بخشی از مقاله
چکیده -
در این مقاله تبدیلی دقیق و صحیح از هارمونیکهاي زمانی و فرکانسی الگوهاي رتیکلی که در دستگاه مختصات قطبی بیان شده است، بهدست آمده است. تحلیل الگوهاي رتیکلی از تبدیل فوریه شروع میشود و پس از بررسی مشکلات آنها، یک الگوریتم خطی سریع براي غلبه بر مشکلات تبدیل فوریه پیشنهاد میشود. سپس به تحلیل توابع پایه تبدیل در دو بعد شعاع و زاویه میپردازیم.
الگوریتم خطی سریع، در اولین قدم، به افزایش قابلیت تفکیک و مفاهیم فرکانسی در شبیهسازي تصاویر کمک میکند.
مقدمه
وجود یک روش مناسب براي آنالیز سنسورهاي رتیکلی ضروري بهنظر میرسد. رتیکل المان نوري است که شامل نواحی شفاف و کدر است و ترکیب آنها با هم یک الگو را تشکیل میدهد. یک سنسور رتیکلی شامل ادوات جمعکننده نوري، المان رتیکل و آشکارساز است.
شبیهسازي جستجوگرهاي رتیکلی، بهوسیله روشهاي مختلفی فرمول بندي میشود1]،.[2 داشتن دانش کامل از هارمونیکهاي پاسخ رتیکل و پاسخ رتیکل به هارمونیکهاي موجود در یک تصویر، خروجی آشکارساز را به صورت دقیق ایجاد میکند. در عمل بیشتر شبیهسازها از تبدیل فوریه سریع بر روي تصویر یک صحنه و یک الگوي رتیکلی که در مختصات کارتزین بیان شده است، استفاده میکنند. این درحالی است که نیاز است محاسبات همزمان و سریع به دور از مشکلات تبدیل فوریه سریع صورت گیرد.
-1 آنالیز هارمونیکی و طیففرکانسی آنها
تولید و به وجود آوردن اجزاي هارمونیک یک پروسه یا فرآیند نوسانی مشخص به قسمی که هر پروسه به صورت اتفاقی یا تصادفی به وجود آمده است، آنالیز طیفی نامیده میشود.[4] میلمن ثابت کرده است که هر پروسه اتفاقی میتواند به صورت روابط ریاضی به اجزاي سینوسی خالص بازسازي شود. تئوریهاي اساسی براي اعمال آنالیز هارمونیکی از سال 1800 میلادي به مسائل نوري شکل گرفت Dow Smith .[5] و Roy Leight کار جدیدتري روي این موضوع انجام دادهاند. کار آنها شامل تشکیل تصویر خطوط مجزاي یکنواخت به وسیله یک شکاف مستطیل شکل بود ونشان داد که این شکلدهی بسیار به تابع تبدیل نزدیک است.
-1-1 تبدیلات مناسب براي آنالیز رتیکلها
ادوات جمعکننده نوري معمولا رفتاري حلقوي شکل دارند و آنالیز آنها باید در دستگاه مختصات قطبی صورت گیرد.
تبدیل فوریه دوبعدي در دستگاه مختصات کارتزین به علت تقارن در توابع پایه و تفسر آسان آنها، بسیار مفید است.
توابع پایه تبدیل فوریه دوبعدي، توابع سینوسی هستند.
بررسی توابع سینوسی نشان میدهد که برخلاف رفتار منحنی گونه اجزاي نوسانی الگوهاي رتیکلی، رفتاري مستقیم وار دارند. در شکل 1 تبدیل فوریه رتیکل FM چرخ-واگن 10قطاعی نشان داده شده است. ملاحظه میشود که بین اجزاي نوسان کننده رتیکل و اطلاعات نمایش داده شده در تبدیل، رابطه آشکاري وجود ندارد. لذا این تبدیل براي تحلیل سنسورهاي رتیکلی مناسب نیست
شکل :1 تبدیل فوریه رتیکل FM چرخ-واگن 10قطاعی
تبدیل فوریه قطبی، همان تبدیل فوریه کارتزین در دستگاه مختصات قطبی است. اگرچه این تبدیل ساختار مفیدتري نسبت به تبدیل قبلی دارا است اما ثابت شده است که بسیار کم سرعت است، لذا این تبدیل پیشرفتی براي تفسیر و شرح رتیکلها بیان نمیکند.
تبدیل Hankel نیز براي آنالیز رتیکلها پیشنهاد میشود ولی به دلیل پیچیدگی که در ارزیابی این تبدیل وجود دارد بسیار کمتر از آن استفاده میشود.[8] تبدیل فوریه- ملین، تبدیلی است که از ترکیب دو تبدیل فوریه و ملین به دست آمده است. تبدیل فوریه در زاویه و تبدیل ملین در شعاع توسط رابطه - 1 - بیان میشود.
تبدیل فوریه- ملین داراي یک عیب است و آن تکین بودن در مرکز تبدیل است. اجزاي شعاع معکوس ممکن است به وسیله - f - r,θ حذف نگردد و وقتی شعاع به سمت صفر میل می کند یا هدف به سمت مرکز نوري رتیکل نزدیک میشود منجر به یک نتیجه غیرمحدود گردد. به همین دلیل تبدیل فوریه- ملین تحلیلی پیشنهاد میشود که در رابطه - 2 - مشخص شده است.
σ مقداري کوچک و مثبت در حدود ./5 در نظر گرفته میشود. معرفی سیگما باعث میشود که تبدیل، رفتار پایدارتري نزدیک مرکز از خود نشان دهد. یکی از خصوصیات اصلی تبدیل فوریه- ملین، چرخش متغیرها است که در آنالیز رتیکلها مناسب است؛ چراکه علارغم چرخش تصویر رتیکل با تابع به هر مقدار دلخواه، دامنه تبدیل ثابت میماند. لذا با وجود این خاصیت میتوان تابع تبدیل مدولاسیون پایداري براي رتیکلهاي چرخان به دست آورد.
-2-1 تبدیل فوریه- ملین خطی سریع
در این بخش بر چگونگی به وجود آمدن الگوریتم تبدیل خطی سریع فوریه- ملین تاکید میکنیم. سادهترین و آسانترین روش براي جمعآوري دادههاي تجربی براي آنالیز به وسیله تبدیل فوریه-ملین این است که از مجموعههاي خطی المانهاي آشکارساز که یک انتها را جاروب کنند استفاده نماییم. لذا دادهها در دستگاه قطبی نمونه برداري میشوند. تبدیل تحلیلی فوریه- ملین را در نظر بگیرید؛ درحالی که rσ −iυ−1 به زاویه وابستگی ندارد و میتوان رابطه - 2 - را به صورت رابطه - 3 - بازنویسی کرد.
الگوریتم تبدیل فوریه- ملین خطی سریع تکین بودن در مرکز تبدیل را آدرس دهی نمیکند. سه روش براي کنترل تکین بودن در مرکز تبدیل وجود دارد که شامل تبدیل فوریه تحلیلی که از مقادیر غیر صفر براي سیگما استفاده مینماید، روش عبور از صفر و شعاع محدود است. با بررسی توابع پایه شعاع به این نتیجه میرسیم که روش اول و سوم نسبت به روش دیگر مفیدتر است و روش سوم تطابق کامل بین نتایج عددي و تحلیلی یک شکاف رتیکلی که تبدیل فوریه- ملین خطی سریع برروي آن اعمال شده است، نشان میدهد
دامنه از متغیرهاي تبدیل این اجازه را میدهد که بتوان تعبیر و گزارش مستقیمی از تبدیل ارایه نمود؛ درحالی که هر کدام از آنها به تنهایی بر دامنه تابع پایه تاثیرگذار هستند. این مطلب براي ارزیابی توابع پایه شعاعی صادق نیست. توابع پایه زاویه مانند تبدیل فوریه یک بعدي هستند.
با در نظر گرفتن تابع مستطیل شکل رابطه - 10 - و اعمال تبدیل فوریه- ملین تحلیلی در بعد زاویه، تابعی به دست میآید که در رابطه - 11 - مشخص شده است.
توزیع هارمونیکهاي شعاعی براي تبدیل فوریه- ملین تحلیلی، راهحل مناسبی براي تابع پایه شعاعی است. آنچه آشکار است این است که تابع پایه به مقدار r براي فرکانس و دامنه وابسته است. با افزایش شعاع، دامنه و فرکانس تابع پایه کاهش مییابد. با بازنویسی تابع پایه شعاعی به صورت رابطه - 12 - ، ملاحظه میشود که ترم نوسانی آن به لگاریتم طبیعی شعاع و فرکانس وابسته است.
-3-1 تفسیر توابع در دو بعد زاویه و شعاع
تفسیر و تعبیر تبدیل فوریه- ملین دوبعدي نیاز به فهم دو بعدي از فضاي تبدیل، مانند ϕ براي اطلاعات زاویه و υ براي اطلاعات شعاعی مورد نیاز است. توابع پایه شعاع و زاویه به ترتیب در زیر مشخص شدهاند.
از رابطه - 9 - بر میآید که θ متغیري مستقل بوده و ϕ یک ثابت براي ارزیابی مجزاي هر تبدیل است
تاکنون روشهاي گوناگونی براي تحلیل و آنالیز رتیکلها پیشنهاد شده است. تیلور، نیز از جمله صاحبنظرانی است که در این زمینه فعالیتهاي بسیار ارزندهاي انجام داده است. تاکنون از تبدیل فوریه سریع براي تحلیل رتیکلها استفاده میشد ولی همانطور که در قبل ذکر گردید، این تبدیل با مشکلات فراوانی همراه است. لذا این خود باعث شد که عمده توجه پژوهشگران به سمت تبدیل فوریه-ملین معطوف شود. در این تبدیل مجذور دامنه اهمیت بیشتري نسبت به فاز آن دارد؛ چرا که فاز آن میتواند از دامنه تبدیل که تابع تبدیل مدولاسیون براي رتیکلها است
