بخشی از مقاله
چکیده
از آنجا که کاربرد انتقال حرارت معکوس در مدلهای انتقال حرارت غیرفوریهای نسبت به سایر مدلهای فوریهای جدید است. مطالعات صورت گرفته در خصوص تحلیل معکوس معادلات انتقال حرارت غیرفوریهای بسیار اندک بوده است و همه مطالعات در این زمینه، مربوط به بررسی هدایت حرارت غیرفوریهای معکوس بوده است، اما تا کنون کسی از انتقال حرارت جابجایی معکوس برای تخمین پارامترهای انتقال حرارت غیرفوریهای در جریان سیال استفاده نکرده است.
در این مقاله با استفاده از یک روش تخمین پارامتر آنالیز معکوس ضریب تاخیر زمانی در معادله انتقال حرارت غیرفوریهای حاکم بر جریان سیال، تخمین زده شده است. نظر به اینکه مساله انتقال حرارت مورد بررسی از نوع مساله انتقال حرارت جابجایی اجباری بوده است در نتیجه میدان درجه حرارت اثری بر معادلات حاکم بر جریان ندارد. در واقع معادلات ممنتوم متاثر از میدان درجه حرارت نبوده و تنها متغیری که به پارامترهای مجهول حساس است، متغیر درجه حرارت است.
به همین دلیل تنها معادلهای که در آنالیز معکوس برای انتقال حرارت جابجایی مورد بررسی قرار میگیرد، معادله انرژی میباشد. در انتقال گرمای معکوس پارامتر تاخیر زمانی بهدست آمده است، تا مقدارهای درنظر گرفته شده برای این پارامتر در انتقال گرمای غیرفوریهای تاخیر زمانی منفرد اعتبارسنجی شوند. به عبارت دیگر برای بررسی درستی مقدار در نظر گرفته شده برای پارامترهای تاخیر زمانی، یک روش تحلیل معکوس بر مدل انتقال گرما اعمال شدهاست. نتیجههای انتقال گرمای معکوس نشان داد که روش تخمین پارامتر غیرخطی لونبرگ-مارکوارت توانایی تخمین پارامتر تاخیر زمانی انتقال حرارت غیرفوریهای تاخیرفاز یگانه را دارا است.
مقدمه
از دیدگاه ریاضی وقتی یک سیستم فیزیکی مدلسازی میشود، معادله دیفرانسیل حاکم بر آن استخراج می شود. با استفاده از پارامترهای فیزیکی مساله، شرایط اولیه و شرایط مرزی، حل میشود، به این دسته از مسائل، مسائل مستقیم میگویند. حال اگر یکی از پارامتر های لازم برای حل معادله مجهول باشد و هدف تعیین آن پارامتر باشد، مساله به دسته مسائل معکوس تبدیل میگردد. بهعنوان مثال در انتقال حرارت این پارامتر میتواند دما یا شار حرارتی در شرایط مرزی، دمای اولیه، ضریب هدایت حرارتی و یا حتی هندسه مساله باشد. این نوع مسائل زمانی اهمیت پیدا میکنند که اندازهگیری مستقیم مقادیر مجهول امکانپذیر نباشد.
تانگ و اراکی [1] با استفاده از روش غیرخطی تخمین پارامتر لونبرگ-مارکوارت، به تخمین ثابتهای زمانی مدل غیرفوریهای تاخیر فاز دوگانه و همچنین ضریب پخشی حرارتی یک ماده محدود در معرض تحریک پالس پرداختند. حل عددی و تخمین تابع شرط مرزی مجهول، در مساله معکوس هدایت حرارتی هذلولی یک بعدی در سال 2001 توسط چن و همکاران [2] مورد بررسی قرار گرفت. آنها با استفاده از روش ترکیبی تبدیل لاپلاس و حجم محدود به حل مساله مستقیم پرداختند و سپس با استفاده از تکینک مینیمم سازی حداقل مربعات، شرایط مرزی مجهول را به دست آوردند. روش گرادیان مزدوج نیز در مساله معکوس هدایت حرارتی هذلولوی برای تخمین شار حرارتی در مرز یک محیط محدود مورد استفاده قرار گرفته است.
هوانگ و هسین [3] در سال 2006 از روش گرادیان مزدوج برای تخمین تابع شار حرارتی مجهول در مرز استفاده کردند. در سال 2009 نیز یانگ [4] از روش نیوتون رافسون اصلاح شده برای تحلیل معکوس هدایت حرارتی هذلولوی دو بعدی استفاده نمود. یانگ نشان داد که استفاده از روش نیوتون-رافسون اصلاح شده در تحلیل معکوس سبب سادهتر شدن حل مساله معکوس در مقایسه با روش غیرخطی مربعات میگردد.
عظیمی و همکاران [5] با استفاده از روش گرادیان مزدوج با مساله الحاقی و استفاده از انتقال حرارت غیرفوریهای، دمای پایه یک فین طولی را تخمین زدند. با وجود پیشرفت هایی که در زمینهی تئوریها و کاربرد مسائل انتقال حرارت معکوس صورت گرفته است، اما تعداد پژوهشهای صورت گرفته در زمینه مسائل انتقال حرارت جابجایی معکوس به علت پیچیدگیهای ریاضی و محاسباتی آن، کم بوده و محدود به دو دهه اخیر میباشد .[6] اکثر کارهای صورت گرفته در زمینه انتقال حرارت جابجایی معکوس نیز، به منظور تخمین مقدار مجهول یک پارامتر ثابت در مساله میباشد .
تعریف مساله و شرایط حاکم
در این مقاله انتقال حرارت جابجایی اجباری آرام سیال درون یک کانال با استفاده از مدل غیرفوریهای تاخیر زمانی منفرد شبیهسازی عددی شده است. فرض میشود که جریان گذرا، دوبعدی و تراکمناپذیر باشد. و هندسه مورد مطالعه بهصورت زیر است.
شکل :1 هندسه مورد مطالعه
شرایط مرزی و اولیه مساله بهصورت زیراست.
شکل :2 شرط مرزی حاکم بر مساله
شرایط مرزی و اولیه به صورت زیر است:
معادله های حاکم بر مساله
برای مدل غیرفوریهای در انتقال حرارت جابجایی اجباری آرام، معادله پیوستگی و معادلات ممنتوم بدون تغییر با حالت فوریهای بهصورت زیر است:
اما معادله انرژی حالت غیرفوریه با حالت فوریهای متفاوت است. معادله غیرفوریهای تاخیر زمانی منفرد بهصورت
پارامتر q تاخیر زمان شار حرارتی میباشد،که از نظر فیزیکی زمان ارتباط محدود بین ذرات ماده میباشد. پس مقدار تاخیر زمانی براساس فیزیک مساله متغیر است و مقدار ثابتی ندارد. برای بهدست آوردن مقدار دقیق آن باید با استفاده از دادههای آزمایشگاهی و استفاده از روش آنالیز معکوس آنرا تخمین زد، که هدف اصلی این مقاله میباشد.
آنالیز معکوس
تحلیل معکوس ابزارهایی را برای استفاده از اطلاعات در دسترس، برای تخمین پارامترها، توابع، شرطهای اولیه و مرزی مربوط به مدلهای مختلف ریاضی فراهم میآورد. در یک مسالهی معکوس برخلاف مسالهی مستقیم، یک یا چند کمیت مجهول بوده که با توجه به مقدارهای در دسترس در زمانهای مختلف تخمین زده میشود. اگر مقدارهای اندازهگیری شده توسط یک حسگر، دما باشد، میتوان دما را به شکل ماتریسی زیر نشان داد:
جزء جدایی ناپذیر مسالههای معکوس تخمین پارامتر، خطایی است که در هر مرحله بهوجود میآید. به عبارتی، تخمینها در هر مرحله شامل خطا هستند. بنابراین این خطاها باید بهگونهای کمینه شوند. رایجترین روش کمینه کردن خطا در مسالههای معکوس استفاده از روش کمترین مربعات است که از رابطهی زیر محاسبه میگردد:
در رابطهی - 12 - بالانویس T بیانگر ترانهاده ماتریس است، T بیانگر دمای تخمین زده شده یا محاسبه شده و Y نشان دهندهی دمای اندازهگیری شدهاست. با تخمین پارامتر مجهول، دمای تخمین زده شده، از حل مستقیم مساله بهدست میآید. دمای اندازهگیری شده با استفاده از دادههای آزمایشگاهی و یا با اضافه نمودن اغتشاش به دمای تخمین زده شده بهدست میآید.
برای مثالی از اضافه نمودن اغتشاش به دمای تخمین زده شده، میتوان بهاضافه کردن تابع توزیع گوسین به دمای تخمین زده شده، اشاره نمود. که در این مقاله بهدلیل عدم وجود دادههای آزمایشگاهی یک اغتشاش به مقدار 0.01 به دادههای مستقیم اضافه گردیده است. برای دستیابی به مقدار کمینه تابع هدف، گرادیان کمترین مربعات تابع هدف باید صفر باشد.
در حل مسالههای معکوس لازم است که مفهوم ضریب حساسیت و نحوهی محاسبهی آن توضیح داده شود. ضریب حساسیت در مسالههای تخمین پارامتر مجهول، نقش اساسی ایفا میکند. در واقع این ضریب بیان کنندهی میزان حساسیت کمیت اندازهگیری شده نسبت به کمیت تخمین زدهشده، است. بنابراین، کوچک بودن این ضریب نشاندهندهی کم بودن میزان تغییرهای کمیت تخمین زدهشده نسبت به میزان تغییرهای بسیار کوچک از کمیت اندازهگیری شده، است. بهترین حالت در یک مسالهی معکوس، داشتن ضریبهای حساسیتی است که بهطور خطی مستقل از هم بوده و دارای مقدارهای بزرگ باشند. در این حالت مسالهی معکوس به مقدارهای خطا در کمیت اندازهگیری شده حساس نبوده و پارامتر مورد نظر با دقت خوبی تخمین زده میشود.
معمولا بهتر است که قبلا از حل یک مساله معکوس، حساسیت آن و پارامتر مورد تخمین نسبت به کمیت اندازهگیری شده محاسبه شوند و ضریب حساسیت آن را بهدست آورد. برای محاسبه ضرایب حساسیت روشهایی وجود دارد، که در این پژوهش با استفاده از معادلات حاکم و گرفتن مشتق از این معادلات و شرایط مرزی و اولیه آنها نسبت به کمیت مجهول و در نهایت حل معادلات حاصل، ضرایب حساسیت محاسبه شده است.
نظر به اینکه مساله انتقال حرارت مورد بررسی از نوع مساله انتقال حرارت جابجایی اجباری بوده است در نتیجه میدان درجه حرارت اثری بر معادلات حاکم بر جریان ندارد. در واقع معادلات ممنتوم متاثر از میدان درجه حرارت نبوده، بدینگونه که این معادلات به پارامترهای مجهول وابسته نمیباشند و تنها متغیری که میتواند به پارامترهای مجهول حساس باشد، متغیر درجه حرارت است. بههمین دلیل تنها معادلهای که در آنالیز معکوس برای انتقال حرارت جابجایی مورد بررسی قرار میگیرد، معادله انرژی میباشد و مقادیر سرعت با استفاده از روش مستقیم بهدست میآید.
برای بهدست آوردن ضرایب حساسیت از معادله انرژی و شرایط مرزی و اولیه نسبت به پارامتر مجهول مشتق میگیریم، که به صورت زیر میباشد.
