بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
میرایی کلاسیک و غیر کلاسیک در تحلیل دینامیکی سازه ها
چکیده
بر خلاف فرض متداول در دینامیک سازه و مهندسی زلزله، میرایی اکثر سازه های واقعی بخصوص سازه های پیچشی، سیسـتم هـای اندرکنشـی خـاک- سـازه وسـازه های دارای میراگر از نوع متناسب(کلاسیک) با ماتریس جرم و سختی نیست. هرچند اتلاف انرژی در سازه های واقعی هنگام ارتعاشات ناشی از زلزلـه مکـانیزم پیچیـده ایی دارد، تاثیرتمام عوامل موثر بر چنین مکانیزمی در ماتریس میرایی خلاصه می گردد. با این وجـود در تحلیـل دینـامیکی سـازه هـا، میرایـی در سـازه اغلـب بصـورت فرضی یا تجربی و آنهم از نوع رایلی در نظر گرفته می شود. در این مقاله، ماتریس میرایی کلاسیک و غیر کلاسیک جهت استفاده در تحلیـل هـای دینـامیکی سـازه هـا مورد بررسی قرار می گیرد.
کلمات کلیدی: میرایی کلاسیک، میرایی غیرکلاسیک، مهندسی زلزله، دینامیک سازه
1- مقدمه:
معمولا در محاسبات لرزه ایی سازه ها، فرض می شود که ماتریس میرایی از نوع متناسب(کلاسیک) با ماتریس جرم و سختی است.این فرض رایج برای سازه های برشی و منظم که خواص میرایی ( جذب انرژی) تقریبا یکسانی در تمام اعضای سازه دارند قابل قبول است، ولی در طبیعت کمتر سازه ایی پیدا می شود که میرایی آن از نوع کلاسیک باشد چون میرایی بستگی به کل سیستم دارد به عبارت دیگر، بستگی به عوامل زیادی از جمله مدل سازه، نوع مصالح،خواص مکانیکی و دینامیکی خاک، اندرکنش خاک و سازه ، نوع و محتوای بارگذاری دارد. کلیه عوامل در ماتریس میرایی خلا صه می گردد که بر خلاف سیستمهای ساده ومنظم، متناسب با ماتریس جرم و سختی نمی باشد. بعنوان مثال در مسائل مربوط به سازه های پیچشی، اندرکنش خاک و سازه، اندرکنش وتجهیزات مکانیکی، اندرکنش سازه ومایعات، سازه های مرکب وسازه های خاکی ماتریس میرایی از نوع غیر کلاسیک خواهد بود. لذا در تحلیل این نوع سیستمها، تعیین ضرایب ماتریس میرایی که بتواند رفتار واقعی سیستم را نشان دهد یکی از مشکلترین و مهمترین قسمت تحلیل این نوع سازه ها می باشد. دراین متن روش تعیین ضرایب ماتریس میرایی کلاسیک و غیر کلاسیک تشریح می گردد.
-2 برآورد ضرایب ماتریس میرایی کلاسیک
هر چند در سیستم های ارتعاشی یکدرجه آزاد(( SDOF ضرایب میرایی می تواند از روابط زیر بدست آید:
(1)
این رابطه نشان می دهد که بر اساس پارامترهایی از جرم ، سختی ونسبت میرایی مودی به آسانی بدست می آید، در نتیجه برای رابطه فوق می توان داشت:
(2)
، , ضرایبی هستند که با نسبت میرایی تناسب دارند. بنابراین با استفاده از جرم و سختی می توان میرایی را بدست آورد. در سیستم های چند درجه آزاد
( MDOF ) رابطه مشخصی بین میرایی با دیگر پارامترها، مانند جرم و سختی وجود ندارد و همچنین مستقیما نمی توان میرایی سیستم را اندازه گیری کرد، بلکه از
طریق آزمایشات آزمایشگاهی، ارتعاش اجباری وارتعاش محیطی تنها می توان نسبت میرایی مودی ζ را اندازه گیری کرد. کلاف و پنزن (1977) رابطه زیر را برای تعیین ضرایب ماتریس میرایی کلاسیک در حالت کلی ارائه دادند:
(3)
که در آن-∞<i<+∞ می باشد.
رایلی نشان داد در حالت خاص که باشد از رابطه (3) می توان ماتریس میرایی را بصورت زیر بدست آورد:
(4)
که به رابطه رایلی معروف است و ضرایب ماتریس میرایی کلاسیک را ارائه می دهد.
بنابراین واضح است ماتریس میرایی که متناسب با ماتریس جرم وسختی باشد منجر به غیر کوپله شدن معادلات حرکت
می شود، حال برای میرایی مودی در هر مود داریم:
(5)
که [C] از رابطه (3) در رابطه (5) قرار داده می شود و خواهیم داشت:
(6)
حال با استفاده از رابطه وانجام تعدادی عملیات جبری می توان نشان داد که ضریب میرایی مربوط به هر مود به شکل زیر می باشد:
(7)
بنابراین ضریب میرایی مودی بصورت زیر محاسبه می شود:
(8)
از رابطه (8) می توان ضرایب را برای هر تعداد مقادیر میرایی دلخواه، نسبتهای میرایی مربوط به هر تعداد مد مشخص را تعیین نمود. بعنوان مثال ، برای تعیین
ضرایب ثابت مربوط به چهارنسبت میرایی اولیه ،2 ، 3 و4 می توان با انتخاب i=1,2,3,4 در رابطه (8) دستگاه معادلات زیر را تشکیل داد:
(9)
در حالت کلی رابطه (9) را می توان به شکل زیر نوشت:
(10)
ماتریس [Q] ماتریس مربعی است که حاوی توانهای مختلف فرکانسهای زاویه ای است. با حل معادله 10، ضرایب مجهول بدست می آید:
(11)
بدین ترتیب با جایگزینی رابطه (11) در رابطه (3) ضرایب ماتریس میرایی کلاسیک بدست می آید. با توجه به رابطه 3 در حالت خاصی که ماتریس میرایی فقط
متناسب با ماتریس جرم باشد( )، مقادیر میرایی با فرکانسهای زاویه ایی طبیعی نسبت عکس دارند و بنابراین مودهای بالاتر سازه خیلی کم
میرا خواهند شد. بهمان صورت اگر میرایی فقط متناسب با ماتریس سختی باشد( )، مقادیر میرایی با فرکانسهای طبیعی سیستم نسبت مستقیم خواهند
داشت و ملاحظه می گردد که رابطه 3 به ازای محاسبه می گردد و در این حالت در مودهای بالا، میرایی خیلی زیاد خواهد بود.
روش دیگری هم برای برآورد ضرایب ماتریس میرایی کلاسیک مربوط به هر تعداد مود و با نسبت های میرایی مودال مشخص شده، وجود دارد. اساس روش فوق بر پایه رابطه زیر استوار است:
(12)
که در آن ماتریس مودهای نرمال شده و . جرم های مودی می باشند. چنانچه بردار مودی بصورت
مقیاس شده باشد در آن صورت مقدار عبارت فوق برابر 1 می گردد. کاملا مشهود است که ماتریس میرایی با پیش ضرب و
پس ضرب رابطه 7 در معکوس تراسپوز ماتریس مودال و معکوس همان ماتریس حاصل می تواند بصورت زیر باشد:
(13)
بنابراین برای هر نسبت میرایی اولیه ، ماتریس با استفاده از رابطه 12 و ماتریس میرایی با استفاده از رابطه 13 بدست می آید. در عمل، محاسبه معکوس
ماتریس مودال به یکسری عملیات جبری طولانی نیاز دارد. از طرف دیگر، می توان با استفاده از خاصیت تعامد مودها، رابطه زیر را جهت برآورد ضرایب
ماتریس میرایی کلاسیک بکار برد:
(14)
ماتریس میرایی که از رابطه 14 بدست می آید دارای خاصیت تعامد مودها نسبت به آن بوده و بنابراین در تبدیلات مختصات فیزیکی به مختصات نرمال، رسیدن
به معادلات مستقل تک مجهولی را امکانپذیر می نماید.
3- برآورد ضرایب ماتریس میرایی غیر کلاسیک:
بر اساس تعریف کاگی و اوکلی(1967)1، میرایی یک سیستم،زمانی کلاسیک(متناسب) می باشد که رابطه زیر ارضاء شود:
١Caughey and OKelley -
