مقاله کاربرد متریک ها در تعیین میزان شفافیت یک تصویر

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

کاربرد متريک ها در تعيين ميزان شفافيت يک تصوير
چکيده
مسأله شفافيت تصوير با مدل کردن آن به مسأله مقدار ويژه تعميم يافته حل شده است . مقادير ويژه ميتوانند به خوبي جهت هاي اطلاعات تصوير را نشان دهند. با محاسبه مقادير ويژه ماتريس کوواريانس تصوير، يک متريک جديد جهت ارزيابي کيفيت تصاوير ارائه شده است .
کلمات کليدي
متريک ، مقادير ويژه ، تصوير، ماتريس کوواريانس

١. مقدمه
تصاوير روي مانيتور يک کامپيوتر با استفاده از نقاط رنگي به نام پيکسل نمايش داده مي شوند.اگر پيکسل ها به اندازه کافي به هم نزديک باشند تصوير داراي شفافيت بيشتري مي باشد. يک پيکسل در تصاوير سياه و سفيد دو حالت ٠ و ١ دارد و در تصاوير خاکستري مي تواند يک عدد حقيقي در فاصله [٠،١] باشد. تصاوير رنگي داراي اطلاعات چند بعدي هستند و فضاي رنگ به کار رفته روي بيشتر کامپيوترها داراي سه بعد آبي، قرمز و سبز مي باشد.
در واقع مي توان گفت هر پيکسل يک تصوير رنگي يک بردار سه بعدي است که هر مولفه آن شدت رنگ مربوط به آن مولفه را نشان مي دهد. مقادير ويژه مي توانند به خوبي جهت هاي اطلاعات تصوير را نشان دهند، بنابراين متريک القا شده توسط مقادير ويژه به دست آمده از ماتريس کوواريانس تصوير داراي اهميت فراواني است .
ماتريس کوواريانس ، يک ماتريس nn متقارن است که درايه ij آن حاصلضرب داخلي بين بردار i ام و بردار j ام است . کوواريانس بالا وابستگي بالا و مرتبط بودن اطلاعات را نشان مي دهد. در حالي که کوواريانس صفر نشان از ناهمبسته بودن داده ها دارد.
مقاله با نرمال کردن تصوير ورودي براي رسيدن به وضوح ثابت آغاز مي شود. در ابتدا ماتريس کوواريانس تصوير را محاسبه و مقادير ويژه آنرا به دست مي آوريم . در پايان تيزي تصوير با محاسبه رد(trace) چند مقدار ويژه بزرگتر آن ، براي تصوير نرمال شده محاسبه مي شود.
مقادير ويژه بدست آمده از قطري کردن ماتريس کوواريانس ، جهت هاي همبستگي اندازه گيري را تعيين مي کند.متريک ارائه شده توسط مقادير ويژه با ساير متريک هاي متداول مقايسه مي شود و نشان خواهيم داد متريک معرفي شده براي کليه تصاوير به خوبي داراي کارايي مي باشد. بيشترين کارايي اين متريک در شرايطي است که تصوير مورد نظر داراي نويز مي باشد. اگرچه زمان محاسبات اين متريک کمي طولاني است اما دامنه کاربرد وسيع تري نسبت به افزايش تاري تصاوير دارد.
٢. دو کلاس از متريک ها
در اين بخش دو کلاس از متريک هاي شفافيت يک تصوير ارائه مي شوند. اولين کلاس از متريک ها براي تعيين کردن ، واضح ترين تصوير بين يک سري از تصاوير که ممکن است داراي بهترين کيفيت باشند يا نباشند، مورد استفاده قرار مي گيرند. در حاليکه دومين کلاس متريکها براي تعيين تفاوت يا خطاي تصوير مرجع با بهترين کيفيت استفاده مي شود. فرض کنيد تصوير  روي ناحيه تعريف شده باشد.
اولين متريک ، متريک واريانس (واريانس ميزان خاکستري بودن تصوير) با رابطه زير داده مي شود:

که درآن  ميانگين ميزان خاکستري بودن تصوير است .
دومين متريک ، L1 نرم مشتق تصوير مي باشد


سومين متريک L1 نرم مشتق دوم تصوير مي باشد.

چهارمين متريک ، لاپلاسين تصوير مي باشد:

پنجمين متريک نسبت انرژي فيلتر بالاگذر به انرژي فيلتر پايين گذر به دست آمده از تصوير با نام متريک چيبيشف
مي باشد:

اين ٥ متريک به نخستين کلاس متريکها تعلق دارد.
اين متريکها به طور وسيع کاربرد دارند و ويژگي هاي آنها نظير يکنوايي و پيچيدگي هاي محاسباتي پايين به طور تجربي ثابت شده است اگر چه مدارک رياضي قوي براي اثبات اين مطلب وجود ندارد.
دومين کلاس متريک اندازه گيري وضوح تصوير ميزان شباهت تصوير مورد نظر با يک تصوير مرجع را بررسي مي کند، بنابراين بايد تصوير با بيشترين کيفيت از پيش معلوم باشد. معروفترين متريکهاي اين کلاس RMSE و واريانس MSE و نيزPSNR مي باشند. فرض کنيد ماتريس تصوير ابتدايي ما و ماتريس تصوير مرجع (تصوير با بهترين کيفيت ) باشد. RMSE به معناي ريشه ميانگين مربعات خطا مي باشد. PSNR به معناي نسبت نويز به mn سيگنال از بالاترين نقطه تا پايين ترين نقطه است و واحد آن دسي بل مي باشد.

براي اين متريکها فرض مي شودکه خطاها براي پيکسل هاي مکان هاي مختلف به طور آماري مستقل باشند، اگر چه اين مطلب به طور کلي درست نيست و مقادير يکسان براي يک پيکسل در شرايط محيطي متفاوت به بيننده مشاهدات متفاوتي خواهد داد.
٣. مقادير ويژه يک ماتريس
تعريف . ماتريس مربعي را در نظر بگيريد. عدد حقيقي  را يک مقدار ويژه ماتريس A مي نامند هر گاه بردار. وجود داشته باشد به طوري که . بردار X را بردار ويژه ماتريس A نسبت به مقدار ويژه  نامند.
به راحتي مي توان نشان داد اگر مقادير ويژه ماتريس A را روي قطر اصلي ماتريس قرار دهيم و بردارهاي ويژه را به طور متناظر بر روي سطرهاي ماتريس قرار دهيم آنگاه AXIX .
تعريف . ماتريس با درايه هاي حقيقي را متقارن معين مثبت مي نامند، هر گاه

و برابري تنها براي صفر برقرار باشد.
قضيه : ماتريس متقارن معين مثبت است اگر و تنها اگر مقادير ويژه اش مثبت باشد.
اثبات : ر.ک.
تعريف : بردارهاي را متعامد گويند هر گاه براي هر بعلاوه اگر براي هر
آنگاه بردارهاي را متعامد يکه گويند.
تعريف : ماتريس  را متعامد يکه گويند هر گاه ستونهاي آن متعامد يکه باشند.