بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
اثر ساختارهاي فراکتالي بر روي رفتار ديناميکي درخت در فرآيند برداشت مکانيکي
چکيده
ساختار درختان در طبيعت پيچيده و به صورت تصادفي است اما ساختار اغلب آنها تا حدودي از قوانين خاصي پيروي م کنند.
هدف اين مطالعه مدل کردن رفتار ديناميکي سه مدل درخت زيتون با ساختار فراکتالي در فرآيند برداشت مکانيکي با تکاننده ي اينرسي و همچنين بررسي اثرات نسبت انشعاب و نسبت هرس در پاسخ فرکانسي ميوه ي درخت زيتون م باشد.
تستهاي کشش استاتيکي و ديناميکي روي تنه و شاخه هاي درخت انجام شد تا خصوصيات الاستيک و ويسکوالاستيک آن بدست آيد. درخت زيتون با ساختار فراکتالي با يک سيستم جرم و فنر به صورت چند درجه آزادي مدل شد و معادلات حرکت آن با توجه به قانون دوم نيوتن بدست آمد. سپس اين معادلات ديفرانسيلي به صورت عددي حل شد. در نتيجه ، براي مقادير مختلف نسبت انشعاب و نسبت هرس ، دامنه ي جابجايي ميوه هنگام برداشت محاسبه شد. همچنين اثرات ساختار درختان و نسبت هرس آنها روي دامنه ي جابجايي ميوه بحث شد.
کلمات کليدي: ساختار فراکتالي، ديمانسيون فراکتال ، نسبت انشعاب ، نسبت هرس و پاسخ فرکانسي.
١.مقدمه
در طبيعت ساختار درختان بسيار پيچيده و به صورت تصادفي است ، اما اين ساختارها بر اساس قوانين خاص رشد و نمو انواع مختلف آنها، شکل مي گيرد. اصطلاح ”Fractal ” از ريش ي لاتين “ Fractus“ به معناي شکسته شده و بي قاعده مشتق شده است (٢٠٠٦ ,Md Rian et al ). درختان فراکتال در سطح گسترده اي از کاربردها نظير شبک هاي زهکشي، گياهان واقعي و درختان ، سيستم هاي ريشه ، سيستم هاي قلبي- عروقي، سيستم هاي تنفسي (ريه ا شکل ) و سيستم هاي تکاملي به کار گرفته شد اند(١٩٩٧ ,Newman et al). خيلي از دانشمندان معتقدند که هندس ي فراکتال يک حوزه ي انقلابي در رياضيات بوجود آورده است بطوريکه تاثير عمده اي در هر شاخ ي علمي دارد. بيش از دو هزار سال بود که دانشمندان سعي داشتند که طبيعت را با هندسه ي اقليدسي تشريح کنند. اما اين هندسه نتوانسته بود خيلي از مسائل طبيعي مانند سيستم هاي زيستي (بيولوژيکي) که بطور عمده نامنظم (بي قاعده )، پيچيده و غيرخطي هستند را تشريح نمايد.
بنابراين بيقاعدگي سيستم هاي بيولوژيکي، توسط هندسه ي اقليدسي نتوانست تعيين و تشريح شود. براي غلبه بر اين محدوديتها، نخستين بار مندلبرت ايده ي ديمانسيون فراکتال را مطرح کرد(١٩٦٧ ,Mandelbrot). وي اصطلاح هندسه ي فراکتال را تشريح نموده و تلاش کرد که رفتار هرج و مرج (بي نظمي کامل ،شلوغي و يا آشفتگي) در طبيعت را تشريح نمايد. هندسه ي فراکتال يکي از مهم ترين ابزارهاي شرح هندسه ي واقعي طبيعت است . در حقيقت ، اين حوزه ي نو در رياضيات ، توانايي هندسه ي اقليدسي را افزايش ميدهد. بعلاوه هندسه ي اقليدسي با ديمانسيوني سر و کار دارد که عدد صحيح است در حاليکه ديمانسيون هندسه ي فراکتالي با اعداد غير صحيح نيز سر و کار دارد. به نظر م رسد که تشريح رياضي وار اين ساختارها نيازمند به تعداد زيادي از پارامترهاي مستقل است . به هر حال ترکيب هندسي بيشتر ساختارهاي گياهي توسط تعداد محدودي از پارامترهاي مورد استفاده در تئوري فراکتال ميتواند شرح داده شود ,Mandelbrot) (١٩٨٢. به عبارت ديگر، درخت يک نمونه ي کامل از ساختارهاي فراکتالي است بنابراين ، تشريح ساختار و شکل آن بر اساس هندسه ي اقليدسي کار دشواري است . اشيا فراکتالي داراي ساختارهاي خود- شبيه يا ساختارهاي مقياس - ثابت هستند
(١٩٨٣ ,١٩٨٢ ,Mandelbrot) و آنها توسط يک فرآيند تکرار شونده تشکيل شده اند که هر تکرار، نتيج ي قبلي (ساختار قبلي) را ميسازد. بعلاوه فراکتالها داراي ديمانسيون يکساني هستند که ميتواند توسط رياضيات شرح داده شود(١٩٩٦ ,Bovill). فراکتالها ابزاري براي نشان دادن ساختارهاي خود- شبيه در بزرگ نماييهاي مختلف هستند.
ديمانسيون فراکتال يک وسيله ي سنجش يا اندازه گيري زبري (تلاطم ) ساختار فراکتالي است که اين ديمانسيون از طريق شکل تقارن و يا قرينه سازي قابل تشخيص است . فراکتالها تحت تغييرات مقياس ، متقارن و متناسب هستند و اين بدان معني است که فراکتالها تحت تغييرات مقياس طول ، ثابت و يکسان هستند. به عبارت ديگر، فراکتالها تحت مقياس هاي متفاوت يا درجات مختلف بزرگ نمايي، يکسان به نظر ميرسند. واضح و مبرهن است که پاسخ ديناميکي درخت وابسته به ساختار هندسي واقعي و خصوصيات فيزيکي آن است . اغلب درختان داراي ساختار انشعابي (شاخه شاخه ) و سبک معماري (ساختار) تکرار شونده در مقياس هاي مختلف هستند. تحقيقات اخير در ديناميک درختان ، مدل هايي را توسعه داد که اهميت نحوه اتصال شاخه ها به همديگر در يک درخت را معين م کنند (٢٠٠٩ ,Fourcaud &Sellier, ). در حالت کلي مدل رياضي که براي تشريح نحوه اتصال شاخه هاي درخت به همديگر، مورد استفاده قرار گرفت بر اساس نظريه فراکتال بيان شده است (٢٠٠٤ ,.Fleurant et al). بر اساس اين نظريه ، درخت را م توان به عنوان سيستمي با چند درجه آزادي (MDOF) مدل کرد که اين امر منجر به وارد نمودن فاکتورهاي ميرايي شاخه ها در آناليز سيستم شود و آناليز درخت به واقعيت نزديک تر خواهد شود. هدف اين کار آناليز ديناميکي درخت زيتون شش ساله با ساختارهاي مختلف فراکتالي است که فرآيند برداشت آن ، توسط تکاننده ي تنه اي با بکارگيري نيروهاي متناسب با فرکانس تحريک ( Frequency Proportional Actuation) انجام مي شود.
٢. مواد و روش ها
اين مطالعه روي يک درخت زيتون شش ساله در ناحيه ي درياچ ي دز انجام شد. به منظور ارزيابي پاسخ ديناميکي درخت زيتون (با ساختارهاي مختلف ) در فرآيند برداشت مکانيکي، در ابتدا بايستي خصوصيات الاستيک و ويسکوالاستيک اين درخت تعيين ميشد. بنابراين تست هاي کشش استاتيکي و ديناميکي روي اين درخت انجام شد. خلاصه اي از نتايج تس ها در جداول (١) آورده شده است . در مرحله ي دوم براي آناليز و مدلينگ ساختارهاي مختلف اين درخت و خصوصا پاسخ ديناميکي آن هنگام برداشت ، در ابتدا تئوري درختان فراکتالي در نظر گرفته مي شود (Exact self-similarity). اين فراکتالها شامل کپي دقيق ساختاري با مقيا هاي مختلف هستند. شکل (١) يک درخت زيتون با ساختار فراکتالي ( Sample fractal olive tree) را نشان م دهد که اين درخت داراي هفت سطح شاخه در ساختار خود است :
شکل (١): شماتيک ساختار درخت زيتون با ساختار فراکتالي و هفت سطح شاخه (Sample fractal olive tree)
پايين ترين سطح متعلق به تنه و ديگر سطوح ، براي چتر درخت در نظر گرفته شده است . يک سطح از درخت ، شامل گروهي از شاخه ها است که بين دو گره متوالي قرار دارند. در هر گره شاخه ها ممکن است به دو يا n شاخ ي منشعب شوند. براي تشريح تعداد شاخه ها (انشعاب ) بين شاخه ي N و شاخ ي متوالي ١+N در يک ساختار درخت فراکتالي، تعيين پارامترهاي هندسي آن لازم است . بنابراين اين پارامترها که شامل قطر و طول شاخه ها در سطوح مختلف ، زاويه شاخه ها و تعداد سطوح است ، تعيين گرديد. در يک درخت با ساختار فراکتالي شاخه ي اصلي (تنه ) بعد از رشد، به دو يا چند شاخه منشعب ميشود سپس هر يک از اين شاخه ها، از خط ممتد فرضي تنه فاصله گرفته و زاويه اي ميان خط ممتد فرضي تنه و شاخه ي مربوطه ، بوجود ميآورد. بنابراين زاويه ي مابين يک شاخه و خط ممتد فرضي شاخه ي مادري آن شاخه ، به عنوان زاويه ي شاخه در نظر گرفته ميشود. براي استفاده از پارامترهاي بيان شده ، نسبت انشعاب ١ توسط هورتن ، به شکل زير ارائه شد (١٩٤٥ ,Horton):
(1)
همچنين نسبت طول سطح يا نسبت هرس به شکل زير نوشته مي شود:
(2)
که تعداد شاخه ها در سطح iام است و طول شاخه ها در سطح iام بر حسب متر (m) است . به منظور تعيين ارتباط ميان نسبت هاي انشعاب و هرس در يک درخت ، ديمانسيون فراکتال به شکل زير ارائه گرديد (١٩٩٧ ,Newman):
(3)
که ديمانسيون فراکتال و بدون بعد است . براي آناليز پاسخ ديناميکي ميوه ي درخت زيتون با ساختار فراکتالي هنگام برداشت ، ساختارهاي مختلف فراکتالي آن در نظر گرفته ميشود. اين ساختارهاي فراکتالي به شکلي هستند که از پايين (تنه ) به بالا (چتر درخت ) با ايجاد چندين بار تکرار شاخه ها با مقياس هاي مختلف ، ساختار درخت کامل م شود. روال تکامل 1 Bifurcation Ratio ساختار اين درختان بعد از تنه ، به صورتي است که تنه به دو١، سه ٢ و چهار٣ شاخه منشعب شده و اين شاخه ها با فاصله گرفتن از خط ممتد فرضي تنه ، داراي زاويه اي نسبت به شاخه ي سرچشمه ي خود (شاخ ي مادري خود) ميشوند. سپس اين فرآيند تا پنج سطح ديگر ادامه مييابد. بعلاوه هر شاخه در يک سطح ، از لحاظ طول و قطر با ديگر شاخه ها در سطح مذکور برابر است . همچنين در اين مطالعه فرض شده که شاخه ها به شکل مخروطي نيستند بلکه به صورت استوانه اي در نظر گرفته شده اند. خلاص اي از ديتاهاي اصلي درخت زيتون با ساختار فراکتالي مورد نظر (Sample fractal olive tree) در جدول (٢)، آورده شده است .
٢-١ ساختارهاي درخت زيتون با فراکتالهاي مختلف
٢-١-١ مدل فراکتالي دودويي مطلق (Absolute Binary Fractal Model)
ساختار مولد اين مدل ، داراي نسبت انشعاب ثابت و همچنين نسبت هرس مختلف
است . بنابراين ديمانسيون فراکتال اين مدل با سه نسبت هرس مذکور بترتيب ٠.٥، ١.٠٠ و ٢.٤١٤ است . اولين سطح شاخه اي ، از پايه تنه در خاک آغاز شده و تا نقطه ي انتهايي تنه (اولين گره )،ادامه م يابد. سپس اولين گره به دو شاخ ي مساوي (از لحاظ طول ، قطر و زاويه ) تقسيم شده و سطح دوم شاخه اي را بوجود ميآورند. شاخه هاي اين سطح نيز تا گره دوم در نقطه ي آغازين سطح سوم شاخه اي ادامه مييابند. در سطح سوم ، هر کدام از دو گره ، به دو شاخه تقسيم شده و در مجموع چهار شاخه در اين سطح بوجود ميآورند که اين شاخه ها نيز تا نقط ي ابتدايي گره سطح چهارم ادامه يافته و هر کدام از اين گره ها نيز به دو شاخه تقسيم شده و در مجموع در اين سطح شاخه ها به هشت عدد افزايش پيدا مي کنند. اين شاخ ها نيز در اين سطح تا گره آغازين سطح پنجم ادامه يافته و هر کدام از آنها در اين سطح ، به دو شاخه ي ديگر تقسيم شده که مجموع شاخه ها در اين سطح ، به شانزده عدد خواهد رسيد. سپس با فرض اينکه هر شانزده شاخه ي سطح پنجم داراي ميوه باشند، سطح ششم و هفتم شاخه اي اين درخت ، بترتيب داراي شانزده عدد دم ميوه و ميوه خواهد بود (درخت نمونه زيتون با ساختار فراکتالي با هفت درجه آزادي فرض شده است از طرفي ميوه آن داراي دو درجه آزادي است ).
٢-١-٢ مدل فراکتالي سه تايي مطلق (Absolute Ternary Fractal Model)
در اين مدل ، نسبت انشعاب ثابت است و از طرفي نسبت هرس بکار گرفته شده در اين مدل ،( است . بنابراين ديمانسيون فراکتال در اين مدل با سه نسبت هرس ذکر شده به ترتيب ٠.٧٧٨، ١.٥٥٦ و ٣.٧٥٨ است . اولين سطح شاخه اي نيز در اين مدل ، از پايه تنه در خاک آغاز شده و تا نقط ي انتهايي تنه (اولين گره )،ادامه مييابد. سپس اولين گره به سه شاخ ي مساوي (از لحاظ طول ، قطر و زاويه ) تقسيم شده و سطح دوم شاخه اي را بوجود ميآورند. شاخه هاي اين سطح نيز تا گره دوم در نقطه ي آغازين سطح سوم شاخه اي ادامه م يابند. در سطح سوم ، هر کدام از سه گره ، به سه شاخه تقسيم شده و در مجموع نه شاخه در اين سطح بوجود مي آورند که اين شاخ ها نيز تا نقطه ي ابتدايي گره سطح چهارم ادامه يافته و هر کدام از اين گره ها نيز به سه شاخه تقسيم شده و در مجموع در اين سطح شاخه ها به بيست و هفت عدد افزايش پيدا مي کنند. اين شاخ ها نيز در اين سطح تا گره آغازين سطح پنجم ادامه يافته و هر کدام از آنها در اين سطح ، به سه شاخه ي ديگر تقسيم شده که مجموع شاخه ها در اين سطح ، به هشتاد و يک عدد خواهد رسيد. سپس با فرض اينکه هر هشتاد و يک شاخه ي سطح پنجم داراي ميوه باشند، سطح ششم و هفتم شاخ اي اين درخت ، بترتيب داراي هشتاد و يک عدد دم ميوه و ميوه خواهد بود.
٢-١-٣ مدل فراکتالي چها تايي مطلق (Absolute Quadruple Fractal Model)
براي طراحي ساختار اين درخت فراکتالي، نسبت انشعاب ثابت ( است و از طرفي نسبت هرس بکار گرفته شده در اين مدل ،( است . بنابراين ديمانسيون فراکتال در اين مدل با سه نسبت هرس ذکر شده به ترتيب ١.٠٠، ٢.٠٠و ٤.٨٢٩ ميباشد. اولين سطح شاخه اي نيز در اين مدل ، از پايه تنه در خاک آغاز شده و تا نقطه ي انتهايي تنه (اولين گره )،ادامه مي يابد. سپس اولين گره به چهار شاخ ي مساوي (از لحاظ طول ، قطر و زاويه ) تقسيم شده و سطح دوم شاخه اي را بوجود ميآورند. شاخه هاي اين سطح نيز تا گره دوم در نقطه ي آغازين سطح سوم شاخ اي ادامه مييابند. در سطح سوم ، هر کدام از چهار گره ، به چهار شاخه تقسيم شده و در مجموع شانزده شاخه در اين سطح بوجود مي آورند که اين شاخه ها نيز تا نقط ي ابتدايي گره سطح چهارم ادامه يافته و هر کدام از اين گره ها نيز به چهار شاخه تقسيم شده و در مجموع در اين سطح شاخه ها به شصت و چهار عدد افزايش پيدا مي کنند. اين شاخ ها نيز در اين سطح تا گره آغازين سطح پنجم ادامه يافته و هر کدام از آنها در
