بخشی از مقاله
چکیده
مفهوم مدل یکی از مفاهیم اساسیِ فلسفهی علم و معرفتشناسیِ معاصر است. در علم فیزیک فیزیکدانان یک مسئلهی واقعی را حل نمیکنند، بلکه به جای آن مسئله، مدلی را به وجود میآورند تا به کمک آن مسئله را حل کنند. امروزه واژهی مدلسازی در علوم مختلف بسیار فراگیر شده است که از آن جمله می توان به علم ریاضی و مهندسی صنایع غذایی اشاره کرد.
در مهندسی صنایع غذایی مولفه های مختلفی بر روی زمان ماندگاری و نگهداری و فساد مواد غذایی تاثیر دارند که سنجش و پایش این مولفه ها بصورت مستمر هزینه های گزاف داشته و متضمن صرف زمان زیادی می باشد لذا یکی از آن علوم که می توان از ظرفیت مدل سازی برای حل مشکلات و مسائل آن بهره جست صنایع غذایی می باشد و مدل سازی شبکه بولتزمن - Boltzmann - یکی از ظرفیتهای بالفعل استفاده از مدل سازی در صنایع غذایی می باشد، که در این مقاله بصورت مبسوط به مدل سازی این شبکه و کاریرد ریاضیات و الگوریتم حل معادلات در آن می پردازیم.
.1 مقدمه
بشر از دیرباز در پی افزایش بهرهوری فعالیتها و کشف راههای سادهتر جهت رسیدن به اهداف خود بوده است و در این میان عواملی همچون رشد سریع جمعیت و گسترش جنبههای مختلف علوم سبب رشد این انگیزش شده است.
عوامل آسیب رسان به مواد غذایی همواره ضررهای بیشماری به جامعه وارد می سازد بنابراین افزایش تحقیقات در این زمینه غیرقابل اجتناب خواهد بود و لذا یافتن روشهایی که دانشمندان را در زمینه تحقیقات و انجام آزمایشات با هزینه کمتر و دقت بیشتر یاری رسانی کند همواره از دغدغههای پیشرو بوده است. در این میان مدلسازی فرآیندها موضوعی است جدید که از طریق آن میتوان جنبههای مختلف یک فرآیند را بسیار ارزانتر و سریعتر، بدون نیاز به آزمایش تجربی بررسی نمود.
در طراحی یک مدل خوب برای فرآیندها با توجه به اینکه جنبه تجربی و فضای آزمایشگاه به شکل حقیقی وجود ندارد، ریاضیات بیشترین کاربرد را دارا میباشد.
در ریاضیات به دلیل امکان بیان فرآیندها به کمک اعداد و کمی کردن آن با استفاده از روابط ریاضی این علم را چنان فراگیر نموده که بسیاری از اوقات کار علمی براساس کیفیت ریاضیات آن سنجیده میشود و نه محتوای تجربه اش.
.2 تعریف شبکه بولتزمن
روش شبکه بولتزمن1 یک کلاس از دینامیک سیالات و روشی برای شبیهسازی محاسباتی سیال است. برای شبیهسازی جریان یک سیال نیوتنی و سایر سیالات توسط شبیه سازی جریان و برخورد پروسه از این شبیه سازی یا مدلینگ استفاده می شود.
قواعد این مدلسازیعموماً برای بررسی و مطالعات رفتار جریان و ویسکوزیته و فرآیند تهنشست محلولهای کلوئیدی در صنایع غذایی کاربرد دارد.
با توجه به اینکه مدلینگ بولتزمن در جابجاییها و انتقال سیالات صنایع غذایی کاربرد دارد در اینجا معادلات ریاضی جریان سیال در کانالها و میکروکانالها که در بحث موادغذایی بسیار پرکاربرد بودهاند آورده خواهد شد.
.3 منشاء شبکه بولتزمن
منشأ روش شبکه بولتزمن را میتوان روش شبکه گاز دانست که خود مدل ساده شدهای از مدل دینامیک مولکولی است و در آن زمان، مکان و بردارهای سرعت ذرات مجزا میشوند. انگیزه اصلی برای توسعه روش شبکه بولتزمن از روش شبکه گاز، حذف اغتشاشات آماری با جایگزینی ذرات مجازی در شبکه گاز با توابع توزیع برای ذرات در جهات مختلف بود. در این روش فرض اساسی بر آن است که تمام ذرات درون سامانه دارای جرمهای برابر میباشند و تفاوت ذرات تشکیلدهنده سامانه تنها در سرعت این ذرات هست. با استفاده از روش شبکهبندی سامانه و درنتیجه محدودیت ذرات در انتخاب جهت سرعت خود، میتوان فضای سرعت - و درنتیجه مکان سامانه - را گسستهسازی نمود. این نوع گسستهسازی در دو بعد و همچنین در سه بعد با کمک هندسههای مختلفی انجام میگیرد. که در شکل - - 1 گسسته سازی در دو بعد را نشان میدهد.
شکل - 1 بردارهای سرعت D2Q9
مقادیر مؤلفه سرعت در این مدل برابر با مقادیر زیر است:
سامانه نشان دادهشده را میتوان به وسیله یک تابع توزیع مانند fi - x,t - در فضای محاسباتی نشان داد. تابع توزیع نشاندهنده احتمال حضور ذرات در راستای بردار سرعت Ci در مکان x و در زمان t هست؛ بنابراین اگر مکان و تکانه خطی ذره در زمان t شناخته شده باشد، میتوان این مقادیر را با شناخت تغییرات آن در زمان W+ W نیز به دست آورد .این مرحله را مرحله جاری شدن مینامند:
تغییرات تابع توزیع به واسطه برخوردهای احتمالی بین ذرات با یکدیگر را با L نشان میدهیم. با اضافه کردن جمله تغییرات ناشی از برخورد ذرات، معادله - 1 - به صورت زیر قابل محاسبه است:
حل معادله بولتزمن به دلیل پیچیدگی جمله برخورد L ، دشوار است؛ بنابراین میتوان جمله برخورد را با جمله سادهتری جایگزین کرد درحالیکه در جواب، خطای قابل ملاحظهای ایجاد نشود.
بهاتناگار، گراس و کروکدر سال 1954 عملگر برخورد L را تعریف نمودند .ساچی در سال 2001 به بررسی و بحث پیرامون مدلهای پیچیدهتر BGK پرداخت. تقریب BGK به صورت زیر تعریف میشود:
جملههای برخورد و جاری شدن به صورت زیر درمیآیند:
که در این معادله f - x+dx,t+dt - =f - x,t - جمله جابجایی یا همان جاری شدن است و جمله برخورد هست. جمله tFi در معادله 4 معرف نیروی خارجی است.
در این رابطه زمان آرامش سیال است که نشاندهنده نرخ رسیدن سیال به حالت تعادلی است و تابع توزیع تعادلی است.
مقدار با بسط تابع توزیعی ماکسول-بولتزمن برای اعداد ماخ کوچک به صورت زیر هست:
و u چگالی و سرعت درشت مقیاس، i درصد وزنی که برای شبکه D2Q9 مقدار 4,9 برای i=0، 1,9 برای 4 و 3 و 2 و i=1، 1,36 برای 8 و 7 و 6 و i=5 و c سرعت صوت در دامنه محاسباتی میباشد.
گرانروی سینماتیکی جریان در مدل D2Q9 به صورت زیر است.
این نکته باید توجه کرد که برای مثبت بودن مقدار گرانروی مقدار باید بزرگتر از 0,5 باشد.
