بخشی از مقاله
چکیده:
مسئله مقدار ویژه یک تیغه مرکب ارتوترو پیک - داراي محور اصلی عمودي - پیش تابیده مخروطی، با استفاده از روش مربع دیفرانسیلی - DQM - فرموله می شود. از مدل پرتو اولر برنولی براي تعیین مشخصات تیغه مرکب ارتوتروپیک پیش تابیده استفاده میشود. ضرایب میرایی خارجی خطی و داخلی کلوین ویگت بکار برده و براي تیغه مرکب ارتوتروپیک تعیین شدند. از DQM براي تبدیل معادلات دیفرانسیلی نسبی یک تیغه مرکب ارتوتروپیک پیش تابیده مخروطی به یک مسئله مقدار ویژه گسسته، استفاده شد. از معادله نقطه نمونه Chebyshev–Gauss–Lobatto براي انتخاب نقاط نمونه استفاده میشود. در این مطالعه، اثرات جهت گیري فیبر، میرایی داخلی، میرایی خارجی، زاویه مورب و سرعت چرخش بر فرکانس هاي طبیعی براي یک تیغه مرکب ارتوتروپیک پیش تابیده مخروطی بررسی میشوند. تأثیر تعداد نقاط نمونه بر دقت و درستی فرکانس هاي طبیعی محاسبه شده نیز مورد بحث و بررسی قرار میگیرد. یکپارچگی و بازدهی محاسباتی DQM در این مسئله از طریق چند مطالعه موردي اثبات میشود. نتایج عددي نشان دادند که DQM براي فرمولاسیون یک تیغه مرکب ارتوتروپیک پیش تابیده، معتبر و کارامد است.
کلمات کلیدي: تیغه مرکب ارتوتروپیک، روش مربع دیفرانسیلی، مسئله مقدار ویژه
-1تشکیل مسئله مقدار ویژه
یک ساختار تیغه مرکب ارتوتروپیک پیش تابیده مخروطی در شکل 1 نشان داده شده است. این تیغه پیش تابیده به یک هاب - توپی - محکم متصل است. محورهاي 1، 2 و 3 محورهاي همگانی هستند و محورهاي x، Y و z محورهاي محلی تیغه هستند. b و h به ترتیب عرض و ضخامت در ریشه تیغه مخروطی را نشان میدهند؛ θf جهت گیري فیبر، θt زاویه پیش تابیده کلی از ریشه تیغه تا نوك آن، و θi زاویه مورب تیغه است . تیر مرکب ارتوتروپیک را در نظر بگیرید که همزمان در معرض یک ممان خمشی MB- - z,t - و یک ممان پیچشی MT - z,t - است. ممان هاي خمشی و پیچشی میتوانند به صورت زیر بیان شوند
که در آن، u - z,t - و φ - z,t - به ترتیب جابجایی و زاویه تابیدگی - پیچش، تابش - تیغه هستند. براي یک تیغه مرکب ارتوتروپیک، پارامترهاي بکار رفته در معادلات فوق به صورت زیر تعریف میشوند
که در آن b1 و h1 به ترتیب عرض و ضخامت در نوك تیغه مخروطی را نشان میدهند؛ E11 و E33 مدول هاي یانگ در محورهاي 1 و 3 هستند، v31 نسبت پواسون است، G13، G12 و G23 به ترتیب مدول هاي برشی در صفحه هاي 1- 3، 1- 2 و 2-3 هستند.
شکل :1 شکل هندسی یک تیغه ارتوتروپیک پیش تابیده مخروطی
که در آن، Ω سرعت چرخش هاب - توپی - ، Jz ممان قطبی اینرسی، p چگالی ماده و r0 شعاع توپی است. C0 و C1 به ترتیب ضرایب میرایی خارجی و داخلی تیغه مرکب پیش تابیده مخروطی هستند. با جایگزین کردن معادلات فوق در معادله هامیلتون این به معادلات حرکت تیغه مرکب ارتوتروپیک زیر منجر میشود - ٧ - با در نظر گرفتن u - z,t - =U - z - eλt و φ - z,t - =φ - z - eλt، معادلات - 8 - حاکم براي تیغه می توانند به صورت زیر نوشته شوند: - 9 -
مفهوم پایه اي DQM این است که مشتق یک تابع در یک نقطه معین میتواند به صورت یک مجموع خطی وزنی مقادیر تابعی در تمام نقاط نمونه برداري در حوزه آن متغیر، تقریب زده شوند. با استفاده از این تقریب، معادله دیفرانسیلی به یک مجموعه از معادلات جبري کاهش مییابد. تعداد معادلات به تعداد نقاط نمونه انتخاب شده در حوزه بستگی دارد. همانند رویکرد چند جمله اي، درستی راه حل در این روش میتواند با افزایش تعداد نقاط نمونه بهتر شود. فرض کنید که N نقطه نمونه در حوزه وجود دارد. براي تابع f - z - ، تقریب DQM براي مشتق درجه mاُم در نقطه نمونه zi با فرمول زیر داده میشود. وقتی نقاط نمونه، یعنی zi، به ازاي i=1,2,…,N، انتخاب شدند، ضرایب ماتریس وزنی می توانند بدست آیند. انتخاب نقاط نمونه همیشه نقش مهمی در دقت حل DQM ایفا می کند. یک توزیع نقطه نمونه با فضا بندي - فاصله بندي - نابرابر، یعنی توزیع Chebyshev–Gauss–Lobatto براي بهبود دقت و درستی محاسبات استفاده شده است. نقاط داخلی هر تیغه با فضا بندي نابرابر با استفاده از توزیع Chebyshev–Gauss–Lobatto در محاسبه کنونی به صورت زیر توزیع شدهاند نقاط مرزي تیغه هاي مرکب بدون گیره در این محاسبه به صورت زیر تعریف میشوند: - 14 -
-2معتبر سازي مدل
یک مدل براي تیغه مرکب با یک هاب - توپی - سخت درست شده است. امکانپذیري و دقت DQM براي تیغه هاي مرکب نخست مطالعه شدند. اثر تعداد نقاط نمونه بر دقت و درستی حل نیز مورد بحث و بررسی قرار گرفت. دو جهت گیري، یعنی 15° و 30°، براي فیبر گرافیت استفاده شدند. خواص ماده و ابعاد هندسی تیر مرکب ارتوتروپیک به صورت زیر داده میشوند :
G12=2.542 GPa، E11/G12=3.7، G23=4.305 GPa، E33/G23=30، G13=5.158 GPa، v31=0.3، b=1 .27 cm، h=0.317 cm، L=19.05 cm و . p=1550 kg/m 3 جهت گیري فیبر، فاز میانی، نسبت منظر، دما و شرایط مرزي اثراتی بر میرایی ساختار مرکب دارند. در این مقاله مدلهاي میرایی خارجی و داخلی ساده شده فرض میشوند. ضریب میرایی خارجی C0 و ضریب میرایی داخلی C1 فرض میشوند که در آن، ξi و wi نسبت میرایی و فرکانس طبیعی حالت اُمi هستند. بر اساس فرکانس هاي طبیعی اندازه گیري شده و نسبت میرایی یک تیر مرکب ارتوتروپیک، ضرایب میرایی داخلی و خارجی میتوانند با استفاده از روش حداقل مربعات حل شوند. آنها براي تیر مرکب ارتوتروپیک، C0=0.037143 و C1=1.9249 x 10-6 هستند. جداول 1 و 2 تفاوت در پایین ترین سه فرکانس طبیعی محاسبه شده تیر مرکب ارتوتروپیک مستقیم به ترتیب با زوایاي جهت گیري فیبر 15 و 30 درجه، را نشان میدهند. تعداد مختلف نقاط نمونه براي هر تیغه، یعنی 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19 و 21 براي تحلیل
