مقاله بررسی رفتار دینامیکی میکرو لوله های حامل سیال بر مبنای تئوری گرادیان کرنش

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

بررسی رفتار دینامیکی میکرو لوله هاي حامل سیال بر مبناي تئوري گرادیان کرنش

چکیده - بر اساس تئوري مکانیک محیط پیوسته گرادیانی یک مدل اویلر-برنولی میکرو ساختار براي تحلیل ارتعاشات و پایداري میکرو لوله هاي حامل سیال ارائه میشود. معادلات حرکت و شرایط مرزي متناظر، با استفاده از اصل همیلتون بدست آورده میشود. مدل تیر ارائه شده شامل سه پارامتر مقیاس طول ماده براي نشان دادن تاثیر وابستگی به سایز است. با صرف نظر کردن از این پارامترها، مدل جدید به مدل تیر کلاسیک تبدیل میشود. از محاسبات عددي براي میکرو لوله هاي با دو انتهاي داراي تکیه گاه ساده، به این نتیجه میرسیم که فرکانس طبیعی و سرعت جریان بحرانی تحت تاثیر اثرات سایز قرار دارد نتایج نشان میدهد که این تاثیرات در لوله هاي با مقیاس کوچک بیشتر نمایان است. همچنین تاثیر اثرات سایز نسبت به قطر لوله نیز بررسی گردیده است.

کلید واژه- اصل همیلتون، گرادیان کرنش، مکانیک محیط پیوسته گرادیانی، میکرو لوله

-1 مقدمه
میکرولوله ها و نانولوله ها به دلیل هندسه تو خالی و خواص مکانیکی، کاربردهاي گستردهاي در سیستمهاي میکرو الکترونیکی و میکرو مکانیکی مانند سنسورها، محرك ها، انتقال دهندههاي سیال و تزریق دارو پیدا کردهاند .[2-1] با پیشرفت فرآیندهاي تولید سایز مشخصه لوله ها میتواند کوچکتر و کوچکتر شوند. در تحقیقات اخیر[3] براي قطر داخلی میکرولوله هاي دایروي بازهاي در حدود 1 تا 100 میکرومتر در نظر گرفته شده است.
مطالعه بر روي ارتعاشات و پایداري میکرولوله ها جهت طراحی سیستمهاي کوچک یکی از موضوعات ضروري میباشد. در تحقیقات گذشته ، محققان تلاش کردند یک مدل تئوري براي بررسی خواص ارتعاشی نانو لوله هایی با جریان داخلیپیش بینی کنند. [5-4] اغلب این مطالعات بر پایه مکانیک محیط پیوسته کلاسیک هستند. مبناي تئوري کلاسیک بر یکنواختی و موضعی بودن تنش است بنابراین در تشخیص رفتار مکانیکی میکرو سازه ها ناکارآمد هست.
نتایج تجربی[7-6] نشان میدهد که وابستگی به اندازه براي ماده معین یک ویژگی ذاتی است. متاسفانه در حوزه اثر اندازه لوله هاي سایز کوچک که در آنها سیال جاري است نتایج بسیار محدود است. اخیرا تحقیقاتی در ارتباط با نانو لوله هاي شامل جریان داخلی با استفاده از تئوري تنشهاي غیر موضعی صورت گرفته است. [8]
تئوري گرادیان کرنش یک تئوري کانتینیومی کلیتر و مرتبه بالاتر است. در مقایسه با دیگر تئوريهاي کانتینیوم غیر کلاسیک در پیشبینی تاثیر سایز بر رفتارمکانیکی میکروسازه-ها، کارآمدتر میباشد. تئوري کلی گرادیان کرنش را اولین بار میندلین[9] 1 مطرح نمود و توسط فلک و هاتچینسون[10] 2
به تئوري گرادیان کرنش مشهور شد و دوباره فرموله شد. در تئوري گرادیان کرنش تنسور گرادیان کرنش تجزیه شده به دو تنسور گرادیان کشش و تنسور گرادیان چرخش، در حالی که در تئوري هاي قبلی اینگونه نبود. بنابراین این تئوري دربردارنده 5 ثابت اضافه و 2 پارامتر ماده کلاسیک براي مواد الاستیک ایزوتروپیک بود.
دراین مقاله یک مدل اویلر برنولی براي میکرو لوله هاي شامل سیال با استفاده از تئوري گرادیان کرنش بیان شده است.انرژي کرنشی میکروتیرهاي اویلر-برنولی بر اساس مروري بر تئوري الاستیک گرادیان کرنش آورده شده است. سپس معادلات حرکتمیکرو لوله هاي شامل سیال با استفاده از اصل همیلتون بدست میآید. در ادامه روش عددي GDQM براي حل معادلات حرکت معرفی میشود و نتایج براي این مدل غیر کلاسیک ارائه میگردد.

-2 مدل تحلیلی و معادلات

مطابق با تئوري گرادیان کرنش چگالی انرژي تابعی از تنسور کرنش، تنسور گرادیان کشش انحرافی، تنسور متقارن گرادیان چرخش و بردار گرادیان اتساع است بنابراین تابع انرژي کرنشیU براي مواد الاستیک خطی در حجم Ω از رابطه زیر بدست میآید.


در اینجا تانسور کرنش بردار گرادیان اتساع γi ،تنسور گرادیان کشش انحرافی η1ijk ، تنسور متقارن گرادیان چرخشی χij به ترتیب از روابط زیر حاصل میگردد.


Ui بردار جابجایی ، δij دلتاي کرونکر ، ejpq تنسور جایگزین هستند.تنسور تنش کلاسیکσij ، تنش هاي مرتبه بالا τij1 ،Pi
از روابط زیر بدست میآیند.

l0 , l1 , l 2 پارامترهاي تاثیر سایز ماده، Gمدول برشی و Kمدول حجمی میباشند. ε'ij تنسور کرنش انحرافی است که از رابطه زیر بدست میآید.

میکرو لوله دایرویی با طولL با قطر خارجی D، قطر داخلی d و سطح مقطع Ap در نظر میگیریم. چگالی این میکرو لوله ρp و جرم واحد طول آن mp است. سرعت سیال داخل لولهVمی باشد. چگالی این سیال f و جرم واحد طول آن mf است.
شمایی از این میکرو لوله در شکل 1 نشان داده شده است.مطابق با تئوري تیر اویلر برنولی اجزا میدان جابجایی به صورت زیر ارائه میگردد.

که u، υو w به ترتیب جابجایی در راستاي x، y و z هستند.
تنها جز غیر صفر تنسور کرنش عبارت است از :

با توجه به معادله 3 داریم

با ترکیب معادلات (4 ) و (12)، اجزا غیر صفر گرادیان کشش انحرافی برابر است با:

با استفاده از معادلات (12) و (5 ) اجزا غیر صفر تنسور متقارن گرادیان چرخش عبارت است از:

با در نظر گرفتن ضریب پوآسون صفر، اجزا غیر صفر تنسور تنش کوشی برابر است با:

که E در آن همان مدول الاستیسیته ماده است.

شکل -1 نمایی از یک میکرو لوله حامل جریان داخلی سیال با دو تکیه گاه ساده

اجزا غیر صفر تنش هاي مرتبه بالاتر برابراند با :

بنابراین براي انرژي کرنشی داریم


که K و S از روابط زیر بدست میآیند:


در روابط بالاI همان ممان اینرسی سطح میباشد.
انرژي جنبشی لوله عبارت است از:

براي لوله اي که دو سر آن ثابت میباشد، انرژي جنبشی سیال درون آن با استفاده از روابط ارائه شده توسط (16) بدست میآید:

با استفاده از اصل همیلتون براي لوله هاي حامل سیال داریم :

نمادهاي به ترتیب بیانگر مشتق مکانی و مشتق زمانی هستند. همچنین wl , ul , wl مقادیر توابع متناظر در x  l میباشد. براي تکیه گاه ثابت مقادیرu وw در انتهاي تیر برابر صفر است بنابراین معادله 24 به صورت زیر ساده میشود

با استفاده از مقادیر تنش ها و کرنش ها براي معادله 25 داریم:

با در نظر گرفتن لم اساسی حساب تغییرات، معادله حرکت حاکم بر این سیستم عبارت است از :

همچنین شرایط مرزي متناظر با این معادلات عبارتند از: