بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
استفاده از تئوري گراديان کرنش به منظور بررسي ارتعاشات نانولوله دو جداره حامل جريان سيال ويسکوز
چکيده
در اين مقاله ارتعاشات و ناپايداري نانولوله دو جداره حامل جريان سيال ويسکوز با استفاده از تئوري گراديان کرنش بررسي مـيشـو . براي اين منظور مدل تير تيموشنکو با در نظر گرفتن سه پارامتر اثر اندازه و با سه نوع تکيه گاه ساده - ساده ، گيردار-ساده و گيردار-گيردار استفاده شده است . اثر نيروي واندروالس بين دو ديواره در نظر گرفته شده و محيط اطراف نانولوله از نوع بستر ويسکو پسترناک مدل شـده است . اثربر هم کنش نانو سيال و ديواره نانولوله دوجداره و اثرات حرارتي در اين مدل نيز لحاظ شده اسـت . معـادلات حـاکم بـر مسـئله و شرايط مرزي با استفاده از اصل هميلتون استخراج شده و از روش مربعات ديفرانسيلي متناوب براي گسسته سازي معادلات حرکت و حـل مسئله ارتعاشي با استفاده از شرايط مرزي استفاده شده است . نتايج نشان ميدهد اثرات سـرعت سـيال ، سـختي بسـتر الاسـتيک ، ميـزان ميرايي بستر، اثر دما و پارامتر اثر اندازه و ويسکوزيته سيال در تئوري گراديان کرنش نسبت به تئوري کوپل تنش و کلاسـيک قابـل توجـه ميباشد
کلمات کليدي: ارتعاشات ، نانولوله دو جداره ، سيال ويسکوز، اثر اندازه نانو سيال ، اثر دما، بستر ويسکو پسترناک.
١. مقدمه
نانو لوله هاي کربني از صفحات کربن به ضخامت يک اتم و به شکل استوانه توخالي ساخته ميشوند. وجود صفحات کربني، باعث خواص منحصر به فرد الکتريکي، شيميايي و مکانيکي در نانو لوله هاي کربني ميشود[١]. نانولوله ها کاربرد وسيعي در براي هدايت جريان سيال در نانو وسيله ها، سيستم هاي نانو الکترومکانيکي، سنسورهاي زيست پزشکي و براي تزريق دارو، عبور جريان برق در نانو تجهيزات الکترونيکي و تقويت کامپوزيت ها دارند[٢]. با توجه به کوچک بودن ساختار نانولوله ها مطالعه رفتار ديناميکي و خواص مکانيکي اين اجزاء با روش هاي معمول امکان پذير نميباشد، به همين منظور از دو روش شبيه سازي ديناميک مولکولي[٣] و تئوريهاي محيط پيوسته استفاده ميشود. با توجه به اينکه روش شبيه سازي ديناميک مولکولي داراي محاسباتي پي يچده و زمان بر است ، مقرون به صرفه نميباشد. در دهه گذشته استفاده از تئوريهاي محيط پيوسته مورد توجه قرار گرفته است .
به دليل مطالعه نانولوله ها در ابعاد نانو، استفاده از تئوري کلاسيک نميتواند خواص مکانيکي نانولوله ها را به درستي پيش بيني کند، از اين رو از تئوري هاي مرتبه بالاي محيط پيوسته و با در نظر گرفتن پارامتر اثر اندازه مورد مطالعه قرار ميگيرد.
اين تئوري ها شامل تئوري الاستيسيته غير موضعي، تئوري کوپل تنش ، تئوري گراديان کرنش و تئوري تنش سطح ميباشد.
تئوري گراديان کرنش اصلاح شده داراي سه پارامتر اثر اندازه شامل تانسور گراديان انبساط ، تانسور گراديان انحرافي و تانسور گراديان دوار و دو ثابت کلاسيک مي باشد[٥]. در اين تئوري تنش علاوه بر کرنش به تغييرات کرنش نيز وابسته ميباشد. در تئوري گراديان کرنش با صفر قرار دادن دو پارامتر از سه پارامتر اثر اندازه ، تئوري کوپل تنش اصلاح شده [٦] و با صفر قرار دادن سه پارامتر تئوري کلاسيک را نتيجه ميدهد. با توجه به کاربرد وسيع نانولوله ها حاوي جريان سيال در نانو وسيله ها، اين موضوع توجه محققان زيادي را به خود جلب نموده است . در ابتدا ونگ ١ و همکاران ارتعاشات و ناپايداري نانولوله را با تئوري نانلوکال مورد بررسي قرار دادند، آن ها نشان دادند با افزايش پارامتر اثر اندازه فرکانس طبيعي نانولوله کاهش مي يابد[٧]. ونگ و همکارش نانولوله دو جداره با مدل تير تيموشنکو در شرايط مرزي مختلف را با استفاده از تئوري کلاسيک مورد بررسي قرار داد و نتايج خود را با مدل تير اويلر برنولي مقايسه نمود[٨]. يون ٢ و همکارش نانولوله تک جداره حاوي جريان سيال را با استفاده از مدل تير اويلر برنولي مورد مطالعه 3 قرار داد، آن ها به اين نتيجه رسيدند که سرعت سيال در ناپايداري و ارتعاشات نانولوله نقش مهمي را ايفا مي کند[٩]. يان و همکارانش ارتعاشات نانولوله سه جداره را با استفاده از تير اويلر برنولي مدل نموده و سرعت هاي بحراني نانولوله را در تکيه ها و طول هاي مختلف بررسي نمودند[١٠].ونگ کمانش ديناميکي نانولوله دو جداره با استفاده از مدل تير اويلر برنولي مورد بررسي قرار داد. او با استفاده از تئوري نانلوکال اثرات اندازه و اثرات نيروي واندروالس ، مقياس طول ، سختي بستر وينکلر و سرعت سيال را بر ارتعاشات نانولوله بررسي نمود[١١]. کي٤ و همکارانش نانولوله دو جداره را با مدل تير تيموشنکو و با استفاده از تئوري تنش کوپل مورد بررسي قرار دادند، آن ها با در نظر گرفتن نيروي واندروالس ، اثرات سختي بستر وينکلر، سرعت بحراني سيال و پارامتر اثر اندازه و ضريب پواسون را بر ارتعاشات سيال بررسي نمودند[١٢].
در اين مقاله ، ارتعاشات و ناپايداري نانولوله دو جداره حاوي جريان سيال ويسکوز با استفاده از مدل تير تيموشنکو و تئوري گراديان کرنش مورد مطالعه قرار مي رد. اثر نيروي واندروالس در مدل در نظر گرفته ميشود. معادلات حرکت و شرايط مرزي با استفاده از اصل هميلتون به دست مييد. محيط اطراف نانولوله با استفاده از بستر ويسکو پسترناک و به صورت فنر و ميرا کننده مدل ميشود. معادلات با استفاده از روش حداقل مربعات ديفرانسيلي متناوب گسسته سازي شده و با در نظر گرفتن شرايط مرزي گسسته فرکانس هاي ارتعاشي نانولوله به دست مييد. فرکانس هاي ارتعاشي براي سه شرايط مرزي ساده -ساده ، گيردار- ساده و گيردار-گيردار مورد بررسي قرار مي رد. اثر سرعت سيال ، سختي وينکلر، سختي پسترناک، پارامتر اثر اندازه ، تغييرات دما، ويسکوزيته و اثر اندازه نانو سيال روي ارتعاشات نانولوله دو جداره حامل جريان سيال مورد بررسي قرار مي رد.
٢. به دست آوردن معادلات و حل مسئله
٢-١. تئوري گراديان کرنش اصلاح شده
تئوري گراديان کرنش اصلاح شده علاوه بر دو ثابت الاستيک ، داراي سه ثابت اضافي ميباشد. اين ثابت ها براي ماده ايزوتروپيک خطي ميباشد. انرژي کرنشي براي ماده الاستيک و ايزوتروپيک در ناحيه (با المان حجم المان V) به همراه تغيير شکل کوچک به صورت زير ميباشد[١٣].
که در آن تانسور کرنش بردار گراديان اتساع ، تانسور گراديان کرنش انحرافي، تانسور گراديان چرخش متقارن ميباشد و به صورت زير تعريف ميشود.
که در آن به ترتيب بردار جا به جايي، دلتاي کرانکر، نماد پرموتيشن ميباشد. همچنين به ترتيب تانسور کوشي و تانسورهاي تنش مرتبه بالا ميباشد که به صورت زير تعريف ميشود.
که در آن ضرايب لامه ، به ترتيب پارامترهاي اندازه طول اضافي وابسته به گراديان اتساع ، گراديان کرنش انحرافي، گراديان چرخش ميباشد
٢-٢.معادلات حاکم بر مسئله
شکل ١ نانولوله دو جداره حامل جريان سيال از نوع تيموشنکو که اطراف آن با بستر ويسکو پسترناک احاطه شده است . که در آن قطر داخلي، قطر خارجي، h ضخامت نانولوله ، ضريب سختي پسترناک، ضريب سختي وينکلر ضريب ميرايي بستر ميباشد.
شکل ١. نانولوله دو جداره حامل جريان سيال
جابه جايي بر اساس تير تيموشنکو به صورت زير بيان ميشود[١٤] .
که در آن بردار جابه جايي در راستاي x،y و z ميباشد. دوران خطي در امتداد خط مرکزي ناشي خمش و t زمان ميباشد. انديس i مربوط به شماره نانولوله ها ميباشد. با جايگذاري رابطه ي(١٠) در (٢-٩)کرنش و تنش ها به دست ميآيد، سپس انرژي کرنشي نانولوله دو جداره با جايگذاري رابطه (٢-٩) در رابطه ي (١) به صورت زير بدست مييد.
که در آن
انرژي کرنشي ناشي از اثرات حرارتي بر اساس رابطه ي زير بيان ميشود[١٥].
انرژي جنبشي نانولوله دو جداره صورت زير ميباشد[١٦].
که در آن به ترتيب چگالي سيال و چگالي نانولوله .V, Af سطح مقطع و سرعت سيال و همچنين
به ترتيب ممان اينرسي جرم سيال ، نانولوله داخلي و نانولوله خارجي ميباشد. کار ناشي از جريان سيال ويسکوز با در نظر گرفتن اثر اندازه سيال و با استفاده از معادله نوير- استوکس محاسبه ميشود[١٧].
سطح مقطع نانولوله ، سرعت سيال و ضريب ويسکوزيته مي باشد و ضريب VCF به صورت زير بيان ميگردد.
که در آن Cr ضريب رقت ، ضريب حرکت مماسي و به صورت مي باشد. کار نيروي واندروالس و بستر ويسکو پسترناک به صورت زير ميباشد[١٨و١٩].
که در آن Cd ضريب ميرايي و C ضريب بر هم کنش واندروالس ميباشد.
با جايگذاري روابط انرژي کرنش ، انرژي جنبشي و کار در اصل هميلتون و با انتگرال گيري صفر
قرار دادن ضرايب معادلات حرکت به صورت زير به دست مييد. براي نانولوله داخلي
براي نانولوله خارجي
که در آن میباشد؛ و پارامترهاي بي بعد براي بي بعد کردن معادلات به صورت زير ميباشد.
٣. نتايج و بحث
مسئله ارتعاشي با استفاده از روش حداقل مربعات ديفرانسيلي حل مي شود. در اين مقاله خصوصيات هندسي و مکانيکي براي حل مسئله ارتعاشات نانولوله دو جداره حامل جريان سيال به صورت زير ميباشد و همچنين پارامتر اثر اندازه به صورت ميباشد.
جدول ٢ سه فرکانس طبيعي اول براي نانولوله دو جداره از نوع تير تيموشنکو بدون نظر گرفتن پارامتر اثر اندازه ، بستر و سيال ميباشد، و با نتايج مقاله ونگ مقايسه ميشود. پارامترهاي مورد استفاده در اين جدول به صورت زير ميباشد
