بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحليل ارتعاشات نانوصفحات ارتوتروپيک بر اساس تئوري گراديان کرنش
چکيده - موضوع مقاله حاضر، بررسي اثر مقياس کوچک بر ارتعاشات آزاد نانو صفحات ارتوتروپيک مي باشد. در مقاله حاضر معادلات حاکم بر نانوصفحات بر اساس مدل تئوري گراديان کرنش استخراج و در دامنه مورد نظر حل گرديد. افزون بر روش گلرکين ، که به عنوان ابزار اصلي براي حل معادلات حاکم استفاده مي گردد، از روش حل ناوير نيز به منظور مقايسه و اعتبارسنجي نتايج در موارد خاص استفاده شده است . در بخش تحليل عددي ، اثر ضريب اندازه ، شرايط تکيه گاهي و نسبت ابعادي بر ارتعاشات آزاد نانوصفحات مورد بررسي قرار خواهد گرفت .
کليد واژه - ارتعاشات آزاد، نانوصفحه ، اثر مقياس کوچک ، تئوري گراديان کرنش ، روش گلرکين
١- مقدمه
وابستگي خواص مواد به اندازه آن ها به صورت تجربـي اثبـات شده است [١]. با اين همه ، سوال بعد اين اسـت کـه "در يـک نـوع نانوساختار با آلوتروپ ثابت (مثلاً نانوصفحه ) اگر ضخامت در حـد تک لايه باقي مانده و ساير ابعاد تغيير نمايد، خواص چگونه تغييـر مي کند؟" تا جايي که مـولفين مقالـه جـاري مراجـع را جسـتجو نموده اند، تاکنون اثبـات عملـي آزمايشـگاهي جـامعي در مـورد پاسخ به اين سوال گزارش نشده است و جواب واحدي بـراي ايـن سوال در اختيار نمي باشد. مي توان پيش بيني نمود که ممکن است نوع وابستگي براي همه مواد يکسان نبوده و باتوجه به نوع پيوند- هاي بين اتمي نوع تابعيت به اندازه نيز احتمالاً متفاوت باشـد. بـا اين همه مدل سازي هاي ديناميـک ملکـولي و همچنـين مکانيـک - ملکولي وابستگي خواص به اندازه در يک آلوتروپ ثابـت را تاييـد مي نمايند. با اين اوصاف اگر بنا باشد از تئـوري هـاي مبتنـي بـر مکانيک محيط پيوسته براي مدل سازي نانوساختارها استفاده شود بايستي وابستگي به اندازه در معادلات ساختاري نمود پيـداکنـد.
در تئوري الاستيسيته کلاسيک چنين قـابليتي وجـودنـدارد؛ لـذا تلاش ها براي توسعه معادلات ساختاري در سال هاي اخير شـدت يافته و همچنان ادامه دارد. با اين همه هم چنان نظريه يکتـايي در اين رابطه وجودندارد. در اين رابطه فرم کاهيده تئوري غيرمحلـي ديفرانسيلي ارينگن بيش از بقيه مورد توجه و اسـتفاده محققـين قرارگرفته است [٢-٩]. بر اساس اين تئـوري ، اثـر انـدازه از طريـق 1 يک ضـريب اضـافي تحـت عنـوان پـارامترغيرمحلي در معـادلات ساختاري نمود پيدا مي کنـد. مـرور مراجـع نشـان مـي دهـد کـه پارامتر مذکور به عنوان ضريبي از بارگذاري خـارجي در معـادلات حاکم ظاهر مي گردد. بدين ترتيب با اعمال اين تئوري ، اثـر انـدازه براي يک هندسه ثابت به تابع بارگذاري وارد بر آن وابسته است .
٢- معادلات ساختاري
در تحليل هر مسـئله و توسـعه معـادلات حـاکم ، عـلاوه بـر معادلات بنيادي ، به معادلات ساختاري نيز نياز مي باشـد، کـه بـه جنس محيط مادي بستگي دارد. مـدل الاسـتيک خطـي محلـي هوک قديمي ترين تئوري براي اين منظور مي باشد کـه تـنش در هر نقطه را به کرنش هاي همان نقطه ارتباط مي دهد. با اين همـه ، به نظر مي رسد اين تئوري رفتار محيط هاي نانوسـاختاري و حتـي ميکرو اندازه را با دقت کافي نمايندگي نمي کند. لذا تئـوري هـاي ساختاري ديگري توسط محققين مورد جستجو مي باشد. مطـابق رابطه (١) مي توان معادله ساختاري کلي را به متغيرهايي از جمله مشتقات مراتب مختلف تنش و کرنش ارتباط داد[١٠].
در حالت خاصي که تابع عمومي يک تابع ايزوتروپيک خطي باشد؛ بر اساس چگونگي انتخاب ضرايب متغيرهاي مستقل ، مدل هاي غيرکلاسيک مختلفي حاصل مي گردد. در مقاله حاضر يک نسخه از مدل هاي مختلف غيرکلاسيک در مدل سازي و توسعه معادلات حاکم بر کمانش نانوصفحات به کار گرفته مي - [unknown error.خطای ناشناخته]
باششدو[د١٠]دکله مبه ذکصووررتسادزهيرترقيان بل فربيم ن داست راودنياامن مخفف
به آن اختصاص داده مي شود.
در معادله فوق ، Nتانسور تنش بر اساس تئوري غيرمحلي ، تانسور تنش محلي بر اسـاس تئـوري کلاسـيک و ضـريب انجدسازم ه رماي تبواصشيد.ف ضمري ينب ماايندد.زه تاثير اندازه برروي خـواص مکـانيکي
٣- مدل سازي مسئله
براساس اصل کارمجازي ، معادله حاکم بر ارتعاشات
نانوصفحه ارتوتروپيک عبارتست از:
در معادله فوق q بار عرضي ، Mij گشتاورهاي برآيند و I jممان اينرسي هاي جرمي بوده و به صورت زير تعريف مي -
گردند:
بدین ترتیب معادله کمانش نانو صفحه ارتو تروپیک براساس توری گرادیان کرنش مرتبه دو عبارت است از:
مولفه هاي سفتي خمشي نانوصفحه عبارتند از:
٤- شرايط مرزي
براساس تئوري گراديان کرنش و به دليل طبيعت غيرخطـي تغيير شکل هاي مرتبه بالاتر، افزون بر شـرايط مـرزي کلاسـيک ، شرايط مرزي غير کلاسيک شامل ممـان هـاي مرتبـه بـالاتر نيـز بايستي در شرايط مرزي لحاظ گردد[١٠-١٤].
۵- روش حل
به منظور حل معادلات حاکم از روش گلرکین استفاده شده
است.
هندسه مورد بررسی یک چهارضلعی با اضلاع مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی می باشد. از آنجا که در حالت کلی حل انتگرال ها در مختصات کارتزین دشوار می باشد، هندسه مسئله تحت نگاشتی معین از دستگاه مختصات دکارتی به دستگاه مختصات طبیعی رفته، در ادامه روابط بر حسب تغییر متغیر برگرفته از نگاشت مرتب و در نهایت انتگرال برروی دامنه مربعی محاسبه می شود [۷] بر اساس روشی گلرکین، مجهول اصلی به صورت ترکیب خطی از توابع درون یاب با ضرایب وزنی مطابق رابطه (۸) انتخاب
می شود.
انتخاب نوع توابع تقريب اختياري است ، ولي اين توابـع بايـد به گونه اي انتخاب گردد که شرايط مرزي مسئله ارضا شود.
در این مقاله از توابه هارمونیک متناظر با شرایط تکیه گاهی ساده و یا گیر دار به ترتیب مطابق رابطه9 استفاده شد.
با قرار دادن رابطه (٨) در هر کدام از معـادلات حـاکم ، يـک معادله استاندارد مقدار ويژه ، مطابق رابطه (١٠) حاصل مي گردد.
فرکانس طبيعي بدون بعد و معادل مقدار ويـژه مـاترس - هاي سفتي رابطه (١٠) مي باشد
ماتريس هاي سفتي مسئله مقدار ويژه بر اساس مدل گراديان کرنش مرتبه دو عبارتند از:
٦- نتايج عددي و بحث
٦-١- همگراي ي و اعتبارسنجي نتاي ج
مشخصات و خواص نانوصفحه مورد بررسي مطابق جـدول ١ درنظر گرفته شد. درگام نخست بايستي همگرايـي و دقـت روش مورد بررسي قرار گيرد. به منظور ارزيابي دقت و سرعت همگرايي نتايج حل حاضر، مقايسه اي با حل تحليلي ناوير صورت پذيرفتـه است . نتيجه اين مقايسه در جـدول ٢ ارائـه شـده اسـت . در ايـن مقايسه فرکانس نانوصفحه بـا شـرايط تکيـه گـاهي سـاده مـورد بررسي قرار گرفته است . ملاحظه مـي گـردد کـه نتـايج از دقـت خوبي برخوردار مي باشند. لازم به ذکـر اسـت منظـور از نسـبت فرکانس ، نسبت فرکانس طبيعي محاسبه شده بر اسـاس تئـوري غير کلاسيک مورد استفاده به فرکانس طبيعي محاسبه شـده بـر اساس تئوري کلاسيک مي باشد.
لازم به ذکراست که طي حل عـددي در مـواقعي کـه ابعـاد صــفحه ذکــر نشــده اســت و ضــخامت نانوصــفحه در نظر گرفته شده است .
جدول ١ خواص الاستيک و هندسي نانوصفحه مورد بررسي [٥]
جدول ٢ مطالعه نسبت فرکانس طبيعي نانوصفحه ارتوتروپيک
