بخشی از مقاله
چکیده
تیرها یکی از مهمترین اعضاي سازهاي هستند. از همین رو، تحلیل ارتعاشات غیرخطی تیرها، که در سازههاي صنعتی و ساختمانی کاربرد وسیعی دارند، داراي اهمیت وﯾﮋهاي میباشد. براي رسیدن به یک طراحی مناسب، درك چگونگی ارتعاشات عرضی تیرها و به دست آوردن پاسخ فرکانسی آنها بسیار مفید است. لذا در این مقاله، به تحلیل چگونگی ارتعاشات غیرخطی عرضی یک تیر سه بعدي دو سر مفصل، تحت بار محوري متغیر با در نظر گرفتن اثر کشیدگی صفحه میانی پرداخته شده است. براي انجام این تحقیق، از روش مقیاس زمانی چندگانه استفاده شده است. به منظور بررسی میزان دقت روش و صحتسنجی نتایج به دست آمده از روش حاضر، مقایسهاي با روش عددي رانگ-کوتاي درجه چهارم انجام شده است، که نشان میدهد روش مورد نظر داراي دقت زیادي است. بررسی پاسخ فرکانسی تیر بیانگر وجود پدیدهي تقسیم شدن به دو شاخه غیرخطی، در ارتعاشات سه بعدي تیر، میباشد و همچنین، کشیدگی صفحه میانی تیر، باعث ایجاد حالت سختشوندگی در پاسخ فرکانسی میشود. همچنین مطالعهاي پارامتري انجام شده است که در آن، تاثیر پارامترهاي مختلف بر نقطه شروع دو شاخگی غیرخطی ﺑﺮرﺳﯽ شده است.
مقدمه
تیرها یکی از مهمترین اعضاي سازههاي مهندسی هم در صنعت و هم در مباحث ساختمانی هستند. این عضو سازهاي کاربردهاي فروانی در سازهها چه در مقیاس میکرو و نانو مانند: ارتعاش کنندههاي ﺑﺴﯿﺎر کوچک، و چه سازههایی در مقیاس ماکرو مثل: بال هواپیما، ماهواره-هاي انعطافپذیر و دهنهي پلهاي بزرگ، دارد. از این رو، میتوان عضوهاي زیادي از سازه را مانند تیر مدل کرده و به تحلیل آن پرداخت. براي رسیدن به یک طراحی مناسب در عضوهایی به شکل تیر، درك چگونگی ارتعاشات تیر در مدهاي عرضی و به دست آوردن فرکانسهاي طبیعی آن اهمیت ویژهاي مییابد. خستگی مواد تشکیل دهندهي تیر و خرابی کلی سازهاي آن، در ارتعاشات دامنهي بزرگ بیشتر نمود پیدا میکند، که اثرات مطرح شده حول فرکانس طبیعی خیلی بیشتر آشکار میگردد.[1] در این گونه موارد اثرات غیرخطی موجود در معادلات حاکم بر ارتعاشات حرکت تیر، بیشتر اهمیت پیدا میکند. منابع ایجادکنندهي ترمهاي غیرخطی در معادله، می-توانند در حقیقت هندسی، اینرسی یا مادهاي باشند. غیر خطی هندسی میتواند در اثر کشیدگی صفحه میانی1 تیر و انحناي بزرگ تیر به وجود آید. رابطهي غیرخطی بین تنش و کرنش مادهي تشکیل دهندهي تیر، عامل ایجادکنندهي غیرخطی مادهاي میباشد. وجود جرمهاي متمرکز و توزیع شدهي نامتقارن نیز، عامل ایجاد غیرخطی اینرسی است.[2] در تئوري اویلر – برنولی فرض بر این است که، در هنگام تغییرشکل تیر، صفحههاي سطح مقطع تیر پیوسته به صورت صفحه و عمود بر محور اصلی تیر، باقی میمانند؛ همان طور که قبل از تغییر شکل بودهاند.
[3] واقعیت آن است که در این تئوري، از اثرات تغییر شکل برشی و کرنش عمودي عرضی چشمپوشی می-شود.[4] پیر بداغی و همکاران، با استفاده از روش تحلیلی هموتوپی، رفتار غیرخطی یک تیر تحت بار محوري را بررسی کرده و عبارتی مناسب براي بیان فرکانس غیرخطی آن، به دست آوردند.[5] صدیقی و همکاران، از این روش براي آنالیز ارتعاشات تیري با میرائی غیرخطی استفاده کردند و به نتایج قابل قبولی دست یافتند . [6] زو و همکاران به بررسی شرایط ایجاد دوشاخگی غیرخطی در تیرهاي یک سر گیردار پرداخته و به صورت تحلیلی مسئله را مورد تحقیق قرار دادند.[7] فودا از روش مقیاس زمانی چندگانه2 براي بررسی ارتعاشات غیرخطی تیر دو سر مفصل، که در استخراج معادلهي آن اثر تغییر شکل برشی و اینرسی دورانی لحاظ شده بود، استفاده کرد.[8] رفیعی معادلات یک لولهي نانو کربنی را با شرایط خاص مدل کرده، که در آن اثر کشیدگی صفحه میانی نیز به حساب آمده است. سپس، از روش فوق براي بررسی پاسخ فرکانسی، در دو حالت تشدید اولیه3 و ثانویه4 استفاده کرد.[9] خادم و همکاران تیري که داراي حرکت طولی بوده و با در نظر گرفتن اثرات اینرسی چرخشی و دما به تحلیل ارتعاشی غیرخطی آن پرداخته و در نتیجه پدیده دوشاخگی غیرخطی5 را مورد بررسی قرار دادند.[10] رمضانی و همکاران، ارتعاشات یک تیر دو سر گیردار را مورد رسیدگی قرار دادند. آنها نتیجه گرفتند که براي رسیدن به یک تحقیق دقیق در مطالعهي سازههاي الکترومکانیک میکرویی – نانویی، بایستی اثرات تغییر شکل برشی و اینرسی چرخشی لحاظ گردد.[11] در بیشتر کارهایی که در زمینهي بررسی ارتعاشات تیر با دیدگاه غیرخطی، انجام گرفته است، اکثرا ترم غیرخطی درجهي سوم را لحاظ نموده و از اثر ترمهاي بالاتر صرف نظرکرده اند، و سپس به حل تحلیلی مسئله پرداختهاند.[14-12] سرما و همکاران، فرمولهاي المان محدود گوناگونی، از ارتعاشات آزاد دامنهي بزرگ یک تیر انتها مفصلی را بحث کرده و فرمول تحلیلی را بر اساس روش ریلی - ریتز ارائه دادند.[15] حرکت یک تیر با انتهاي گیردار و تحت بارگذاري یکنواخت، با استفاده از مدل اویلر – برنولی، توسط پارنل و کوبل بررسی گردید.[16] از طرفی چن و نایفه، یک تیر یکسرگیردار – یکسرمفصل را تحت تحریک اولیه، بررسی کردند.[17] در مقاله حاضر، ابتدا معادلات مشخصهي حاکم بر ارتعاشات غیرخطی تیري سه بعدي، با در نظر گرفتن اثر کشیدگی صفحه میانی و در حضور تحریک ﭘﺎراﻣﺘﺮﯾﮏ، ﺗﻮﺳﻌﻪ داده شدهاند. سپس، با استفاده از روش مقیاس زمانی چندگانه، پاسخ زمانی و پاسخ فرکانسی تیر به دست میآیند. با مطالعهي پاسخ فرکانسی تیر، پدیدهي دوشاخگی غیرخطی بحرانی6 و ایمن7 مورد بررسی قرار داده شدهاند. در ادامه، اثر پارامترهاي مختلف طراحی بر این پدیدهي غیرخطی و مهم تحقیق شدهاند. با توجه به نتایج، ضریب میرایی و پارامتر انحراف از تشدید8، دو عامل مهم براي میل دادن دوشاخگی بحرانی به دوشاخگی ایمن هستند. همچنین، افزایش ضریب ترم غیرخطی موجود در معادله، سبب افزایش فرکانس نوسانات تیر میشود.
فرمول بندي مسئله
معادلات دیفرانسیل جزئی حاکم بر ارتعاشات عرضی یک تیر، به طور کلی به شکل زیر به دست میآیند.[20-18] مدول الاستیسیته، I ممان اینرسی سطح مقطع، T نیروي محوري در امتداد طول تیر، X - ، Y، - Z نیروهاي حجمی و fx - ، fy، - fz سایر نیروهاي اعمالی بر تیر هستند. در استخراج این معادلات فرض شده است که، ارتعاشات عرضی به آرامی انجام میگیرد. همچنین، تحریک دینامیکی در تکیهگاه بالایی به آهستگی اعمال میگردد. بنابراین از ترم اینرسی طولی در قسمت الف این معادلات صرفنظر شده است.[18]
شکل 1 مدل یک تیر دو سر مفصل با یک تکیهگاه آزاد در ﺟﻬﺖ طولی
براي تبدیل ﻣﻌﺎدﻻت دیفرانسیل جزئی به معادله دیفرانسیل معمولی، از روش گالرکین استفاده میشود.[9 ,6 ,5 ,1] به همین منظور، حل معادلات - 1 - به صورت حاصلضرب دو تابع با متغیر متفاوت، در نظر شدهاند:
- 2 - V - x, t - 1 - x - v - t - در راستاي استفاده از روش گالرکین براي - - x - w - tمسئلهي2 حاضر، - W - x, tدر
معادلات - 2 - ها به عنوان یکی از شکل مدهاي خطی ارتعاشات تیر در جهتهاي عرضی آن، فرض میشوند. بنابراین، v - t - و w - t - دامنهي وابسته به زمان ارتعاشات تیر به حساب میآیند.[6 ,5 ,1] شرایط مرزي براي تیر شکل 1 به صورت زیر میباشد:
در معادلات فوق Uo و P - t - به ترتیب، جابجایی استاتیکی اولیه و جابجایی دینامیکی اعمالی در تکیهگاه بالایی تیر میباشند. با توجه به شرایط مرزي تعریف شده، در ابتدا تکیهگاه بالایی تیر تحت جابجایی استاتیکی اولیه قرار دارد. سپس در هنگام ارتعاشات، تحریکی به صورت جابجایی دینامیکی، از طریق تکیهگاه بالایی به آن اعمال میگردد. از قسمت الف معادلات - 1 - میتوان عبارتی براي بیان نیروي محوري در امتداد طول تیر به دست آورد. با انجام عملیات ریاضی ساده، نیروي محوري با صرفنظر کردن از تغییرات آن در امتداد طول تیر، به دلیل حذف نیروهاي حجمی و سایر نیروهاي خارجی، به شکل زیر به دست میآید
با استفاده از معادلهي - 4 - ، شرایط مرزي تعریف شده براي تیر و به کارگیري روش گالرکین، دستگاه معادلات زیر از معادلات - 5 - به دست میآید. تابع وزن به کار رفته شده در روش گالرکین، همان شکل مد اول خطی تیر میباشد.
دستگاه معادلهي - 6 - معروف به دستگاه معادلهي مشخصهي ارتعاشات تیر میباشد. ضرایب معرفی شده در معادلهي - 6 - با استفاده از روش گالرکین محاسبه گردیده و در پیوست آورده شدهاند. در ادامه به حل این دستگاه معادلات، پرداخته میشود. شرایط اولیه براي حل این دستگاه معادلات، به صورت زیر در نظر گرفته میشود:
براي حل دستگاه معادلات - 6 - روش مقیاس زمانی چندگانه استفاده میگردد. با توجه به این روش، این معادلات به شکل زیر بازنویسی میشوند:
روش حل، جواب به صورت معادلهي - 8 - در نظر گرفته میشود:
که در این معادله، T0 و T1 معرف مقیاسهاي زمانی تند و کند هستند و به صورت زیر بیان میگردند.[2]
T0 t T1 t
در ادامه، ترم میرائی خطی به معادلات - 7 - اضافه شده و سپس معادله - 8 - در معادلهي - 6 - قرار داده میشود.[18 ,6] پس از آن، با تنظیم معادلات به دست آمده با توجه به توان پارامتر کوچک در دو طرف معادلات، مجموعه معادلات دیفرانسیل معمولی زیر به دست میآیند:
در معادلات - 9 - ضریب میرائی خطی میباشد. همانطور که می-توان مشاهده کرد، حل دستگاه معادلات - 9 - وابسته به حل دستگاه معادلات - 8 - است. به همین منظور، ابتدا حل دستگاه اول به شکل معادلهي - 10 - به دست میآید:
تحریک پارامتریک که به صورت جابجایی در انتهاي تیر شکل 1 اعمال میگردد، با معادلهي - 11 - بیان میشود: p t 1 K ei T0 e i T0 2 - 11 - با تعریف پارامتر انحراف از تشدید به شکل زیر، میتوان در ادامه پاسخ فرکانسی سیستم در حالت مادونهارمونیک را بررسی کرد,9] .[23 با قرار دادن معادلهي - 10 - در معادلهي - 9 - ، براي جلوگیري از به وجود آمدن ترمهاي زمانی بزرگ در جواب مسئله[25 , 24]، باید ضریب ترم e i 0T0 برابر صفر قرار داده شود که در نتیجه:
