بخشی از مقاله
چکیده
در این تحقیق، موضوع کمانش ستونهای واقع بر بستر ارتجاعی با شرایط مرزی مختلف به روش انرژی بررسی شده است. ستونها بوسیله تعداد زیادی میلههای صلب دو سر مفصل که بوسیله فنرهای پیچشی به یکدیگر متصل شده بودند، مدل گردیدند و بستر ارتجاعی نیز بوسیله فنرهایی طولی مدل شد. با تدوین برنامههای کامپیوتری، برای پنج نوع ستون با شرایط مرزی مختلف، بار بحرانی این نوع ستونها استخراج گردید. این پنج نوع ستون شامل ستون دو سر مفصل، ستون یکسر گیردار-یک سر مفصل، ستون دو سر گیردار، ستون یک سر گیردار-یک سر آزاد و ستون یک سر مفصل-یک سر آزاد میگردند که متکی بر بستر ارتجاعی بودند.
ابتدا با در نظر گرفتن سختی صفر برای فنرهای طولی و با داشتن مقادیر تحلیلی بارهای بحرانی ستونها، ضریب سختی فنرهای پیچشی بدست آمد. سپس، با تعریف پارامتری بیبعد که بیانگر سختی نسبی بستر الاستیک نسبت به سختی خمشی ستون بود، بار بحرانی برای پنج سیستم فوقالذکر برای محدوده وسیعی از سختی نسبی بستر الاستیک بدست آورده شد و نتایج کار به صورت نمودارهایی ارائه گردید.
با توجه به اینکه برای ستون دو سر مفصل متکی بر بستر ارتجاعی حل تحلیلی وجود دارد، در این مرحله، صحتسنجی کار برای این نوع ستون انجام شد و تطابق بسیار خوبی بین بار کمانشی بدست آمده از حل تحلیلی و بار کمانشی بدست آمده از مدل اجزاء محدود برای سختیهای نسبی مختلف بستر مشاهده شد.
در حقیقت، بار بحرانی ستون دو سر مفصل با ضریب سختی نسبی بستر رابطهای خطی دارد ولی برای سایر چهار نوع ستون دیگراین رابطه لزوماً خطی نیست. در نتیجه، با استفاده از روش برازش منحنی، برای چهار نوع ستون دیگر، روابطی ریاضی پیشنهاد شد که با استفاده از این روابط ریاضی، بار بحرانی ستونهای مذکور با دقت قابل قبول مهندسی بر حسب سختی نسبی بستر الاستیک محاسبه میشود.
.1 مقدمه
موضوع کمانش یکی از مباحث مهم در مهندسی سازه میباشد. علاوه بر این، موضوع کمانش ستونهای واقع بر بستر ارتجاعی دارای پیچیدگی قابل ملاحظهای میباشد. سعادتپور [1] برای یک ستون یک سر گیردار-یک سر آزاد با سختی EI که در طرفین خود توسط محیط ارتجاعی با سختی k بر واحد طول ستون و به ازای تغییر شکل واحد، مقید شده بود، معادله دیفرانسیل حاکم بر کمانش ستون را بدست آورد. معادله دیفرانسیل حاکم بر کمانش این نوع سیستمها از نوع مرتبه چهارم با ضرایب ثابت میباشد. در نتیجه، حل عمومی این نوع معادلات شامل چهار ضریب ثابت مجهول است که با اعمال شرایط مرزی، این چهار ضریب محاسبه میشود. هر گاه دترمینان ماتریس ضرایب - این چهار ضریب - برابر با صفر قرار داده شود، معادله مشخصه کمانش بدست میآید. معمولاً، معادله مشخصه بدست آمده، یک معادله جبری-مثلثاتی است که حل آن مستلزم عملیات نسبتاً سنگین عددی میباشد. بدیهی است که جواب بدست آمده نیز مربوط به همان مقادیر EI، L و k میباشد.
چن و لویی [2] با استفاده از روش رایلی-ریتز بار بحرانی را برای یک ستون دو سر مفصل که متکی بر بستر ارتجاعی بود بدست آوردند. تغییر شکل فرضی که آنها برای حالت کمانش در نظر گرفتند، مجموع n منحنی سینوسی بود و چون این منحنی ها منطبق بر منحنی واقعی کمانش بود، در نتیجه، آنها به جواب دقیق و تحلیلی برای بار بحرانی دست یافتند. آنها نتیجه کارشان را به صورت یک نموداری که متشکل از چند خط مستقیم بود، بیان کردند. این نمودار چند خطی، بار بحرانی سیستم را بر حسب پارامتر بدون بعد kL2 نشان میداد.
در این تحقیق، پنج نوع ستون واقع بر بستر ارتجاعی با شرایط مرزی متفاوت در نظر گرفته شد. ستونها بوسیله تعداد زیادی میلههای صلب دو سر مفصل که توسط فنرهای پیچشی بیکدیگر متصل شده بودند مدل شدند و بستر ارتجاعی نیز بوسیله فنرهای طولی مدل گردید. ابتدا ضریب سختی فنرهای طولی برابر با صفر در نظر گرفته شد و بارهای بحرانی ستونها بر حسب ضریب سختی فنرهای پیچشی و طول میلههای دو سر مفصل بدست آورده شد.
سپس، با داشتن مقادیر تحلیلی بارهای بحرانی ستونها، ضریب سختی فنرهای پیچشی بدست آمد. آنگاه، با تغییر پارامتر بیبعد در محدوده صفر تا 200، بار بحرانی ستونها بدست آورده شد و نتیجه به صورت نمودارهایی بر حسب پارامتر که بیانگر سختی نسبی بستر ارتجاعی بود رسم گردید. آنگاه، منحنی هایی بر این نمودارها برازش گردید که میتوان با استفاده از روابط ریاضی مربوط به این منحنیها با دقت قابل قبول مهندسی، بار بحرانی این پنج نوع ستون را بدست آورد. البته، همانطوری که ذکر گردید در مرجع [2] برای ستون دو سر مفصل واقع بر بستر ارتجاعی، نمودار و روابطی ریاضی ارائه شده است که در این تحقیق از آنها برای صحتسنجی استفاده شده است.
اما، نگارندگان این مقاله برای سایر ستونها در هیچ مرجعی این نوع نمودارها و روابط را مشاهده نکردهاند که بنظر میآید برای اولین بار است که این کار برای ستونهای با شرایط تکیهگاهی مختلف که واقع بر بستر ارتجاعی هستند انجام میشود.
.2 مدلسازی ستونهای واقع بر بستر ارتجاعی
مدلهای نشان داده شده در شکلهای - 1 - و - 2 - را در نظر بگیرید. شکل - 1 - ، معرف مدل ستون دو سر مفصل و شکل - 2 - ،معرف مدل ستون یک سر گیردار-یک سر آزاد واقع بر بستر ارتجاعی میباشد. بخاطر رعایت اختصار، شکل مربوط به مدل ستون دو سر گیردار و نیز شکل مربوط به مدل ستون یک سر گیردار-یک سر مفصل آورده نشده است. در این اشکال، سختی خمشی ستونها با فنرهای پیچشی k مدل گردیده و سختی بستر ارتجاعی نیز با فنرهای طولی ks مدل شده است. همچنین، سختی فنر یا فنرهای انتهایی، k1 ، برابر با 100k در نظر گرفته شده است تا بیانگر یک اتصال گیردار باشد. بدیهی است هر گاه در مدل نشان داده شده در شکل - 2 - ، k1 برابر صفر در نظر گرفته شود، بیانگر یک ستون یک سر مفصل-یک سر آزاد واقع بر بستر ارتجاعی میباشد که مدل پنجم مورد نظر را تشکیل میدهد.
شکل: 1 مدل ستون دو سر مفصل واقع بر بستر ارتجاعی متشکل از n 1 میله و با n درجه آزادی
شکل: 2 مدل ستون یک سر گیردار-یک سر آزاد واقع بر بستر ارتجاعی متشکل از n میله و با n درجه آزادی
.3 استفاده از روش انرژی برای محاسبه بار بحرانی
برای محاسبه بار بحرانی با استفاده از روش انرژی، یک تغییر شکل فرضی برای سیستم در نظر گرفته میشود. برای سیستم-های مورد نظر، میتوان تغییر شکل فرضی را دوران میلههای صلب دو سر مفصل در نظر گرفت.
در اثر این تغییر شکل فرضی، انرژی ذخیره شده در فنرهای پیچشی در سیستمهای مورد نظر برابر است با:
لازم به ذکر است که در سیستم دو سر مفصل، جمله دوم و سوم وجود ندارد و در سیستم یک سر گیردار-یک سر مفصل، جمله سوم در رابطه - 1 - باید حذف شود.
