بخشی از مقاله
خلاصه
در این مطالعه، پدیده ارتعاش آزاد تیر تیموشنکو با سطح مقطع ثابت ساخته شده از مصالح مدرج تابعی - FGM - مطالعه شده است. مصالح مدرج تابعی باعث توزیع بهینه مقاومت و وزن در سازه وحفظ تمامیت ساختاری آن میشود؛ این خصوصیات در نهایت باعث بهینه شدن طراحی سیستمهای ارتجاعی میشود. همچنین، تعیین فرکانس ارتعاشی برای حل مسائل دینامیکی از اهمیت بالایی برخوردار است. در این مطالعه از روش اختلاف محدود برای تعیین فرکانس طبیعی ارتعاش تیر تیموشنکو ساخته شده از مصالح مدرج تابعی با سه نوع شرایط تکیهگاهی شامل دوسر گیردار، یک سر گیردار و یک سر آزاد و دو سر مفصل استفاده شده است.
خصوصیات مصالح در راستای طولی به صورت پیوسته و تدریجی و طبق قانون توانی تغییر میکند. همچنین بعلت تفاوت ناچیز ضریب پواسون مصالح سازنده تیر، مقدار آن در طول عضو ثابت در نظر گرفته شده است. در پایان جهت بررسی دقت نتایج و نحوه عملکرد راه حل پیشنهادی از نرم افزار آباکوس - Abaquse - استفاده شده است؛ مقایسه نتایج نشان میدهد روش اختلاف محدود برای تعیین فرکانس ارتعاش آزاد تیر با مصالح مدرج تابعی، روشی کارآمد و با دقت بالا است.
.1 مقدمه
تعیین فرکانس ارتعاشی برای سازهها از گذشته مورد توجه محققان و پژوهشگران بوده است. در اولین گام برای بهدست آوردن فرکانس ارتعاشی باید نوع تیر را از نظر تئوری آن مشخص کنیم. مطابق آن، تیر اویلر-برنولی - Euler-Bernoulli - میگویند. در معادلات حاکم بر رفتار تیر اویلر-برنولی از اثرات برشی و اینرسی دورانی به دلیل فرضیههای اولیهی این روش و همچنین تاثیر ناچیز آنها صرفنظر میشود.
در برابر فرضیه مذکور، تئوری تیر تیموشنکو مطرح میشود. مفهوم تیر تیموشنکو برای اولین بار در اوایل قرن بیستم توسط دانشمند روسی تیموشنکو - Timoshenko - مطرح گردید. در صورتی که ابعاد سطح مقطع تیر نسبت به طول آن قابل توجه باشد، عضو خمشی به تیر تیموشنکو تبدیل میشود و از معادلات حاکم بر رفتار این نوع تیر پیروی میکند. در تیر تیموشنکو اثرات برش و اینرسی دورانی قابل توجه بوده و غیرقابل چشم پوشی است که تأثیر زیادی بر خصوصیات دینامیکی تیر میگذارد.
در تحلیل ارتعاش آزاد و تعیین فرکانسهای مدهای مختلف ارتعاشی، مهمترین مسئله حل معادلات حرکت حاکم بر تیر تیموشنکو است. مسیرهای حل پیشنهاد شده در بیشتر مراجع، روشهایی طولانی و همراه با سادهسازیهای فراوانی جهت تبدیل دستگاه معادله حاکم به یک معادله دیفرانسیل واحد و قابل حل است. در صورتی که تیر از مصالح مدرج تابعی ساخته شده باشد تمام ساده سازیهای اشاره شده منجر به ایجاد خطاهای بزرگ در تعیین جوابها میگردد. از این رو باید به دنبال یافتن راه حلهایی برای دسترسی به جواب منطقی باشیم.
در طی سالیان اخیر، دستهای از مواد کامپوزیت بهنام مصالح مدرج تابعی مورد توجه محققان قرار گرفتهاند. این مواد از ترکیب دو یا چند نوع مصالح ساخته میشوند. نوع این ترکیب یک راه حل هوشمندانه برای بهبود خصوصیات رفتاری مصالح از جمله مقاومت برشی است. در صورتی که اگر دو یا چند مصالح را بصورت قطعات جدا به یکدیگر متصل کنیم در محل اتصال دچار تنش برشی زیادی شده و باعث ضعف در مقطع میشود. استفاده از این مصالح با توجه به ویژگیهای خاص خود میتواند خصوصیات حرارتی و مقاومتی بالایی را از خود نشان دهد.
مصالح مدرج تابعی بصورت ترکیب درصدی از مواد در جهات مختلف با توابع دلخواه میتواند مشخصات و ویژگیهای مورد نیاز را تامین کند. معروفترین توابعی که برای طرح اختلاط مصالح مدرج تابعی استفاده میشود توابع توانی میباشند. در بیشتر مصالح مدرج تابعی از ترکیب آلیاژهای فلزی و سرامیک استفاده شده است. ماده فولادی دارای مقاومت و استحکام بسیار بالا است ولی در مقابل حرارت و تغییرات دما حساس بوده و دارای ضعف است؛ از سوی دیگر سرامیک دارای خصوصیات حرارتی بسیار بالا بوده و در مقابل تغییرات دما و حرارت به خوبی مقاومت کرده ولی از نظر مقاومت و استحکام مکانیکی دارای عملکرد نامطلوب است. ترکیب این دو نوع ماده باعث میشود که ماده نهایی دارای ویژگیهای مکانیکی فولاد و حرارتی سرامیک باشد.
در این زمینه، کلنگور [1] در سال 1992 با استفاده از روش اجزای محدود، رفتار تیر مخروطی ساخته شده از مصالح متغیر تحت ارتعاش آزاد را مطالعه نمود. سپس تانگ [2] به تحلیل ارتعاشی تیر تیموشنکو با مصالح و نیمرخ متغیر پرداخت. اسماعیل زاده و اوحدی [3] در سال 2000 با تبدیل دستگاه معادله دیفرانسیل حاکم بر پایداری و ارتعاش آزاد تیر تیموشنکو غیرمنشوری به یک معادله دیفرانسیل مرتبه چهار همگن و با ضرایب متغیر، مقادیر دقیق بار کمانشی و فرکانس طبیعی ارتعاش را با استفاده از روش سری توانی محاسبه نمودند.
سورنتینو [4] رفتار تیر تیموشنکو غیرهمگن با میرایی گسترده تحت ارتعاش را بررسی نمود. لی [5] در سال 2008 رفتار استاتیکی و دینامیکی تیرهای اویلر-برنولی و تیموشنکو ساخته شده از مصالح مدرج تابعی را مورد مطالعه قرار داده است. شیمشک و کوچاتورک [6] ارتعاش آزاد و اجباری تیر از جنس FGM را تحت بارگذاری متحرک محوری بررسی کردند. در پژوهش مذکور، معادلات حرکت بر مبنای تئوری کلاسیک و با استفاده از روش لاگرانژ بهدست آمده است
لی [7] در پژوهشی دیگر در سال 2010 تیرهای ساخته شده از مصالح مدرج را با در نظر گرفتن تغییر شکلهای بزرگ تحلیل نمود. خلیلی و همکاران یک روش عددی جدید را با ترکیب دو روش مرسوم رایلی-ریتز و DQM به منظور بررسی رفتار دینامیکی تیر از جنس FGM تحت بار متحرک ارائه کردند .[8] آنها معادلات حرکت را بر پایهی تئوری کلاسیک تیرها و با استفاده از روش لاگرانژ استخراج کردند .
شهبا [9] بار کمانش بحرانی و فرکانس طبیعی ارتعاش را برای تیر تیموشنکو با مقطع متغیر باتوجه به شرایط مرزی کلاسیک و غیر کلاسیک و با ارائه یک روش عددی جدید براساس روش اجزای محدود محاسبه نمودند.
فلاح و اقدم [11-10] به تحلیل پسا کمانشی و ارتعاش غیرخطی تیرهای ساخته شده از مصالح مدرج تابعی متکی بر بستر الاستیک غیرخطی پرداختند. همچنین، شهبا [12] ارتعاش آزاد و پایداری خطی و ارتجاعی تیر اویلر-برنولی با مقطع متغیر ساخته شده از مصالح مدرج تابعی محوری را بررسی نمود. در ادامه، هوانگ [13] رفتار تیرهای ساخته شده از مواد مدرج تابعی را تحت ارتعاش آزاد با تبدیل معادله دیفرانسیل حاکم بر این اعضا به معادلات انتگرالی فردهلم مطالعه کرد.
اخیرا، پائول [14] ارتعاش آزاد تیرهای تیموشنکو پیش تنیده ساخته شده از مصالح مدرج تابعی را با استفاده از روش حساب تغییرات مورد بررسی قرار داد.
در این پژوهش فرکانس طبیعی ارتعاش تیر تیموشنکو ساخته شده از مصالح مدرج تابعی با استفاده از روش اختلاف محدود تعیین میشود. در مصالح مدرج تابعی، ویژگیهای هر نقطه از تیر توسط یک قانون اختلاط در نظر گرفته شده بصورت تابعی از ویژگیهای مواد تشکیل دهنده آن در هر نقطه تعریف میشود. تغییرات جرم واحد حجم - - و ضریب ارتجاعی - E - مصالح مصرفی در امتداد محور طولی تیر مطابق با رابطه توانی زیر در نظر گرفته شدهاند:
در روابط فوق، L بیانگر طول تیر و پارامتر m نمایانگر غیر همگن بودن مصالح میباشد . باتوجه به رابطه فوق کاملا مشخص است که با افزایش شاخص کسر حجمی - m - درصد حضور اکسید زیرکونیم در طرح اختلاط ماده تابعی افزایش مییابد و این منجر به افزایش وزن و سختی ماده سازنده تیر میشود. همچنین زیرنویسهای 0 و 1 به ترتیب مربوط به خصوصیات مصالح در ابتدا و انتهای تیر است. که در این پژوهش از دو ماده خاص آلومنیوم و زیرکونیا استفاده شده است به نحوی که ابتدای تیر از جنس زیرکونیا بوده و با پیشرویی در طول تیر از درصد مصالح زیرکونیا کاسته شده و به درصد مصالح آلومنیوم افزوده میشود. بنابراین در مقاله حاضر، زیر نویسهای 0 و 1 به ترتیب به خواص سرامیک و فلز اشاره میکنند و مقادیر مرتبط با ضریب یانگ و چگالی هریک به صورت زیر میباشند:
به علت تفاوت بسیار کم ضریب پوآسون مصالح سازنده تیر، مقدار آن در طول ثابت و برابر 0/3 در نظر گرفته شده است. در این مطالعه، m برابر با نیم، یک، یک و نیم، دو، دو و نیم و سه در نظر گرفته شده است.
.2 مدل ساختاری
در تئوری تیر تیموشنکو در حالتی که دستگاه مختصات بر روی مرکز سطح مقطع قرار گرفته باشد جابهجایی محوری و عرضی به ترتیب توسط روابط زیر بیان میشوند:
که در آن x,y,z مختصات هندسی و t زمان است. همچنین θ و w به ترتیب برابر با دوران خمشی و جابجای عرضی است. که در شکل - 1 - نشان داده شده است.
شکل – 1 میدان جابهجایی حاکم بر تیر تیموشنکو با مقطع ثابت
