بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
بررسی پدیده آشوب و نمودارهای دوشاخگی در معادلات غیرخطی و مدارات الکترونیکی با استفاده از شبیه سازی در Matlab وSimulink
خلاصه
سیستم بسیاری از مدارهای ساده الکترونیکی به معادلات دیفرانسیل غیر خطی می انجامد و حل این معادلات به صورت تحلیلی امکان پذیر نیست و تنها به صورت عددی و یا با استفاده از شبیه سازی کامپیوتری میسر است، در این مقاله به بررسی مروری پاسخ مدارات غیر خطی و چگونگی تحلیل و به دست آوردن نتایج پاسخ مدارات تحت شرایط اولیه یا پارامترهای متغیر بررسی می گردد. پدیده جالبی که در این نوع مدارها رخ می دهد جاذب های محدود، مشابه نقاط پایدار در سیستم های خطی و همچنین پدیده آشوب یا بی نظمی قابل اندازه گیری می باشد که متفاوت از پدیده های تصادفی است. با رسم نمودار دوشاخگی bifurcaion می توان نشان داد که در کدام نواحی سیستم پایدار و در کدام نواحی به آشوب کشیده می شود و ناپایدار می شود. در این مقاله نمودارهای دوشاخگی با نرم افزار متلب به سادگی رسم و تجزیه و تحلیل شده اند. همچنین با به دست آوردن مدل سیمولینک یک مدار معادل RLC سری، سیکل های حدی به وضوح مشاهده می شوند.
کلمات کلیدی: آشوب، شبیه سازی، معادلات دیفرانسیل غیرخطی، نمودار دوشاخگی.
.1 مقدمه
مسا ئل فیزیکی همگی به نوعی به معادلات دیفرانسیلی ختم می شوند که برای حل آنها و پیشگویی از پاسخ با توجه به شرایط اولیه و ورودی در این سیستم های فیزیکی از حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود. اما معمولا معادلات خطی و یا خطی شده در یک ناحیه کوچک اطراف نقطه کار سیستم قابل حل تحلیلی می باشند. بررسی سیستم هایی با معادلات غیر خطی و یا با ورودی سیگنال بزرگ تنها به کمک روش های عددی و شبیه سازی کامپیوتری قابل حل می باشد. از این روی، بعد از پیدایش ماشین حساب ها و کامپیوتر های الکترونیکی در سالهای بعد از 1960 دانشمندان بررسی بیشتر بر روی این سیستم ها را آغاز کرده اند. پاسخ معادلات غیر خطی به جاذب ها یا سیکل های حدی و یا به پایداری و ناپایداری ختم می شوند. جاذب ها مسیرهای تله مانندی هستند که سیستم از هر شرط اولیه ای شروع به کار کند در این مسیرها گیر افتاده و نوسان میکند . برای مثال لورنز lorenz در سال 1963 در کار بر روی انتقال گرما در جو در سه بعد سیستمی با 3 معادله دیفرانسیل کشف کرد (معادله و شکل (1 که حل آنها یک جذب کننده Attractor عجیب داشت.[1]
در این مقاله در ابتدا به شرح پدیده آشوب در معادلات غیر خطی پرداخته می شود. چگونگی تحلیل با متلب و سیمولینک و مشاهده نمودارهای دوشاخگی شدن و رسم جاذب ها مورد بررسی قرار می گیرد. در مرحله بعد یک مدار الکتریکی ساده با سیمولینک شبیه سازی شده و در قسمت آخر نیز، نتیجه گیری آورده شده است.
.2 بررسی پدیده آشوب در حل معادلات غیرخطی
معادله ساده تری از معادله لورنز، به نام معادله هنون (2) Henon وجود دارد که خصوصیت جالبی دارد و جذب کننده ای به صورت شکل 2 دارد:
البته در این معادله غیر خطی با شرایط اولیه خاص و پارامترهای خاصی این خاصیت جذب بروز می کند. برای .a=1.4 , b=0.3 معادلات لورنتز از هر نقطه ای که شروع می شوند در یک مسیری به مساحت محدود R به تله می افتند که به آن جاذب یاAttractor می گویند. در بعضی حالات این ناحیه یک نقطه پایدار و در بعضی مواقع یک سیکل حدی پایدار می گردد. و این حالات به شدت به شرایط اولیه سیستم مربوط هستند.
در بررسی دینامیک سیستم ها در طول سالهای اخیر با دسترسی به کامپیوترهای سریع و رسم نمودارهای پیچیده، دیدگاه فیزیکدانان نسبت جواب معادلات سیستم ها تغییر یافته است. با توجه به تحقیقات در مورد آشوب در سیستم ها، پدیده هایی که گاه به عنوان نویز تصادفی مطرح می شده اند اکنون جوابهای معادلات مشخص با مقادیر قابل اندازه گیری می باشند که آشوب یا chaos نامیده می شوند. معادلات هنون به صورت (3) نیز نمایش داده می شوند.
معادلات دیفرانسیلی را می توان با روایط 4 و 5 به معادلات بازگشتی (معادلات تفاضلی معادل معادلات دیفرانسیلی در سیستم های گسسته) مانند (2) تبدیل نمود.
که h فاصله بین دو مقدار ناپیوسته است که به سمت صفر میل می کند. در معادله 3 برخلاف معادلات لورنز، مسیرها همیشه همگرا نمی شوند در بعضی شرایط اولیه دور از نقطه تعادل احتمال به بی نهایت رفتن وجود دارد ( ناپایداری) و این به خاطر عامل توان دوم x2 در معادلات هنون می باشد.
.3 آنالیز معادله هنون
با بررسی مقاله هنون می توان قوانین جالبی را در مورد آشوب کشف کرد. در اول نقاط ثابت در نگاشت را بدست می آوریم . یک نقطه ثابت (x*,y*) باید درشرایط 6 صدق کند.
با جایگذاری y* در معادله x*، معادله درجه دومی حاصل می شودکه با حل آن نقاط تعادل یا نقاط ثابت fixed point به دست می آیند .(7)
اگر نگاشت هنون در R2 تعریف شده باشد نقاط ثابت fixed points تنها در صورتی وجود دارند که x*,y*حقیقی باشند واین شرایط وقتی بوجود می آید که داشته باشیم .(8)
ژاکوبین سیستم نیز جلب است زیرا نشان می دهد که نرخ نگاشت در یک تکرارIteration منقبض. ماتریس ژاکوبین به صورت (9) تعریف می شود:
با محاسبه این ماترس برای معادلات هنون داریم : (10)
ازآنجایی که J=-b و هنون با انتخاب |-b| <1 , b=0.3 پارامتر را طوری انتخاب کرده است که نگاشت منقبض شونده باشد. نگاشت هنون حالت ساده ای از معادلات لورنز با حل پوانکاره ای است. حل معادلات لورنز بسیار پیچیده است
. اما معادلات هنون ساده تر می باشد و همان خواص را دارد. در اینجا ما نمودار دوشاخگی Bifurcation هنون را نیزکه شبیه نگاشت لجستیک logistic Map می باشد، بدست می آوریم. نگاشت هنون در زیر گروه نگاشت های درجه دوم dissipative (تلف شونده) است. این نگاشت صفحه ای را به خودش باز می گرداند. دو پارامتر آزاد دارد a,b و از R2 بر روی R2 انتقال می یابد. با انتخاب یک a,b مناسب این نگاشت آشوبی chaotic می شود. هنون مقادیر مناسب و معقولی برای a,b انتخاب کرد. هنگام رسم نگاشت او برای b مقداری کمتر از یک را فرض کرد. این نگاشت شدیدا به پارامترها و نقطه شروع بستگی دارد. در شکل 3و4 نگاشت بر اساس پارامترهای مختلف بررسی شده است که چرخشی را به دور مبدا های متفاوتی نشان می دهد m. فایل مربوط به برنامه متلب نیز آورده شده است.
نمودار عمودی y و نمودار افقی x هستند.
.4 نمودار دوشاخگی bifurcation
یک روش استاندارد برای بررسی سیستم آشوبناک به دست آوردن نمودار دوشاخگی است. نمودار دوشاخگی برای تشخیص سیکل های پایدار حاضر در نگاشت کمک می کند. یک خط ثابت در نمودار دوشاخگی به مفهوم وجود یک نقطه ثابت
