بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مقايسه روشهاي تنظيم کنترلر تناسبي - انتگرالي - مشتقي (PID) براي فرايندهاي ناپايدار
چکيده
در اين مقاله تنظيم پارامترهاي کنترلر تناسبي - انتگرالي - مشتقي در سه بخش مورد بررسي و مقايسه قرار گرفته است . در بخش اول ، پارامترهاي کنترلر PID در دامنه فرکانسي طبق معيارهاي پايداري نايکويست ، حاشيه فاز و بهره و ماکزيمم پيک رزونانس تحليل مي شود. در بخش دوم تنظيم ساختار کنترلر PID با استفاده از روش مدل داخلي (IMC) بررسي مي شود.
بهينه سازي يک تابع هدف بر اساس عملکرد دلخواه بخش سوم تنظيم پارامترهاي کنترلر است . عملکرد روشهاي تنظيم با انتخاب يک تابع خطا مقايسه شده و همچنين مقاوم پذيري کنترلر در هر روش نسبت به خطاي مدل ارزيابي مي گردد. نتايج شبيه سازي نشان مي دهد که در صورت عدم وجود خطاي مدل ، روش تنظيم کنترلر PID بر مبناي بهينه سازي تابع هدف عملکرد مطلوبتري دارد و چنانچه خطاي مدل اعمال گردد، روش تنظيم ساختار سه جزئي PID بر اساس IMC عملکرد بهتري دارد.
واژه هاي کليدي : فرايندهاي ناپايدار؛ کنترلر PID؛ تنظيم پارامترهاي کنترلر مقدمه
فرايندهاي شيميائي بسياري همچون راکتورهاي پليمريزاسيون در صنعت وجود دارند که جزو سيستمهاي ناپايدار به شمار مي آيند حلقه باز اين فرايندها ناپايدار بوده و تابع انتقال سيستم شامل قطب سمت راست محور موهومي مي باشد در اين فرايندها به ازاي تغيير محدود در بار ورودي سيستم اکثراً خروجي نامحدودي خواهيم داشت و با توجه به اينکه فرايندهاي واقعي اکثرًا با تاخير زماني همراه هستند اين ويژگي نيز بايد در سيستم هاي ناپايدار لحاظ مي گردد.کنترلر PID يکي از مهمترين کنترلرهاي صنعتي مي باشد و کاربرد وسيعي در کنترل فرايندها دارد. تنظيم کنترلر براي سيستم هاي ناپايدار يکي از مشکلات اساسي جهت دستيابي به عملکرد مناسب مي باشد. در اين مقاله تنظيم پارامترهاي کنترلر در سه بخش دامنه فرکانسي ، کنترلر بر مبناي مدل و بهينه سازي تابع هدف مورد بررسي و مقايسه قرار مي گيرد.
١- تنظيم کنترلر در دامنه فرکانسي معيار پايداري نايکويست
در اين روش پايداري صرفا از ديد معيار نايکويست اعمال شده و تنظيم کنترل کننده بر مبناي اين نوع پايداري انجام مي شود[٣]. رابطه زير مرز پايداري ، حاشيه اي ( Marginal Stability. ) را بيان مي کند:
ترسيم نمودار نايکويست طرفين رابطه (١)، محدوده پايداري هر کدام را مشخص مي کند. تنظيم کنترل کننده به شرطي قابل قبول است که محدوده هاي پايداري همپوشاني داشته و حاشيه فاز بهينه يا بهره بدست آيد.
سيستم ناپايدار با تاخير انتقالي بصورت زير را در نظر بگيريد:
چنانچه بر اساس تابع انتقال کنترلر PID استاندارد تغيير متغيرهاي زير را داشته باشيم :
بر طبق پارامترهاي بي بعد فوق تابع مدار باز حلقه بدست مي آيد:
و براي مرز پايداري با کنترلر PI داريم :
اگر طبق رابطه زير تعريف گردد:
و چنانچه مختصات کارتزين از روابط زير تعيين شود:
براي نيم دايره سمت چپ رابطه (٥) داريم :
که از معادله فوق جهت بدست آوردن K استفاده مي گردد:
از ترکيب معادلات (٦), (٧)و(٩),داريم :
بنابراين جهت تنظيم پارامترهاي کنترلر PI ابتدا براساس مشخص ، مقدار ماکزيمم بدست آمده و به ازاي مقادير مختلف w در محدوده مقادير Kو بدست مي آيد. از ترسيم اين داده ها محدوده آنها مشخص مي گردد شکل (١).
مرکز ثقل سطح زير نمودارها را بعنوان نقطه محافظه کارانه جهت تنظيم پارامترهاي کنترلر بکار مي بريم .
حاشيه فاز و بهره مشخص
حاشيه فاز و حاشيه بهره ، مشخصه هاي اصلي هر سيستمي در بحث مقاومسازي کنترل سيستم است . معادلات اين مشخصه ها يک روش طراحي کنترلر را فراهم مي آورد، بطوريکه با مشخص بودن آنها پارامترهاي کنترلر بدست مي آيد. نمودار نايکويست سيستم هاي ناپايدار بيش از يک حاشيه فاز و بهره دارند، بنابراين با اعمال محدوديت بر روي آنها مي توان پايداري سيستم را تامين نمود. سيستم درجه اول ناپايدار شکل (٢) دو حاشيه بهره دارد. با توجه به آنکه سيستم يک قطب ناپايدار دارد، بنابراين نقطه (٠و ١-) حتماً بايد يک دور زده شده باشد، در غير اين صورت تابع مدار بسته ناپايدار مي گردد. در ادامه پايداري سيستم درجه اول ناپايدار با کنترل کننده PI با حاشيه بهره1 Am بررسي مي گردد.
روابطي که بيان کننده حاشيه فاز و بهره مي باشند بصورت زير است :
چنانچه کنترلر PI استفاده گردد از ٤ معادله بالا ٤ مشخص مي گردد.
مجهول
ماکزيمم رزونانس پيک
اين روش مبتني بر ماکزيمم پيک رزونانس مشخص شده براي سيستم است [٦]. در صورتيکه پاسخ فرکانسي مدار باز يک سيستم ناپايدار در منحني نيکولز ترسيم شود، فاز مدار باز سيستم نقطه ماکزيممي خواهد داشت . هدف از تنظيم کنترل کننده ، قرار گرفتن اين نقطه ماکزيمم بروي پيک رزونانس (Mr) مشخص شده مي باشد.
بنابراين اگر کنترل کنندٔە PI در نظر گرفته شود، در معادله زاويه فاز مدار باز، تنها مجهول معادله زمان انتگرالي کنترل کننده خواهد بود. با بدست آوردن زاويه فاز ماکزيمم برحسبi T و با ادغام رابطه (١٦) مقدار زمان iانتگرالي مشخص مي گردد. ماکزيمم پيک رزونانس مبين بهره سيستم نيز مي باشد
از رابطه (١٧) مقدار بهره کنترلی به دست مي آيد مقدار از بهينه سازي پاسخ سيستم برحسب يک تابع هدف محاسبه مي گردد.
٢- تنظيم کنترلر بر مبناي IMC
تحليل مقاوم پذيري
الف ) با خطاي ديناميکي براساس يک سيستم درجه اول
در اين روش هدف دستيابي به قوانين ساده اي جهت تنظيم کنترلر PID و PI براي سيستم ناپايدار درجه اول ناپايدار است . روشي ارائه مي گردد که بر اساس آن مي توان وابستگي ضريب خطاي بهره فرايند يا ثابت زماني را در تحليل مقاومت پذيري و تنظيم کنترلر مشاهده نمود. از جهتي مي توان جستجوي بهينه پارامترهاي تنظيم را با استفاده از نتايج اين روش در محدودٔە کوچکي انجام داد. مبناي اين روش بر طبق طراحي IMC مي باشد.
درادامه ، بحث پايداري و آناليز مقاومت پذيري براي يک سيستم درجه اول ناپايدار که خطاي مدلسازي آن به صورت يک سيستم درجه اول منظور شده دنبال مي گردد:
تحليل پايداري بر اساس پارامترهاي که مشخصه مدل فرايند و فيلتر مي باشند به روش مقاومت پذيري بر مبناي معيار روث (Routh Criterion) صورت مي گيرد [٨].
تحليل روث بر اساس رابطه زير بيان مي شود:
اگر فيلتر درجه اول در نظر گرفته شود و از طرفي پارامترهاي بي بعدد تعريف گردند و اپراتور لاپلاس نيز بدون بعد گردد از رابطه (١٩) داريم :
طبق تحليل پايداري روث روابط زير بدست مي آيد:
به اين ترتيب مي توان کمترين مقدار ضريب فيلتر را بر اساس تابعيتي از ثابت زماني بي بعد بدست آورد و از طرفي حد ماکزيمم مقدار (k -١) که نشان دهنده خطا ي بهره است را مشخص مي کند شکل (٤)،[٨].
فيلتر f و پارامترهاي تنظيم کنترلر بر مبناي IMC بدست مي آيد. با مشخص شدن مقدار برحسب تحليل مقاوم پذيري پارامترهاي تنظيم با استفاده از جدول (١) بدست مي آيد.
ب) تحليل مقاومت پذيري با تاخير زماني و خطاي بهره
فرض مي کنيم تابع انتقال فرايند بصورت زير تعريف شود:
