بخشی از مقاله
خلاصه
معادله دیفرانسیل لاپلاس برای توضیح بسیاری از شرایط فیزیکی در حال تعادل مانند توزیع حرارت در جامدات، الکتراستاتیک، جریان های دو بعدی غیرچرخشی و جریان آب زیرزمینی کاربرد دارد.در اکثر تحقیقات انجام شده حل معادله دیفرانسیلی دو بعدی لاپلاس با روش تفاضلات محدود انجام شده است.
در این تحقیق برای حل این معادله ار توابع پایه نربز - - NURBS و روش گالرکین استفاده شد. مثالی دو بعدی با شرایط مرزی مشخص ارائه گردید و با روش ایزوژئومتریک حل و سطح آب زیرزمینی در آبخوان مورد نظر محاسبه و ترسیم شد .استفاده از این روش حجم محاسبات را کاهش داد و دقت آن به دلیل استفاده از توابع پایه نربز محاسبه شده بر اساس هندسه دقیق بالاتر است.
1. مقدمه
حل معادلات دیفرانسیل حاکم بر رفتار یک سیستم از مهمترین مسائلی است که همواره در زمینه های علوم و مهندسی مورد بحث قرار میگیرد. از آنجا که تنها موارد معدودی از این معادلات را میتوان مستقیما با روشهای تحلیلی حل نمود، روشهای عددی زیادی در چند دهه اخیر برای حل چنین معادلاتی پیشنهاد شده است. روش های عددی با ظهور کامپیوترها رشد چشمگیری داشتهاند و امروزه به کمک کامپیوترها و این روشها قادر به حل معادلات بسیار پیچیده در حوزههای متنوع علوم میباشیم.
برخی از روشهای عددی معروف عبارتند از روش تفاضل محدود، روش اجزای محدود، روش نقاط محدود و روشهای جدیدتر مانند روشهای بدون مش که این روشها هریک در پی دیگری آمده و به دنبال ایجاد کارایی، دقت، سرعت بالاتر و ایجاد امکاناتی جدیدتر برای حل مسائل و رفع مشکلات روشهای قبلی بودهاند
از پرکاربردترین این روشها روش اجزای محدود میباشد که روشی عددی برای حل تقریبی بسیاری از مسائل مهندسی است.این روش ما را قادر می سازد که یک مسئله با بینهایت درجه آزادی را به یک مسئله با درجات آزادی محدود تبدیل نمائیم تا بدین وسیله حل آن ساده تر شود. در روش اجزای محدود از توابع پایه درونیاب لاگرانژ و هرمیت به صورت گسترده ای استفاده شده است که تقریب سازی فضای حل و هندسه با این توابع صورت میگیرد. اما این روش نمیتواند هندسه دقیق یک مدل فیزیکی را برداشت نماید
روش تحلیل همهندسی در سال 2005 توسط هیوز و همکارانش برای رفع شکاف موجود بین دنیای تحلیل اجزای محدود و مدلسازی کامپیوتری معرفی شد
نام این روش برگرفته از مفهوم ایزوپارامتریک در روش المان محدود میباشد. توابع پایه به کار رفته در توصیف دقیق هندسه در تقریب میدان حل نیز به کار گرفته میشوند از این رو به این روش تحلیل ایزوژئومتریک4 گفته میشود. فناوری های محاسباتی زیادی وجود دارد که می توانند به عنوان پایه در تحلیل ایزوژئومتریک به کار روند. انتخاب بی اسپلاین5 و نربز6ه عنوان پایه اولیه به دلیل پرکاربرد بودن این فناوری های هندسه محاسباتی در طراحی مهندسی میباشند. از پیشگامان بی اسپلاین میتوان از تلاشهای یک مهندس فرانسوی به نام، پیر بزیه7در توسعه و معرفی منحنیها و سطوح بزیه در دهه 1960 و اوایل دهه 1970 نام برد.
توابع پایه بی اسپلاین بر اساس الگوریتم دی-بور1 طی یک رابطه بازگشتی ساخته میشوند. الگوریتم دی-بور نیز یک الگوریتم پایدار عددی است که در تعیین منحنیهای اسپیلاین در فرم بی اسپلاین به کار میرود. یک منحنی بی اسپیلاین را میتوان با تعیین درجه - مرتبه - ، نقاط کنترلی2 و بردار گرهی3 بدست آورد. توابه نربز نیز حالت تعمیم یافته بی اسپلاین ها میباشند که تفاوت اصلی آن در نسبت دادن وزن به نقاط کنترلی میباشد.
نربز ها به عنوان یک پایه برای آنالیز نسبت به توابع پایه چند جمله ای قطعه قطعه مرسوم به راحتی تعمیم داده میشوند و اصلاح میگردند و ضمنا قدرت بینظیری را در میان یک مجموعه وسیع از برنامه های کاربردی فراهم کرده اند. این قدرت یعنی ترکیب تواناییهای هندسی و تواناییهای تحلیلی در بطن آنالیز ایزوژئومتریک است. به عبارت دیگر ویزگی عمده این روش توانایی حفظ توصیف دقیق یکسانی از هندسه دامنه محاسباتی در سراسر فرآیند تجزیه و تحلیل است
هم اکنون از توابع نربز به طور وسیعی در طراحی گرافیکی، علوم مهندسی و مکانیک محاسباتی استفاده میگردد. ونگ و همکاران در سال 2010 کد آموزشی متلب برای حل مسائل نوع انتشار بیضوی مانند معادله پواسون را ارائه کردند.
همچنین فالکو و همکاران در سال 2011 یک ابزار نرم افزاری جهت استفاده از روش آنالیز ایزوژئومتریک برای حل معادله دو بعدی پواسون را تهیه نمودند.[4] قرشی و همکاران در سال 1390 از مفاهیم روش اجزای محدود توسعه یافته برای تعمیم روش ایزوزئومتریک برای حل مسائل دو بعدی ترک در محیط همسانگرد استفاده و روابط را بازنویسی کردند.
همچنین برای مشخص نمودن کارایی روش پیشنهادی دو مسئله الااستتیک حاوی ترک به کمک روش ایزوزئومتریک و هم چنین روش اجزای محدود توسعه یافته مورد تحلیل قرار دادند حسینی و همکاران در سال 1393 برای ایجاد سطح دقیق روش جدیدی را معرفی کردند.[7] این روش قادر است به سادگی و پس از انجام مجموعهای از مراحل کوتاه، توزیع مناسب نقاط داده و بردار گرهی مشترک را برای ایجاد سطح بی اسپلاین معرفی کند. نوون و همکاران نیز در سال 2014 از روش ایزوژئومتریک برای آنالیز مسائل جریان غیر اشباع استفاده کردند
هدف این مقاله حل معادله لاپلاس با استفاده از روش آنالیز ایزوزئومتریک می باشد. ابتدا فرم ضعیف معادله مورد نظر ایجاد و سپس با استفاده هندسه فرضی آبخوان و محاسبه توابع پایه نربز معادلات مورد نظر حل شده و جواب تقریبی معادله پس از اعمال شرایط مرزی مسئله به دست آمد. نتایج نشان می دهد استفاده از این روش حجم محاسبات را کاهش داد و دقت آن به دلیل استفاده از توابع پایه نربز محاسبه شده بر اساس هندسه دقیق بالاتر است.
.2 معادلات حاکم بر جریان دو بعدی
معادله مستقل از زمان حاکم بر جریان در منطقه ایزوتروپ دو بعدی Ω با مرز کلی Γ ≡ Ω را در نظر بگیرید:
شکل.1 هندسه آبخوان و شرایط مرزی
3. تحلیل ایزوژئومتریک
در این بخش، خلاصه ای از بعضی ویژگیهای کاربردی بی اسپلاین نسبتی غیریکنواخت - NURBS - ارائه شده است.جزئیات بیشتر در منبع[9] تشریح شده است. منحنی نربز، ⏞ - , - ، از درجه p ترکیبی خطی از توابع پایه نربز است، به طوریکه ضرایب آن مجموعه ای از نقاط کنترل داده شده می-باشد:
که n تعداد نقاط کنترل، مختصات نقاط کنترل و , - , - توابع پایه نربز است و به صورت زیر تعیین میشود:
که , وزن غیر صفر اختصاص داده شده بهi و j امین نقطه کنترل، , - - و - , - نیز به ترتیب توابع پایه بی اسپلاین تک متغیره از درجه p,q، در جهت و میباشند. برای ساخت مجموعه ای از توابه پایه بی اسپیلاین از درجه p، بردار گرهی κ - - با توالی غیر کاهشی از اعداد حقیقی در فضای پارامتری، [0,1]، تعریف می شود به طوریکه که i امین گره نامیده می شود.
اگر گره ها در ابتدا و انتهای بردار گرهی p+1 بار تکرار شوند، بردار گرهی باز نامیده می شود. در آنالیز جهت ارضای ویژگی دلتای کرونکر در نقاط مرزی و اعمال مستقیم شرایط مرزی ضروری در این نقاط، عموما بردار گرهی باز استفاده می شود .با داشتن بردار گرهی، تابع پایه بی-اسپلاین تک متغیره , - - توسط رابطه بازگشتی کاکس-دی بور محاسبه می شود:
تابع پایه بی اسپلاین ساخته شده از بردار گرهی باز در هر دو انتهای فضای پارامتریک دارای خاصیت درونیابی میاشد. مجموعه ای از توابع پایه بی اسپلاین با خاصیت درونیابی در انتهای فضای پارامتری در شکل 2 قابل مشاهده است
شکل.2 توابع پایه بی اسپلاین ساخته شده با بردار گرهی باز
