بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
يک مدل ساده کوانتومي براي محاسبه تابع پارش نانولوله هاي تک ديواره کربني
چکيده: در اين مقاله ديناميک شبکه کندو عسلي با استفاده ازتقريب نوسانگر هم آهنگ مورد بررسي قرار گرفته است . در اين مدل , بر همکنش بين اتم با همسايه هاي نزديک آن بوسيله فنرهاي يکساني که آنهارا به هم متصل کرده است نمايش داده مي شود. ماتريس ديناميکيِ مدهاي نوساني دستگاه بدست آمده ومسئله ويژه مقداري به طور تحليلي حل شده است . يک هاميلتوني کوانتومي بر اساس اين مدهاي بهنجار ارائه شده وبر اساس آن چند کميت ترموديناميکي مهم براي يک نانو لوله تک ديواره مانند تابع پارش ، انرژي آزاد هلمهولتز وظرفيت گرماي ويژه در حجم ثابت محاسبه شده و نمودار ظرفيت گرماي ويژه بر حسب دما براي چند نانو لوله رسم شده است .
کليد واژه - نانو لوله هاي کربني تک ديواره ، مدهاي نرمال ، تابع پارش ، معادلات حرکت .
١- مقدمه
در کريستالها اتم ها حول نقاط تعادلشان نوسان مي کنند. محاسبه فرکانس نوسانات ومدها بسيار مهم است ودر حال حاضر مطالعات جدي در اين زمينه انجام مي شود.
مطالعه اين فرکانس ها براي توضيح خواص متفاوت شبکه کريستالي ، براي مثال ، گرماي ويژه ، ضرائب بسط گرمايي و نوسانات شبکه ضروري است . در تقريب نوسانگر هم آهنگ , پتانسيل برهم کنشيِ بين اتمي , با در نظر گرفتن جملات بسط , فقط تا مرتبه دوم بر حسب جابجايي از حالت تعادل محاسبه مي شود که به دليل خطي بودن معادلات حرکت به مسئله ويژه مقداري براي محاسبه مدهاي ويژه وفرکانس هاي متناظر با آن منجرمي شود. در اين مقاله اين معادله خطي را به حالت کوانتومي تعميم مي دهيم .
٢- تئوري
شکل (١) شبکه کندو عسلي را نشان مي دهد. اتم هاي مشکي و سفيد، اتم هاي کربن با جرم يکسان m هستند. مي خواهيم مدهاي نوساني شبکه کندو عسلي را در تقريب هم آهنگ محاسبه کنيم . در اين مدل ساده برهمکنش بين همسايه هاي نزديک بوسيلة فنرهايي که آنها را به هم متصل کرده است نمايش داده مي شود.
شکل ١ : شبکه کندو عسلي اتم هاي کربن . خط هاي مستقيم معادل با فنرهاي کشيده نشده با ثابت فنر D هستند که اتم ها را در حالت تعادل به هم متصل کرده اند.
نيروي وارد بر يک اتم ، حاصل کشيده شدن سه اتم سفيد همسايه آن است . اگر بردار بين دو انتهاي فنر کشيده نشده با ثابت فنر D را با نمايش دهيم در اين صورت بردار جابجايي اتم سياه است و با استفاده از تقريب هارمونيک ونماد ضرب مستقيم نيرو را مي توان به صورت زير نوشت [١]:
که درآن طبق تعريف :
براي بدست آوردن معادلات حرکت ، سه بردار اوليه را معرفي مي کنيم [٢] شکل (٢). جابجايي دو اتم در سلول اوليه که بوسيلة بردار مشخص مي شوند را با نشان مي دهيم که درآن جابجايي اتم سياه و جابجايي اتم سفيد سمت راست آن از موضع تعادل را مشخص مي کند. معادلات حرکت براي عبارت است از[١]:
معادلات (٣) يک مجموعة بينهايت از معادلات براي جابجايي هاي هستند. با استفاده از يک روش معمول ، جوابها را به صورت يک موج با فرکانس زاويه اي وبردار موج q نمايش مي دهيم . وبا استفاده از شرايط مرزي را محدودبه منطقة اول بريلوئن مي کنيم .
در اينصورت به يک مسئله ويژه مقداري مي رسيم که با حل تحليلي آن مدهاي نرمال شبکه کندو عسلي به صورت زير بدست مي آيد [١]:
فرکانس شرط ثابت ماندن مرکز جرم شبکه را نقض مي کند و مي توان آنرا کنار گذاشت . با استفاده از اين فرکانس ها يک هاميلتوني کوانتومي به صورت زير ارائه مي دهيم :
مي دانيم که تابع پارش يک نوسانگر هماهنگ ساده عبارت است از[٣]:
به صورت زيربنويسيم [٣]:
به دليل استقلال مدهاي نوساني , تابع پارش را مي توانيم
