بخشی از مقاله
خلاصه
انتگرالگیري مستقیم از توانمندترین ابزار تحلیل رفتار دینامیکی و لرزه اي سازه هاست. در سال 2008 میلادي، روشی براي تبدیل رکوردهاي عددي شده اي مانند شتاب نگاشت زلزله به رکوردهایی با گامهاي بزرگتر و کاهش هزینه محاسباتی تحلیلهاي انتگرالگیري به ازاي فدا شدن اندك دقت پاسخ هاي حاصل از انتگرالگیري پیشنهاد گردید. این روش با موفقیت در تحلیل تاریخچه زمانی انواع سازه ها در برابر انواع زلزله ها با استفاده از انواع روشهاي انتگرالگیري مورد استفاده قرار گرفته است.
با توجه به آنکه توجیه اصلی روش پیشنهادشده همگرایی پاسخ ها به سمت پاسخهاي دقیق است، در این مقاله، کارایی روش پیشنهاد شده فوق الذکر در اعمال در حل مسائل مقدار مرزيِ سازه هاي متشکل از تیرهاي تحت بارهاي استاتیکی عددي شده بررسی شده است. مشاهدات بیانگر کارایی مناسب روش پیشنهاد شده در مورد مسائل مقدار مرزي فوق الذکر است.
برخی تفاوت ها در استفاده از روش و کارایی آن در تحلیل تاریخچه زمانی و تحلیل استاتیکی مجموعه تیرها مورد اشاره و بحث قرار گرفته است.
1. مقدمه
با افزایش اندازه سازهها، افزایش پیچیدگیهاي رفتاري سازهها، و تنوع روش هاي محاسباتی، دقت و هزینه محاسباتی از مهمترین معیارهاي تحلیل سازهها، مستقل از نوعِ تحلیل استاتیکی خطی، استاتیکی غیرخطی، دینامیکی خطی، و یا دینامیکی غیرخطی، است. دقت داراي مفهومی در تضاد با خطاست، و خطا معمولاً به صورت نسبی و طی رابطه زیر تعریف میشود
منظور از هزینه محاسباتی نیز فضاي اشغال شده در حافظه داخلی دستگاه محاسبه کننده در طی انجام تحلیل است
یکی از پرهزینهترین روشهاي تحلیل دینامیکی به خصوص تحلیل دینامیکی غیرخطی، تحلیل تاریخچه زمانی به کمک انتگرالگیري مستقیم گام به گام است؛ به شکل 1 توجه شود. پاسخهاي حاصل از انتگرالگیري مستقیم دقیق نیستند 6] و.[7 در نتیجه، افزایش دقت و کاهش هزینه محاسباتی انتگرالگیري مستقیم - تسریع انجام تحلیل - دهههاست که مورد بررسی و مطالعه است .[13-8] یکی از جدیدترین روشهاي کاهش هزینه محاسباتی، که مختص حالاتی است که تحریک دینامیکی به صورت عددي شده - دیجاتایز - در اختیار باشد، در سال 2008 میلادي توسط مؤلف چهارم ارائه شده است
که در آن t اندازه گام انتگرالگیري، tcr حداکثر اندازه گام منجر به پاسخهاي پایدار از نظر عددي، f t گام ثبت عددي تحریک، Tکوچکترین پریود نوسانی در پاسخ، و χ از رابطه زیر به دست میآید:
در حالتیکه t f ترم حاکم در طرف راست رابطه - 2 - باشد، روش پیشنهادشده رکورد تحریک را با رکوردي عددي شده در گام بزرگتر چنان جایگزین میکند که مقادیري بزرگتر در سمت چپ رابطه - 2 - حاصل آید و انجام جایگزینی صرفاً موجب خطایی قابل صرفنظر در پاسخ شود.
کارایی مناسب این روش در تحلیل هاي تاریخچه زمانی متعدد نشان داده شده است .[14] با توجه به سادگیِ اعمال این روشِ کاهش هزینه محاسباتی، معیار قرار گرفتن همگرایی در تنظیم روابط مربوطه، و همچنین جایگزینی تحریک بدون تغییري در محاسبات انتگرالگیري، در این مقاله، کارایی روش کاهش هزینه محاسباتی در اعمال به یک محاسبه تقریبی دیگر یعنی تحلیل اجزا محدود تیرها تحت بارهاي استاتیکی عددي شده مطالعه می شود.
شکل – 1 نمایشی شماتیک از انتگرالگیري گام به گام
2. توجیه نظري
از دیرباز، همگرایی پاسخهايِ تقریبیِ محاسبه شده به سمت پاسخهاي دقیق به عنوان اصلیترین ضرورت روشهاي محاسباتی مورد توجه است
در توضیحی تکمیلی، شایان ذکر است که، در نبود پاسخ دقیق و یا U ، در رابطه - 1 - ، مقدار خطا قابل محاسبه دقیق نیست. که در آن λ پارامتر محاسباتی١ نامیده میشود 5]، [17، تضمین کننده قابلیت نزدیک شدن به میزان دلخواه به پاسخ دقیق است.
در روش پیشنهادشده در سال [5] 2008، سنگ بنا و مبناي تنظیم روابط روش حفظ همگرایی و نرخ دو همگرایی، در کنار توجه به رابطه زیر از حساب دیفرانسیل، است :
که البته در انتهاي مقاله اولیه روش، چاپ شده در سال [5] 2008، به نرخهاي بالاتر همگرایی نیز تعمیم داده شد. چون توضیحات فوق و بخصوص ضرورت برقراري همگرایی در محاسبات تقریبی مستقل از روش محاسبه عددي است 15]، [16، منطقی است بتوان روش کاهش هزینه محاسباتی را به انواع روشهاي محاسباتی تقریبی از جمله تحلیل اجزا محدود تیرهاي تحت بارهاي استاتیکیِ عددي شده تعمیم داد.
3. مشاهدات عددي
شکل 2 یک تیر کنسول را تحت بار غیریکنواخت و استاتیکی که بطور عددي در اختیار است نشان میدهد. اندازه گامهاي عددي شدن بار برابر دو سانتیمتر است. از روش اجزا محدود و المانهاي تیري به طول دو سانتیمتر براي نیل به پاسخهایی که پاسخهاي متعارف نامیده میشود استفاده شده است.
با فرض تغییرات خطی بار در داخل گامهاي عددي شده، تحلیلی با المانهاي بسیار کوچک براي نیل به پاسخ با دقت بالا انجام شده است. در کنار این دو تحلیل، دو تحلیل به ترتیب با المانهاي دو و سه برابر اندازه گام عددي شدن بار انجام شده است که در آنها از روش پیشنهادشده در سال [5] 2008 براي جایگزین کردن بار با بارهاي با گام بزرگتر استفاده شده است. منحنیهاي جابجایی، نیروي برشی، و لنگر خمشی تیرِ نشان داده شده در شکل 2 در شکل 3 رسم شده مؤید کوچک بودن قابل توجه دقت از دست رفته در استفاده از روش کاهش هزینه محاسباتی پیشنهاد شده در سال 2008 در مورد تحلیل سیستم سازهاي نشان داده شده در شکل 2 بخصوص براي مقادیر کوچکتر مقیاس بزرگ نمودن گام عددي شدن بار است.
شکل - 2 یک تیر کنسول تحت بار استاتیگی عددي شده
هزینه هاي محاسباتی در تحلیل با المانهاي دو و سه برابر به ترتیب بیش از 50 و 66 درصد کمتر از هزینه محاسباتی تحلیل متعارف است. در نتیجه با قاطعیت می توان کارایی بالاي روش کاهش هزینه محاسباتی پیشنهاد شده در سال 2008 را در مورد تحلیل تیر نشان داده شده در شکل 2 به روش اجزا محدود پذیرفت
