بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
محاسبه ي متريک کر در فضاي ناجابجايي
چکيده
در اين تحقيق متريک کر، متريک مرببوط به فضاي خارج يک جسم دوران کننده با تقارن کروي، را در دو حالت تقريبي و دقيق و تا مرتبه ي دوم پارامتر ناجابجايي بدست مي آوريم . بدين منظور از نگاشت سايبرگ -ويتن براي محاسبه ي ميدانها در فضاي ناجابجايي استفاده مي کنيم .
مقدمه
فرض وجود رابطه ي ناجابجايي ميان مختصات را مي توان تعميمي معقول از روابط ناجابجايي دانست که به ما کمک کرد تا از مکانيک کلاسيک به مکانيک کوانتومي گذر کنيم . بنابراين فضاي ناجابجايي به ما اين اميد را مي دهد تا بتوانيم اثرات کوانتومي را وارد گرانش کنيم . درست تر به نظر مي رسد که ما اين فرض را به معادله اصلي نسبيت اعمال کنيم و سپس با حل معادله ي جديد به دست آمده که تصحيحات ناجابجايي را نيز در خود دارد به حل آن معادله دست بزنيم . اما به جاي اين کار مي توان پيش فرض فضاي ناجابجايي را مستقيما به حل هاي معادله ي نسبيت عام اعمال کرد و اثرات آن را مورد بررسي قرار داد.
در بخش هاي بعدي به بيان پيش فرض هاي فضاي ناجابجايي و نحوه ي انجام محاسبه در اين فضا مي پردازيم و پس از بيان روندي که براي حل يک مساله در فضاي ناجابجايي بايستي طي شود، به توضيح مساله اي خاص که در اين پروژه انجام شده مي پردازيم .
متريک کر در فضاي جابجايي
اگر جرمي با تقارن کروي و مستقل از زمان مانند خورشيد را در نظر بگيريم و اين جرم حول محوري گذرنده از مبدا شروع به دوران کند، واضح است که به دليل وجود محوري متمايز در فضا، تقارن موجود در مساله از بين مي رود. در واقع متريک کر توصيف کننده ي سيستم هاي گرانشي اي مي باشد که جرم حول خودش دوران مي کند، مانند حرکت زمين به دور خود.
متريک کر را مي توان در دو حالت تقريبي و کلي محاسبه کرد. در حالت تقريبي با فرض ميدان هاي گرانشي ضعيف (١>>m.r) و تکانه هاي زاويه اي کوچک (١>>a.r)، اين متريک به شکل زير مي شود:
چنين حلي براي ستاره هاي دوار با تقارن کرويc rکاربرد دارد. در مقابل براي سياه چاله هاي دوار بايستي حل کاملي از اين متريک را بدست آورد. متريک کلي کر به صورت زير مي باشد:
فضاي ناجابجايي و گرانش
جهت اعمال پيش فرض هاي ناجابجايي به گرانش و استفاده از نگاشت سايبرگ -ويتن نياز به فرمول بندي چهارتايي ، tetrad formalism، داريم . اين فرمول بندي که بر اساس دستگاه هاي لخت موضعي بنا شده است اساس نظريه اي پيمانه اي براي گرانش مي باشد. در اين فرمول بندي رابطه ي ميان چهارتايي ، متريک
فضاي تخت و متريک فضاي خميده به شکل زير است :
و تبديلات مجار ميان چارچوب هاي لخت که با انديس لاتين مشخص شده اند همان تبديلات لورنتز مي باشند. ارتباط فضا در فرمول بندي چهارتايي مطابق با رابطه ي زير به ارتباط فضا در فضاي خميده مربوط مي شود:
با داشتن چهارتايي ها در فضاي جابجايي و استفاده از نگاشت سايبرگ ويتن مي توان چارتايي ها را در فضاي ناجابجايي نيز به دست آورد. رابطه ي ميان ميدان ها به شکل زير مي شود:
به کمک روابط (٥) تا (٩) مي توان ميدان ها را فضاي ناجابجايي به دست آورد. متريک در فضاي ناجابجايي به شکل زير تعريف مي شود:
در عبارت فوق به معناي مزدوج مختلط است . در واقع تعريف فوق مولفه هاي متريک را مولفه هايي حقيقي نگه مي دارند.
رابطه ي فوق تا مرتبه ي صفر پارامتر ناجابجايي ، همان رابطه ي متريک معمولي است ، ضرايب مرتبه ي اول صفر مي شوند، و ضرايب مرتبه ي دوم اولين تصحيحات فضاي ناجابجايي در متريک هستند. در حقيقت در بسط ميدان ها بر حسب پارامتر ناجابجايي ، مراتب فرد همگي موهومي محض و مراتب زوج همگي حقيقي هستند. با توجه به اين که در تعريف متريک ، يک عبارت با مزدوج مختلط خود جمع شده است ، مراتب فرد که کاملا موهومي هستند، همگي صفر مي شوند و تنها مراتب زوج باقي مي مانند. متريک تعريف شده به صورت صريح به شکل زير مي شود:
