز لوله، با استفاده از پروفیـل سرعت و دمای محاسبه شده، مقدار سرعت جرمی را بدست می آوریم و با مقدار واقعی آن مقایسه می کنیم. در صورت عـدم تطابق، تخمین اولیه برای τw را تصحیح می کنیم و روند حل عددی تشریح شده فوق را تکرار می کنیم. این روند را تا آنجـا ادامه می دهیم که مقدار محاسبه شده برای سرعت جرمی با دقت خوبی به مقدار واقعی آن نزدیک شود. سپس با انتگرالگیـری از پروفیل دما در تمام عرض جریان، دمای حجمی را محاسبه می کنیم. با داشتن دمای دیواره، دمای حجمـی و شـار حرارتـی، مقدار ضرایب موضعی انتقال حرارت را با استفاده از رابطه h=q″/(Tw-Tb) محاسبه می کنیم.

۲-۲- ارزیابی نتایج

در شکل (۳) یک نمونه از نتایج بدست آمده از مدل نشان داده شده است. شرایط جریـان عبارتنـد از: MPa ۸/۴۲ P ، KW / m2 ۲۳۲ q′′w  و Kg / m2 .s ۱۷۵ . G  بمنظور مقایسه، داده های تجربی بازارگان ]۹[ نیز در این شـکل نمـایش داده شده اند.همانطور که ملاحظه می شود توافق خوبی بین نتایج و داده هـای تجربـی وجـود دارد. در ادامـه، اثـر اسـتفاده از عبارات مختلف برای پروفیل عمومی سرعت را برنتایج حاصل از مدل مورد بررسی قرار می دهیم.

۲-۲ -۱- استفاده از عبارات مختلف برای پروفیل عمومی سرعت

همانطور که قبلاﹰً اشاره شد، قانون دیواره در واقع بیانگر این مطلب است که نحوه تغییرات سرعت بدون بعد u بـا فاصـله بدون بعد از دیواره y ، منطبق بر پروفیلی است که برای گستره وسیعی از شرایط، تقریباﹰ یکسان می باشد. به همین علت، ایـن پروفیل را پروفیل عمومی سرعت نامیده اند. برخی از معروفترین عباراتی که تاکنون برای پروفیل سرعت عمومی ارائه شده انـد عبارتند از پرانتل- تیلور، فون کارمن، ون دریست، رنی١، ریچارت و دیسلر.منحنیهای مربوط به تغییرات ضرایب انتقال حـرارت موضـعی، محاسـبه شـده توسـط مـدل کنـونی، در در شکل (۴) نمایش داده شده اند. داده های تجربی ]۹[ نیز نمایش داده شده اند. نتایجی که بر اساس عبارت پرانتل تیلور بدست آمده اند، به میزان قابل توجهی کوچکتر از مقادیر تجربی می باشـند. نتـایج بدست آمده بر اساس عبارات فون کارمن، ون دریست و رنی، به هم بسیار نزدیک هستند. این نتایج توافق بیشتری با داده های تجربی دارند. استفاده از عبارت ریچارت در مدل کنونی، منجر به حصول نتایجی می شود که به میزان قابل تـوجهی بزرگتـر از داده های تجربی می باشند. عبارت دیسلر هم نتایجی را می دهد که بسیار بزرگتر از داده های تجربی می باشند.

در تشریح علت اختلاف بین نتایج حاصل از عبارات مختلف در شکل(۴) باید گفت: پروفیلهـای سـرعت عمـومی، بطریـق تجربی، و برای جریانهای با خواص ثابت بدست آمده اند. از سوی دیگر، تاکنون هیچ مدرکی برای اثبات صـحت ایـن فرضـیه بدست نیامده است که فرآیندهای اغتشاش در جریانهای با خواص متغیر از همان الگویی تبعیت کنند که بـرای جریانهـای بـا خواص ثابت وجود دارد. علاوه بر این، تاکنون سنجش تجربی جامع و فراگیری انجام نگرفته تا بتوان با همبسته کردن و مرتبط نمودن داده های تجربی حاصل از آن، عباراتی را برای تعیین ضریب پخش گردابه ای، اختصاصاﹰ، برای جریانهـای آشـفته فـوق بحرانی بدست آورد. بنابراین کار برد این پروفیلهای سرعت برای جریان با خواص متغیر همراه با نگرانی و تردید خواهد بود.

۲-۲-۲- مقایسه با سایر داده ها

برای انجام اصلاحات و تغییرات آتی در مدل، لازم است بدانیم کدام یک از عبارت مربـوط بـه پروفیـل سـرعت عمـومی، بمنظور تعیین ضریب پخش گردابه ای جریان سیال فوق بحرانی، مناسب تر است. هال و جکسـون [10] بـا بررسـی عبـارات مختلف ارائه شده برای ضریب پخش گردابه ای حرکت، به این گمان رسیدند که عبارت ون دریست به دلیـل تـرم اسـتهلاکی (e-y+) موجود در آن برای تعیین ضریب پخش گردابه ای جریان آشفته سیال با خواص متغیر، مناسب تر باشد. هرچنـد ایـن مطالعه نشان می دهد که عبارت فون کارمن بدون داشتن چنین ترم استهلاکی نتایج مشابهی می دهد.

مثال دیگری از تغییرات ضریب انتقال حرارت موضعی در طول لوله، در شکل(۵) نشان داده شده اسـت. شـرایطی کـه ایـن نتایج تحت آنها بدست آمده اند، بر شرایط یکی از آزمایشهای سونسون و همکارانش [11] منطبق است. همچنین نتایج حاصل از رابطه تجربی سونسون و همکارانش، که تقریباﹰ داده های تجربی آنها را برازش می کند، در شکل (۵) نشان داده شده انـد. در این مثال از عبارت ون دریست برای پروفیل عمومی سرعت استفاده شده است.
نتایج حاصل از مدل را، برای گستره وسیعی از شرایط، با داده های تجربی[9] ،[11] و یاماگاتا و همکارانش [12] مقایسه کردیم. این مقایسات نشان داد که برای اکثر آزمایشهای انجام شده، نتایج بدسـت آمـده بـر اسـاس عبـارات فـون کـارمن، ون دریست و رنی، بیشترین تطابق را با داده های تجربی دارند.

۲-۲--3اثر عدد پرانتل آشفتگی

برای سیالاتی که عدد پرانتل مولکولی آنها به عدد یک نزدیک است، همچون آب در دماها و فشارهای معمـول و متعـارف، عدد پرانتل آشفتگی برابر واحد فرض می شود. این فرض، لازمه برقراری تشابه رینولـدز مـی باشـد. مقـادیری کـه بـرای Prt، برآورد شـده و یـا بطریـق تجربـی سـنجیده شـده بـین ۵۸/۰ تـا۷۰/۱ قـرار دارنـد. ایـن مقـادیر بـرای آب در فشـارهای زیـر بحرانی( نزدیک به شرایط معمول و متعارف)، بدست آمده اند.