مقاله تحلیل ارتعاشات نانوصفحات ارتوتروپیک بر اساس تئوری گرادیان کرنش

word قابل ویرایش
15 صفحه
دسته : اطلاعیه ها
8700 تومان

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

تحلیل ارتعاشات نانوصفحات ارتوتروپیک بر اساس تئوری گرادیان کرنش
چکیده – موضوع مقاله حاضر، بررسی اثر مقیاس کوچک بر ارتعاشات آزاد نانو صفحات ارتوتروپیک می باشد. در مقاله حاضر معادلات حاکم بر نانوصفحات بر اساس مدل تئوری گرادیان کرنش استخراج و در دامنه مورد نظر حل گردید. افزون بر روش گلرکین ، که به عنوان ابزار اصلی برای حل معادلات حاکم استفاده می گردد، از روش حل ناویر نیز به منظور مقایسه و اعتبارسنجی نتایج در موارد خاص استفاده شده است . در بخش تحلیل عددی ، اثر ضریب اندازه ، شرایط تکیه گاهی و نسبت ابعادی بر ارتعاشات آزاد نانوصفحات مورد بررسی قرار خواهد گرفت .
کلید واژه – ارتعاشات آزاد، نانوصفحه ، اثر مقیاس کوچک ، تئوری گرادیان کرنش ، روش گلرکین
١- مقدمه
وابستگی خواص مواد به اندازه آن ها به صورت تجربـی اثبـات شده است [١]. با این همه ، سوال بعد این اسـت کـه “در یـک نـوع نانوساختار با آلوتروپ ثابت (مثلاً نانوصفحه ) اگر ضخامت در حـد تک لایه باقی مانده و سایر ابعاد تغییر نماید، خواص چگونه تغییـر می کند؟” تا جایی که مـولفین مقالـه جـاری مراجـع را جسـتجو نموده اند، تاکنون اثبـات عملـی آزمایشـگاهی جـامعی در مـورد پاسخ به این سوال گزارش نشده است و جواب واحدی بـرای ایـن سوال در اختیار نمی باشد. می توان پیش بینی نمود که ممکن است نوع وابستگی برای همه مواد یکسان نبوده و باتوجه به نوع پیوند- های بین اتمی نوع تابعیت به اندازه نیز احتمالاً متفاوت باشـد. بـا این همه مدل سازی های دینامیـک ملکـولی و همچنـین مکانیـک – ملکولی وابستگی خواص به اندازه در یک آلوتروپ ثابـت را تاییـد می نمایند. با این اوصاف اگر بنا باشد از تئـوری هـای مبتنـی بـر مکانیک محیط پیوسته برای مدل سازی نانوساختارها استفاده شود بایستی وابستگی به اندازه در معادلات ساختاری نمود پیـداکنـد.
در تئوری الاستیسیته کلاسیک چنین قـابلیتی وجـودنـدارد؛ لـذا تلاش ها برای توسعه معادلات ساختاری در سال های اخیر شـدت یافته و همچنان ادامه دارد. با این همه هم چنان نظریه یکتـایی در این رابطه وجودندارد. در این رابطه فرم کاهیده تئوری غیرمحلـی دیفرانسیلی ارینگن بیش از بقیه مورد توجه و اسـتفاده محققـین قرارگرفته است [٢-٩]. بر اساس این تئـوری ، اثـر انـدازه از طریـق ۱ یک ضـریب اضـافی تحـت عنـوان پـارامترغیرمحلی در معـادلات ساختاری نمود پیدا می کنـد. مـرور مراجـع نشـان مـی دهـد کـه پارامتر مذکور به عنوان ضریبی از بارگذاری خـارجی در معـادلات حاکم ظاهر می گردد. بدین ترتیب با اعمال این تئوری ، اثـر انـدازه برای یک هندسه ثابت به تابع بارگذاری وارد بر آن وابسته است .
٢- معادلات ساختاری
در تحلیل هر مسـئله و توسـعه معـادلات حـاکم ، عـلاوه بـر معادلات بنیادی ، به معادلات ساختاری نیز نیاز می باشـد، کـه بـه جنس محیط مادی بستگی دارد. مـدل الاسـتیک خطـی محلـی هوک قدیمی ترین تئوری برای این منظور می باشد کـه تـنش در هر نقطه را به کرنش های همان نقطه ارتباط می دهد. با این همـه ، به نظر می رسد این تئوری رفتار محیط های نانوسـاختاری و حتـی میکرو اندازه را با دقت کافی نمایندگی نمی کند. لذا تئـوری هـای ساختاری دیگری توسط محققین مورد جستجو می باشد. مطـابق رابطه (١) می توان معادله ساختاری کلی را به متغیرهایی از جمله مشتقات مراتب مختلف تنش و کرنش ارتباط داد[١٠].

در حالت خاصی که تابع عمومی یک تابع ایزوتروپیک خطی باشد؛ بر اساس چگونگی انتخاب ضرایب متغیرهای مستقل ، مدل های غیرکلاسیک مختلفی حاصل می گردد. در مقاله حاضر یک نسخه از مدل های مختلف غیرکلاسیک در مدل سازی و توسعه معادلات حاکم بر کمانش نانوصفحات به کار گرفته می – [unknown error.خطای ناشناخته]

باششدو[د١٠]دکله مبه ذکصووررتسادزهیرترقیان بل فربیم ن داست راودنیاامن مخفف
به آن اختصاص داده می شود.

در معادله فوق ، Nتانسور تنش بر اساس تئوری غیرمحلی ، تانسور تنش محلی بر اسـاس تئـوری کلاسـیک و  ضـریب انجدسازم ه رمای تبواصشید.ف ضمری ینب ماایندد.زه تاثیر اندازه برروی خـواص مکـانیکی
٣- مدل سازی مسئله
براساس اصل کارمجازی ، معادله حاکم بر ارتعاشات
نانوصفحه ارتوتروپیک عبارتست از:

در معادله فوق q بار عرضی ، Mij گشتاورهای برآیند و I jممان اینرسی های جرمی بوده و به صورت زیر تعریف می –
گردند:

بدین ترتیب معادله کمانش نانو صفحه ارتو تروپیک براساس توری گرادیان کرنش مرتبه دو عبارت است از:

مولفه های سفتی خمشی نانوصفحه عبارتند از:

۴- شرایط مرزی
براساس تئوری گرادیان کرنش و به دلیل طبیعت غیرخطـی تغییر شکل های مرتبه بالاتر، افزون بر شـرایط مـرزی کلاسـیک ، شرایط مرزی غیر کلاسیک شامل ممـان هـای مرتبـه بـالاتر نیـز بایستی در شرایط مرزی لحاظ گردد[١٠-١۴].

۵- روش حل
به منظور حل معادلات حاکم از روش گلرکین استفاده شده
است.
هندسه مورد بررسی یک چهارضلعی با اضلاع مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی می باشد. از آنجا که در حالت کلی حل انتگرال ها در مختصات کارتزین دشوار می باشد، هندسه مسئله تحت نگاشتی معین از دستگاه مختصات دکارتی به دستگاه مختصات طبیعی رفته، در ادامه روابط بر حسب تغییر متغیر برگرفته از نگاشت مرتب و در نهایت انتگرال برروی دامنه مربعی محاسبه می شود [۷] بر اساس روشی گلرکین، مجهول اصلی به صورت ترکیب خطی از توابع درون یاب با ضرایب وزنی مطابق رابطه (۸) انتخاب
می شود.

انتخاب نوع توابع تقریب اختیاری است ، ولی این توابـع بایـد به گونه ای انتخاب گردد که شرایط مرزی مسئله ارضا شود.
در این مقاله از توابه هارمونیک متناظر با شرایط تکیه گاهی ساده و یا گیر دار به ترتیب مطابق رابطه۹ استفاده شد.

با قرار دادن رابطه (٨) در هر کدام از معـادلات حـاکم ، یـک معادله استاندارد مقدار ویژه ، مطابق رابطه (١٠) حاصل می گردد.

فرکانس طبیعی بدون بعد و معادل مقدار ویـژه مـاترس – های سفتی رابطه (١٠) می باشد
ماتریس های سفتی مسئله مقدار ویژه بر اساس مدل گرادیان کرنش مرتبه دو عبارتند از:

۶- نتایج عددی و بحث
۶-١- همگرای ی و اعتبارسنجی نتای ج
مشخصات و خواص نانوصفحه مورد بررسی مطابق جـدول ١ درنظر گرفته شد. درگام نخست بایستی همگرایـی و دقـت روش مورد بررسی قرار گیرد. به منظور ارزیابی دقت و سرعت همگرایی نتایج حل حاضر، مقایسه ای با حل تحلیلی ناویر صورت پذیرفتـه است . نتیجه این مقایسه در جـدول ٢ ارائـه شـده اسـت . در ایـن مقایسه فرکانس نانوصفحه بـا شـرایط تکیـه گـاهی سـاده مـورد بررسی قرار گرفته است . ملاحظه مـی گـردد کـه نتـایج از دقـت خوبی برخوردار می باشند. لازم به ذکـر اسـت منظـور از نسـبت فرکانس ، نسبت فرکانس طبیعی محاسبه شده بر اسـاس تئـوری غیر کلاسیک مورد استفاده به فرکانس طبیعی محاسبه شـده بـر اساس تئوری کلاسیک می باشد.
لازم به ذکراست که طی حل عـددی در مـواقعی کـه ابعـاد صــفحه ذکــر نشــده اســت و ضــخامت نانوصــفحه در نظر گرفته شده است .
جدول ١ خواص الاستیک و هندسی نانوصفحه مورد بررسی [۵]

جدول ٢ مطالعه نسبت فرکانس طبیعی نانوصفحه ارتوتروپیک

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
wordقابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 15 صفحه
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد