بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحلیل جریان توربولانس در کانال با استفاده از مدلهای ریزقطبی
چکیده
درمدل محیط پیوسته کلاسیک فرض بر این است که با داشتن میدان سرعت, می توان یک رویداد را بطور کامل توصیف کرد, یعنی برای هر نقطه مادی از محیط پیوسته یک درجه آزادی سینماتیکی در نظر گرفته میشود . همچنین فقط اثرات سینماتیکی نقاط بسیار نزدیک به نقطه مادی مورد بررسی در فونکسیونال تانسور تنش وارد میشوند. این مدل برای توصیف بسیاری از مسائل صنعتی کافی است در حالی که قادر به تحلیل پدیدههای پیچیده چون توربولانس نمیباشد. مدل محیط پیوسته کلاسیک را میتوان به سه روش تکامل داد و از آن برای بررسی دقیقتر مسائل استفاده کرد. روش اول مبتنی بر تکامل معادلات مواد با توجه به تئوری سیالات غیر محلی , روش دیگر بر مبنای تئوری سیالات ریزقطبی و سومین رویکرد استفاده توأماﹰ از هر دو تئوری مذکور است. در مقاله حاضر به کمک روش تئوری سیالات ریزقطبی مبتنی بر مدل محیط پیوسته کسرات, یعنی تنها با افزایش درجات آزادی سینماتیکی, بدون اعمال شرط مرزی عدم لغزش پروفیلی برای جریان داخل کانال بدست آمد که بسیار شبیه به نتایج آزمایشگاهی جریان توربولاتس بوده و لغزش بر روی مرز جامد را نشان میدهد. با مقایسه پروفیل حاصل با نتایج آزمایشگاهی و همچنین پروفیلهای نیمهتجربی-نیمهتئوری موجود برای جریان توربولانس در محدوده رینولدزهای متوسط و نیز حل تحلیلِی معادله ناویر- استوکس, مشاهده گردید که تئوریهای متکامل مکانیک محیط پیوسته مانند محیط پیوسته کسرات امکانی برای بررسی مقادیر متوسط زمانی متغییرها در پدیده توربولانس فراهم میکنند.
واﮊههای کلیدی: مکانیک راسیونال١- سیال ریزقطبی٢- محیط پیوسته کسرات- جریان توربولانس در کانال- لغزش
مقدمه
مکانیک محیط پیوسته یک تئوری پدیدارشناسی ( فنومنولوﮊی) است که در چند دهه اخیر تکامل چشمگیری داشته است، در ترمودینامیک راسیونال از فرض تعادل محلی در پروسههای نامتعادل استفاده شده و به این هدف پرداخته میشود که میدان چگالی، دما و حرکت را از معادلات بیلان جرم، بیلان اندازه حرکت و انرﮊی بدست آورد. بدلیل بیشتر بودن مجهولات از معادلات در کنار معادلات بیلان احتیاج به معادلات مواد است. در بررسی معادلات مواد دو تئوری وجود دارد، اولی تئوری مواد خطی اونزاگر ٣ ]۱[ و دیگری تئوری راسیونال تروزدل٤ ]۲،۳،۴،۵،۶،۷.[ در تئوری راسیونال معادلات مواد براساس قوانین علل گذشته٥، کاهش قدرت یادآوری٦، اثرات محلی۷، عینیت مادی۸ و قانون دوم ترمودینامیک تکامل داده میشوند.
تروستل اصلی را با توجه به قوانین مکانیک راسیونال ارائه میکند که در آن واقعیات فیزیکی در حالت کلی توسط یک مدل پیوسته سینماتیکی از درجه m تصویر میشوند, یعنی به هر نقطه مادی (کوچکترین جزئی از جسم که تمام خواص کل جسم را داشته باشد) از محیط پیوسته, m تانسور سینماتیکی ارتباط داده میشود که حداکثر این تانسورها از مرتبه m-1 میتوانند باشند و همچنین مستقل از یکدیگر هستند , به بیان دیگر هر نقطه از محیط دارای m درجه آزادی سینماتیکی میباشد ]۸, ۹.[ در حالت کلی چنانچه در تقریب معادله ساختاری مواد؛ گرادیانهایی تا درجه n از m تانسور سینماتیکی در نظر گرفته شود, در این صورت مدل محیط پیوسته, از درجه n و مرتبه m میباشد.
خواص غیر محلی بودن با توجه به قانون اثرات محلی بدست میآید, بدین صورت که اثر سینماتیکی اطراف بر خلاف تعریف نول۹ که برای اجسام ساده به یک محدوده کوچک محدود می شود ]۷,[ بر حسب درجه غیر محلی بودن وسیعتر میگردد. یک کمیت فیزیکی در یک المان جرم برای موادی از درجه یک, طبق تعریف نول برای محیط ساده, فقط تابع سینماتیک نقاط با فاصله دیفرانسیلی از المان جرم میباشد. معادله ساختاری چنین موادی فقط تابع گرادیان اول سرعتها میباشد و در حالت مواد درجه دوم که اثرات همسایگی وسیعتری بررسی میشود معادله ساختاری تابع دومین گرادیان سرعتها نیز میباشد.
مکانیک محیط پیوسته مدرن که در ابتدا توسط تروستل پایه ریزی شد, در برگیرنده تکامل معادله مواد میباشد]۸, ۹.[ محیطهای پیوسته تکامل یافته در مقایسه با تئوری کلاسیک مکانیک محیطهای پیوسته از جزئیات سینماتیک
بیشتری برخوردارند. در نتیجه به معادلات موادی منجر میشوند که در توصیف پدیدهها دقیقتر بوده و میتوانند پدیدههای پیچیده را مدل کنند. اگر برای تکامل معادلات مواد نسبت به محیط کلاسیک فقط درجه گرادیانهای سرعت موجود در فونکسیونال معادله مواد را افزایش دهیم به سیال درجه دو, سه و یا بالاتر میرسیم. تحقیقاتی در تکامل معادلات مواد به این روش و کاربردهای آن در تحلیل برخی جریانها انجام گرفته است ]۰۱, ۱۱, ۲۱, ۳۱, ۴۱.[ حالت دیگر در تکامل معادلات مواد, افزایش درجات آزادی سینماتیکی است. برای نمونه چنانچه دو درجه آزادی میدان سرعت و میدان سرعت زاویهای را در معادلات وارد کنیم, به مدل محیط پیوسته کسرات١ میرسیم. از این محیط نیز در بررسی پدیدههایی مانند جریانهای توربولانس در هندسههای ساده ]۵۱,[ تحلیل سیالات غیر نیوتنی مانند خون ]۶۱, ۷۱[ و سوسپانسیونها ] ۸۱[ استفاده میشود و همچنین کاربردهای فراوانی در تئوریهای الاستیسیته و مکانیک جامدات دارد.
در مقاله حاضر معادله مواد بر اساس مدل ریز قطبی محیط پیوسته کسرات تکامل داده شده و به کمک معادلات حاصل معادلات دیفرانسیل میدان سرعت خطی و میدان سرعت زاویهای در یک هندسهای ساده (جریان داخل کانال) بدست آمده است. سپس به منظور بدست آوردن ثوابت موجود در حل تحلیلی معادله دیفرانسیل میدان سرعت و رسم پروفیل سرعت, از شرط مرزی تقارن و نتایج یک تحقیق آزمایشگاهی بر روی جریان توربولانس داخل کانال استفاده شده است. پروفیل سرعت حاصله هماهنگی بسیار خوبی با نتایج آزمایشگاهی توربولانس نشان میدهد و بدین طریق مشکل عدم تطابق حلهای تحلیلی کلاسیک با نتایج تجربی توربولانس که در مکانیک محیط پیوسته کلاسیک دیده میشد برطرف میگردد.
تئوری غیرمحلی ایزوتروﭖ شارهها
تجسم محیط پیوسته از المانهای جرم عبارت است از در نظر نگرفتن تغییر مکانهای نسبی سطوح جانبی المانها , که در این صورت باید سرعت المان-های جرم توابع پیوستهای از مختصات فضایی باشند, چنین تصوری از محیط پیوسته بخصوص در شارهها نادرست بنظر میرسد ]۹.[ میتوان یک شاره را از دیدگاه آماری توسط گروهی از ذرات به جرم mk نمایش داد که تا حدی آزادانه و با سرعتهای مختلف vk حرکت میکنند. با چنین تصوری مفهوم سرعت, دیگر سرعت حرکت یک المان از محیط پیوسته نمیباشد بلکه متوسطی است از این سرعتهای مختلف در داخل المان حجم که به زبان ریاضی عبارت است از:
برای اینکه این متوسط گیری مقدار قابل اطمینانی را بدهد باید تعداد ذرات نسبتاﹰ زیاد باشد, پس در اینجا نمیتوان حد را متصور شد. با این حال بعلت کوچک بودن عناصر گروه ( mk ها) میتوان چنین در نظر گرفت که در المانهای حجمی خیلی کوچک تعداد ذرات آنقدر هست که تشکیل مقدار متوسط با معنی باشد, بنابراین می توان المان حجم را در رده محاسبات دیفرانسیلی قرار داد.
همانطور که گفته شد در محیط پیوسته کسرات برای هر نقطه مادی از جسم دو درجه آزادی سینماتیکی در نظر گرفته میشود که تابع یکدیگر نمیباشند در این محیط سرعت زاویهای دیگر مانند تئوری کلاسیک برابر با کرل میدان سرعت نیست بلکه برای سرعت زاویهای میتوان نوشت:
در این رابطه بردار مکان ذره ام از مرکز جرم المان ، 0 گشتاور ماند جرم المانی ، J علامت ضرب دیادیک دو بردار و E تانسور یکه می باشند. برای بدست اوردن معادلات میدانی در محیط کسرات کاملا شبیه به تئوری محیط پیوسته کلاسیک عمل میشود. با وجود شباهت با تئوری کلاسیک, اختلافاتی در مفاهیم پایهای مشاهده میگردد که عبارتند از: ۱- با دو برابر شدن تعداد درجات آزادی نسبت به محیط کلاسیک بارهای تانسوری هم دو برابر می شوند, یعنی در کنار تانسور تنش نیروئی , S تانسور تنش گشتاوری , M نیز وجود دارد. شبیه به تانسور تنش نیروئی S که در آن داریم می توان نوشت که در ان
mn گشتاور وارد به سطح, در جهت بردار عمود بر سطح است. در این حالت دیگر تانسور تنش نیروئی S متقارن نخواهد بود.
۲- برای معادله ساختاری که برای S و M تکامل داده میشود مهم است که از چه درجهای این مواد تقریب زده میشوند. چون در این مقاله مواد, طبق تعریف نول , از درجه یک میباشند در این صورت یک کمیت فیزیکی که برای المان جرم تعریف میشود فقط تابع سینماتیک نقاط با فاصله دیفرانسیلی از المان میباشد, در نتیجه در معادله ساختاری مربوطه فقط اولین گرادیانهای سرعت وجود دارند و یا به عبارت دیگر معادلات ساختاری به فرم کلی زیر می-باشند: (٥) (٦)
محیط پیوسته کسرات
مفهوم محیط پیوسته کسرات در مقالهای که توسط دو برادر فرانسوی به همین نام به سال ۹۰۹۱ منتشر شد]۹۱,[ معرفی گردید. همانطور که گفته شد در این محیط علاوه بر میدان سرعت, میدان چرخش نیز در نظر گرفته میشود با این شرط که مستقل از سرعت باشد. بنابراین علاوه بر اثر تانسور تنش نیروها, اثر تانسور تنش گشتاورها نیز بر یک المان مادی در نظر گرفته میشود و میتوان اعمال ممانهای حجمی بر سیال را هم در نظر گرفت. چنین محیطی به پیشنهاد ارینگن ]۰۲[ محیط ریزقطبی نامیده شد . در محیط کسرات مانند تئوری محیط پیوسته کلاسیک برای بدست آوردن معادله برای S و M بر حسب تانسورهای سینماتیکی, از فرموله کردن دو معادله بیلان برای المان جرم یعنی بیلانهای اندازه حرکت و مومنتوم زاویهای استفاده می-
شود. در معادلات بیلان, تنشها ظاهر میشوند که با استفاده از معادلات مواد متغییرهای مستقل سینماتیکی و گرادیانهای آنها جانشین تنشها میشوند و بدین شکل معادلات حاکم بدست میآیند که فقط شامل متغییرهای مستقل سینماتیکی و گرادیانهای آنها هستند. بنابراین مهمترین و مشکلترین قسمت یک تحلیل مکانیک محیط پیوسته بدست آوردن معادلات مواد حاکم بر آن محیط است که از تکامل قوانین ترمودینامیک و سه قانون پایهای مکانیک راسیونال بدست میآید. برای بدست آوردن معادله مواد از قانون اول ترمودینامیک شروع کرده و با فرض تعادل محلی در پروسههای نامتعادل به رابطه زیر برای قانون اول ترمودینامیک میرسیم ]۱۲:[
در این رابطه کار نیروهای خارجی، گرمای حاصل از تلفات کار
مکانیکی (کار اصطکاک) ، انرﮊی داخلی و انرﮊی جنبشی میباشد.
برای رسیدن به فرم مطلوب باید رابطه مربوط به هر یک از ترمهای معادله (۷) را بر حسب میدان سرعتها بدست آوریم. پس از انجام مجموعهای از محاسبات به روابط زیر میرسیم ]۲۱:[
که در این روابط, فشار, E تانسور یکه, کار نیروهای مرزی و k بیانگر نیروهای حجمی وارد شده به المان حجم است. تنها عبارت محاسبه نشده در رابطه (۷) توان اصطکاک میباشد که عبارت است از:
با توجه به فرضی که تروستل بیان کرد ]۹,[ برای توان اصطکاک میتوان دو درجه آزادی سینماتیکی در نظر گرفت که عبارتند از سرعت و سرعت زاویهای که مستقل از هم بوده و با توجه به روابط (۱) و (۲) تعریف میگردند. همچنین با توجه به اصل اثرات محلی توان اصطکاک در یک نقطه مادی از المان سیال علاوه بر اینکه تابعی از سرعت در همان نقطه مادی است تابع سرعت سایر نقاط مادی موجود در آن المان نیز می باشد بنابراین توان اصطکاک به فرم کلی زیر در میآید:
Q هر نقطه مادی دلخواه از المان حجم میباشد که خود نقطه P را نیز شامل میشود. با توجه به اصل عینیت مواد و عینی بودن تانسور داریم:
که در این رابطه تغییر یافته بردارهای سرعت و سرعت زاویهای تحت یک تبدیل اقلیدسی است و یا به عبارت دیگر بردارهای سرعت و سرعت زاویهای در سیستم مختصات جدید میباشند. با توجه به تعریفی که برای تبدیل اقلیدسی وجود دارد عبارت اند از ]۲۲:[
که در این رابطه مربوط به حرکت انتقال مختصات جدید نسبت به مختصات قبلی و مربوط به حرکت چرخشی آن است. پس از انجام محاسبات ریاضی مربوطه رابطه کلی توان اصطکاک به فرم زیر در میآید:
و دراین رابطه توابعی بر حسب هستند. از قانون دوم ترمودینامیک میدانیم که توان اصطکاک هیچگاه منفی نمیشود, و از طرفی فرض میکنیم که مقدار توان اصطکاک در نقطه تعادل مینیمم باشد, بنابراین داریم:
اگر رابطه فوق را به کمک سری تیلور بسط دهیم و با در نظر گرفتن دو
تعریف و همچنین با در نظر گرفتن رابطه (۱۱), به فرم زیر برای توان اصطکاک کل میرسیم:
پس از جایگذاری روابط (۸۱), ( ۰۱), (۹) و (۸) در رابطه (۷) و صفرگرفتن انتگرال حجم ]۸, ۹,[ به معادلات میدانی زیر میرسیم:
که در این روابط میباشد. دو رابطه فوق به دلیل داشتن نیروی جرم و شتاب جرمی به سادگی به عنوان بیلان اندازه حرکت و بیلان مومنتوم زاویهای بدون لختی چرخشی قابل شناسایی هستند. در نتیجه در رابطه (۹۱), عبارت داخل پرانتز جلوی دیورﮊانس به عنوان تنش کلی قابل تفسیر بوده, یعنی همچنین دیورﮊانس در رابطه (۰۲) را میتوان به عنوان تنش کل گشتاور , یعنی تفسیر نمود. سپس با تعریف یک تابع ایزوتروﭖ به عنوان پتانسیل توان اصطکاک و با توجه به تئوری خطی مواد, معادلات مواد برای بدست میآیند که با جایگذاری آنها در بیلانهای اندازه حرکت ومومنتوم زاویهای, یعنی به ترتیب معادلات (۹۱) و (۰۲) و با فرض پیوستگی, برای سیال تراکم ناپذیر معادلات میدانی زیر بدست میآید. که معادلات حاکم بر سیال کسرات درجه اول تراکم ناپذیر میباشند.
حل جریان داخل کانال
جریان پویسل صفحهای عبارت است از جریان بین دو صفحه تخت موازی که هر دو ثابت هستند و گرادیان فشار عامل جاری شدن سیال میباشد. صفحات در فاصله h از یکدیگر قرار دارند و گرادیان فشار در طول کانال ثابت و غیر
صفر است. محور Ox بر روی خط مرکزی کانال و در راستای جریان, محور Oy عمود بر محور جریان و Oz عمود بر صفحه جریان میباشد . به دلیل وجود تقارن فقط نیمه بالایی جریان را در نظر می گیریم, در نتیجه روابط زیر صادق میباشند:
با فرضیات فوق قانون بقاﺀ جرم برای جریان تراکم ناپذیر ارضاﺀ میشود. با صرفنظر کردن از نیروهای حجمی, معادلات حاکم به فرم زیر تغییر میکنند:
