بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله روشی تطبیقی برای گسستهسازی منحنیهای بزیر به منظور نمایش آنها در کامپیوتر ارائه شده است. در این روش نقاط گسسته بگونهای انتخاب میشوند که تراکم آنها در قسمتهایی از منحنی که انحنا زیاد است نسبت به قسمتهای هموار منحنی بیشتر باشد. با محاسبه مشتق مرتبه اول و دوم منحنی بزیر انحنا و دایره بوسان منحنی به صورت تحلیلی بدست میآید و در هر نقطه با تقسیم دایره بوسان به قطاعهای مساوی، گام پارامتر منحنی به طور تطبیقی بر اساس طول یک قطاع دایره بوسان تعیین میگردد.
روش ارائه شده برای منحنی بزیر فرمول بندی شده ا ست ولی محدود به منحنیهای بزیر نبوده و برای هر منحنی پارامتری دو بعدی یا سه بعدی - با یک درجه آزادی - قابل ا ستفاده ا ست. برتری این روش ن سبت به رو شی که تغییرات پارامتر منحنی را ثابت در نظر میگیرد با انجام شبیهسازیهای مختلف نشان داده شده است.
-1 مقدمه
منحنی بزیر1 یک منحنی پارامتری است که اغلب در طراحی هندسی به کمک کامپیوتر، تولید مش برای نمایش اجسام سهبعدی و گرافیک کامپیوتری کاربرد دارد. در سامانههای شبیهساز سهبعدی برای واقعیتر جلوه دادن اجسام سهبعدی و حفظ سرعت نمایش مناسب است که از منحنیهای بزیر تطبیقی استفاده شود. این منحنیها برای مدلسازی اشکال با انحنای هموار استفاده میشوند و چون پیوسته هستند مدلهایی که با استفاده از این منحنیها ساخته میشوند قابلیت بزرگنمایی بطور نامحدود دارند .[1]-[3]
برای نمایش یک منحنی بزیر در کامپیوتر باید نقاط گسستهای از آن را تولید کرد و با استفاده از این نقاط گسسته یک منحنی قطعه قطعه خطی2 قابل نمایش بدست آورد. نکته اساسی در گسستهسازی، انتخاب نقاط گسسته به اندازه کافی متراکم میباشد به طوری که منحنی گسسته شده به اندازه مطلوب هموار به نظر برسد.
یک راه تولید نقاط گسسته، تغییر پارامتر منحنی با گامهای مساوی است که در [4] روش تفاضلات پیشرو - FD - 3 برای پیادهسازی عددی آن ارائه شده است. در روش FD گام تغییرات پارامتر منحنی باید به اندازه کافی کوچک باشد تا قسمتهایی از منحنی که انحنای زیادی دارند هموار به نظر برسند. ایراد این روش این است که ممکن است در محلهایی که منحنی هموار است نقاط اضافی در نظر گرفته شوند.
روش دیگر برای تولید نقاط گسسته روش تقسیم بازگشتی [5], [6] - RS - 4 است که بر اساس روش ارائه شده توسط آقای دکستلجاو5 میباشد. دکستلجاو در سال 1995 هنگامی که در شرکت خودروسازی سیتروئن کار میکرد روشی برای محاسبه مقدار منحنی بزیر به ازاء مقدار دلخواه پارامتر آن ارائه داد. روش De Casteljau همچنین می تواند برای تقسیم یک منحنی بزیر به دو منحنی بزیر هم درجه در یک مقدار پارامتر دلخواه استفاده شود. اگر چه این روش کندتر است ولی از لحاظ محاسبات عددی روش پایدارتری است .[7] در [8] روشی کارآمد تر از روش تقسیم بازگشتی برای گسسته سازی منحنی بزیر درجه سه ارائه داده است.
روشهای تطبیقی مبتنی بر روش FD نیز ارائه شدهاند [9], [10] که در آنها گام پارامتر منحنی به گونهای انتخاب میشود که فاصله نقاط گسسته متوالی به اندازه یک پیکسل از یکدیگر باشد. در این مقاله روشی تطبیقی برای گسستهسازی منحنیهای بزیر ارائه میشود که نقاط گسسته را براساس انحنای منحنی انتخاب میکند. به این صورت که در قسمتهایی از منحنی که انحنا زیاد است تعداد بیشتری نقطه انتخاب میشود تا منحنی گسسته شده هموارتر به نظر برسد.
شبیهسازی و نتایج
به منظور شبیهسازی روش ارائه شده از یک منحنی بزیر با نقاط کنترلی جدول - 1 - استفاده شده است. نمودار این منحنی همراه با دایره بوسان در = 0.4 و = 0.8 در شکل - 2 - نشان داده شده است. در شکل - 3 - انحنای این منحنی بر حسب رسم شده است. این منحنی در ابتدا و در نزدیکی = 0.4 و = 0.8 انحنای زیادی دارد. با انتخاب = 0.1 و = 20 منحنی گسسته شده با روش تطبیقی ارائه شده در این مقاله همراه با منحنی پیوسته در شکل - 4 - آورده شده است.
همچنین با ثابت نگه داشتن در 0.1 منحنی گسسته شده حاصل همراه با منحنی پیوسته در شکل - 5 - نمایش داده شدهاند. ملاحظه میشود که در نقاطی از منحنی گسسته شده با روش تطبیقی که انحنا زیاد است نقاط گسسته با تراکم بیشتری انتخاب شدهاند و منحنی حاصل به منحنی اصلی نزدیکتر است. این موضوع در نمودار شکل - 6 - نیز مشهود است. در این نمودار اختلاف منحنیهای گسسته شده به دو روش مذکور با منحنی پیوسته بر حسب رسم شده است. برای محاسبه این اختلاف منحنیهای گسسته شده به صورت خطی درونیابی شدهاند.
