بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مطالعه و بررسي خواص و کاربردهاي متريک تعميم يافته انيشتن روي فضاي ريماني
چکيده
در مقاله حاضر، متريک هاي تعميم يافته انيشتن را روي فضاي ريماني مطالعه مي کنيم . روي اين فضا، فضاي اينشتن و متريک انيشتن را تعريف مي کنيم سپس ، خواص و کاربردهاي متريک تعيم يافته انيشتن را روي فضاي ريماني بررسي خواهيم کرد.
واژه هاي کليدي: فضاي ريمان ، متريک انيشتن ، متريک لورنتس .
١. مقدمه
تعريف ١.١. يک متريک ريماني يا ساختار ريماني روي خمينه هموار m ، عبارتست از يک تانسورg از نـوع (2،0) روي m بطوريکه در هر نقطه p از m ، gp متقارن باشد، يعني
و معين مثبت باشد، يعني باشد.
نکته ١.١. به راحتي مي توان بررسي نمود که اين تانسور در هر نقطه m يک ضرب داخلي روي تعريـف مـي کنـد. ايـن ضرب داخلي را توسط يا تانسور نمايش ميدهيم . اگر(x,u) يک کارت در همسايگي نقطه p ازمنيفلـد مختصات موضعي وابسته به آن و پايه اي در همسايگيp روي باشد داريم :
آنگاه در مختصات موضعي تانسور ريمان به صورت زير نوشته مي شود:
چون g متقارن است رابطه فوق را مي توان به صورت نوشت که در آن توابعي هستند که روي کارت (x,u) در همسايگي نقطه به صورت زير تعريف مي شوند:
و در رابطه صدق مي کند..
تعريف ١.٢. منيفلد هموارm همراه با متريک ريمانيg را يک منيفلد ريماني ناميده و توسط (m,g) نمايش مي دهيم .
٢. متريک هاي انيشتن
تعريف ٢.١. يک منيفلد ريماني را يک منيفلد انيشتن مي گوييم هرگاه تانسور ريچي در معادله
براي c هاي ثابت صدق کند در واقع اگر در منيفلد ريماني (m,g) تانسور انحناي ريچي مضربي از تانسور متريک باشد آنگاه آن را منيفلد انيشتيني مي گويند.
متريک هاي انيشتن داراي امتيازات ويژه اي نسبت به متريک هاي ديگر روي منيفلد هاي ريماني مي باشند که براي اطلاعات بيشتر به مرجع [١] مراجعه شود.
قضيه ٢.١. فرض کنيم (m,g) يک منيفلد ريماني همبند باشد و براي هر
الف ) اگر (m,g) يک منيفلد انيشتيني باشد و٣<n ، در اين صورت y رويm ثابت است .
ب ) اگر منيفلد(m,g) با بعد٣=n يک منيفلد انيشتين باشد در اين صورت داراي انحناي برشي ثابت است .
متريک هاي شبه ريماني تعميمي از متريک هاي ريماني هستند که از حذف شرط مثبت بودن در تعريف متريک هاي ريماني پديد مي آيند.
تعريف ٢.٢. يک متريک شبه ريماني روي يک منيفلد ديفرانسيل پذير m ، در هر نقطه ، يک فرم دو خطي متقارن ناتبهگون <, > روي است که به طور هموار نسبت به p تغيير مي کند. در يک دستگاه مختصاتي مناسب (x,u) روي m مي توان يک متريک شبه ريماني را به صورت موضعي زير نوشت .
که در آن عدد صحيح r را انديس متريک شبه - ريماني مي نامند
متريک لورنتس يک متريک شبه ريماني است که انديس آن برابر يک است . متريک لورنتس مهمترين متريک شبه ريماني است که در فيزيک کاربردهاي زيادي دارد. تقريبا همه تعاريفي که براي متريک هاي ريماني آورده شده است براي يک متريک شبه ريماني نيز بکار مي روند، به جز تعاريفي که نياز به مثبت بودن متريک <, > دارند. براي اطلاعات بيشتر در مورد متريک هاي شبه ريماني به مرجع [٣] مراجع شود.
متريک هاي انيشتن به نوعي متريک هاي بهينه هستند که در خانواده تمام متريک هاي ريماني روي m وجود دارند.
اما نام متريک انيشتن که در نظريه نسبيت عام در فيزيک از آن ياد مي شود مربوط به فضاي ٤- بعدي موسوم به فضا- زمان است که در يک منيفلد چهار بعدي با يک متريک شبه ريماني به نام متريک لورنتس تعريف مي شود. اين تعريف با تعريفي که از فضاي انيشتن داشتيم يک تفاوت اساسي دارد .
تعريف ٢.٣. متريک شبه ريماني لورنتس را يک متريک انيشتن گوييم اگر تانسور ريچي مربوط به آن که از اثر تانسور ريمان بدست مي آيد در رابطه زير موسوم به معادلات ميدان انيشتن صدق کند.
در اين رابطه يک تانسور متقارن از نوع است که معرف چگالي ، نيروي حرکت لحظه اي ، تنش ، ماده و انرژي در هر نقطه از فضا- زمان است . در کتب فيزيک ثابت مي شود که رابطه (٢.١) معادله تغييرات يک تابع به نام تابعک عمل هيلبرت ، در فضاي تمام متريک هاي لورنتسي روي يک منيفلد ٤- بعدي است [٥].
