بخشی از مقاله
چکیده
دینامیک وضعیت ماهواره به ازای محدوده ای از پارامترها رفتاری آشوبناک بروز می دهد که موجب نوسانات نامطلوب در سرعتهای زاویه ای محورهای مختلف می گردد . در این مقاله ضمن بررسی وقوع این پدیده در یک ماهواره ی سه محوره، طراحی کنترل کننده ی غیرخطی مناسب جهت کنترل وضعیت آشوبی مورد نظر است. لذا یک کنترل کننده ی مد لغزشی بازگشت به عقب پیشنهاد می گردد و پایداری سیستم حلقه بسته بر اساس تئوری لیاپانف اثبات می شود. در پایان نتایج شبیه سازی پس از اعمال کنترل کننده ی پیشنهادی برای نواحی مختلف کاری و در حضور اغتشاش و عدم قطعیت ارائه می گردد.
واژه های کلیدی:کنترل وضعیت ، حرکات آشوبی ماهواره، کنترل مد لغزشی، کنترل بازگشت به عقب
مقدمه
آشوب به علت ویژگی های منحصر به فردش که حساسیت به شرایط اولیه مهم ترینِ آنها می باشد، از موضوعات مورد علاقه در تحقیقات علمی محسوب می شود. سیستم های آشوبی دینامیکی نامنظم و غیر قابل پیش بینی دارند که در بسیاری از زمینه های مهندسی از جمله پزشکی [1]، موتورهای سنکرون مغناطیس دائم[2]، راکتورهای شیمیایی [3] و ... مشاهده شده اند.در سالهای گذشته مقالات متعددی به بررسی و کنترل اثر آشوب در دینامیک وضعیت ماهواره پرداخته اند. در مرجع [4] درباره ی کنترل وضعیت ماهواره ای که ممان های اینرسی و گشتاورهای اعمالی به آن به گونه ای انتخاب شده اند که ماهواره دارای حرکات آشوبی باشد بحث شده است.
ناپایداری های آشوبی یک ماهواره ی چرخشی هنگامی که گشتاوری متناوب به آن اعمال می شود در [5] با استفاده از روشهای 1RPF و فیدبک تاخیردار و در [6] با استفاده از تئوری لیاپانف کنترل شده است. اخیرا استفاده از روش ملنیکف برای تعیین دینامیک آشوبی ماهواره بسیار مورد استفاده قرار گرفته است .[7] در مراجع [9 , 8] محدوده ی حرکات آشوبی یک ماهواره که تحت تاثیر گشتاور مغناطیسی قرار گرفته است با استفاده از روش ملنیکف محاسبه گردید. سپس این حرکات بر اساس روش خطیسازی ورودی - خروجی [8] و روش تاخیر زمانی توسعه داده شده2 [9] به یک نقطه ی تعادل و یا یک مدار متناوب پایدار شدند.
چرخ های عکس العملی یکی از محرک های کنترل وضعیت در ماهواره می باشند که توزیع اندازه ی حرکت در درون ماهواره را تغییر می دهند بدون آنکه تغییری در اندازه ی حرکت اینرسی تمام سیستم صورت گیرد. اما حضور اغتشاش و عدم قطعیت در این چرخ ها می تواند باعث تخریب عملکرد کنترلی شود و باید در طراحی های کنترلی جبران گردد. وجود این چرخ ها به همراه اغتشاش های خارجی در مواردی موجب وقوع آشوب در وضعیت ماهواره شده است .[10]در این مقاله وقوع پدیده آشوب در یک ماهواره ی ژیروستات همراه با چرخ های عکس العملی در حضور اغتشاش های خارجی بررسی می شود و کنترل کننده ی مد لغزشی بازگشت به عقب مناسب جهت کنترل وضعیت آشوبی طراحی می گردد. از آنجا که حضور تابع علامت3 در کنترل کننده ی مد لغزشی موجب بروز پدیده ی چترینگ می شود، در مدل ارائه شده از یک بلوک فازی برای تقریب این تابع استفاده شده است. سپس پایداری سیستم حلقه بسته بر اساس تئوری لیاپانف اثبات می شود. در انتها نیز نتایج شبیه سازی و نتیجه گیری بیان می شوند.
توصیف دینامیک آشوبی ماهواره ی ژیروستات
رابطه ی بین سرعت و زوایای وضعیت در مختصات اینرسی با استفاده از معادلات سینماتیکی و رابطه ی بین سرعت و گشتاور در مختصات بدنی با استفاده از معادلات دینامیکی توصیف می شوند.سرعت های زاویه ای، yو z در چهارچوب بدنه برای ترتیب چرخش که در آن زاویه ی چرخشحول محور X ،زاویه ی چرخش حول محور Y و زاویه ی چرخش حول محورZ در دستگاه مختصات بدنی می باشند ، به صورت زیر بیان می شوند .[11]یک ماهواره ی ژیروستات که سه چرخ عکس العملی بر روی محور های بدنی آن قرار گرفته اند و در حال چرخش حول مرکز جرم O می باشند، در شکل 1 نشان داده شده است. معادلات دینامیکی این سیستم که به معادلات اویلر معروف است در رابطه ی زیر آمده است :[12]
جایی که I xx ، I yy و I zz ممان های اصلی اینرسی - به همراه چرخ ها - در چهارچوب محورهای بدنی و hx ، hy و hz بخش های ثابت بردار اندازه ی حرکت زاویه ای چرخهای عکس العملی با
توجه به محورهای چارچوب بدنه می باشند. از طرفی Tx ، Ty وTz اثر عدم قطعیت ها و گشتاورهای خارجی و Tcx ، Tcy و Tczگشتاور های کنترلی می باشد. مطابق با [10] بردار عدم قطعیت و گشتاور خارجی به صورت زیر است :
در [10] با استفاده از روش ملنیکف ثابت شده است که این سیستم به ازای شرایط اولیه ی بیان شده در رابطه ی - 13 - و پارامتر های فیزیکی بیان شده شده در رابطه ی - 14 - دارای حرکات آشوبناک می باشد. ما طیف بزرگترین نمای لیاپانف این سیستم را با در نظر گرفتن زمان t به عنوان یک متغیر حالت و بر اساس روش فاکتورگیری QR با پله های زمانی 0/01 محاسبه کردیم که در شکل 2 به ازای 5000 تکرار اول نشان داده شده است.
در شکل های 3 و 4 پرتره ی فاز ورسمشده است که نشان دهنده ی وجود جاذب های شگفت در سیستم می باشند.برای آنکه پروسه ی طراحی کنترل کننده آسانتر باشد ، بهتر است معادلات حالت سیستم را به صورت کانونیکال در آوریم . لذا ابتدا دوبردار راتعریف می کنیم، آنگاه رابطه ی - 1 - و - 2 - و - 3 - به صورت زیر بازنویسی می شوند : جایی که ، A ، f ، و B به صورت زیر می باشند :طراحی کنترل کننده مد لغزشی بازگشت به عقب در این بخش قانون کنترل برای کنترل حالتهای سیستم طراحی می شود. از آنجایی که در عمل اطلاعی در مورد اغتشاشات سیستم نداریم لذا می خواهیم کنترلی طراحی کنیم که بتواند در مقابل اغتشاشات و عدم قطعیت های سیستم مقاوم باشد. پس مدل زیر از رابطه ی - 5 - مشخص است :
پروسه ی طراحی کنترل کننده بازگشت به عقب به صورت زیر می باشد :
پله اول : در مرحله ی اول بردار Z1 Y1 را تعریف می کنیم. تابع لیاپانف کاندید اول به صورت زیر در نظر گرفته می شود :
عامل پایدار ساز 1را نیز می توانیم به صورت زیر معرفی کنیم :
که c یک پارامتر مثبت می باشد. با استفاده از این عامل پایدار ساز بردار دوم را می توانیم به صورت زیر تعریف کنیم :
آن گاه مشتق اولین تابع لیاپانف را به صورت زیر نتیجه می گیریم :
پله ی دوم : با استفاده از متغیرهای جدید معادلات دینامیکی سیستم به صورت زیر در می آید :
در اینجا سطح لغزشی را به صورت زیر در نظر می گیریم :
جایی که k یک پارامتر مثبت می باشد. تابع لیاپانف دوم را به صورت زیر انتخاب می شود :
مشتق این تابع لیاپانف نتیجه می شود :
قانون کنترلی سطح لغزشی بازگشت به عقبی که این تابع لیاپانف را پایدار می کند برابر است با :
یکی از مشکلات روش کنترل مد لغزشی پدیده ی چترینگ می باشد که ناشی از تابع Sign است. لذا برای جلوگیری از این پدیده یک کنترل کننده فازی برای تقریب تابع Sign مطابق آنچه در [13] آمده، طراحی می شود.لذا ورودی کنترلی رابطه ی - 9 - به صورت زیر اصلاح می گردد :
آنالیز پایداری
قانون کنترل پیشنهاد شده در رابطه ی - 10 - همگرایی سراسری را برای زوایا و سرعت های زاویه ای اویلر تضمین می کند . با جایگذاری قانون کنترلی - 9 - در مشتق تابع لیاپانف دوم - 8 - داریم :
برای آنکه این سیستم پایدار باشد لازم است تا 0 V2 برقرار باشد. در این مرحله می توانیم ماتریس انتقالیQ را به صورت زیر تعریف کنیم :لذا در ادامه ی اثبات پایداری برای مشتق تابع لیاپانف دوم از رابطه ی - 11 - داریم :
