مقاله تحلیل جریان توربولانس در کانال با استفاده از تئوری غیرمحلی مکانیک محیط پیوسته

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

تحلیل جریان توربولانس در کانال با استفاده از تئوری غیرمحلی مکانیک محیط پیوسته

چکیده
در این مقاله, متفاوت با مکانیک محیط پیوسته کلاسیک از تئوری غیرمحلی مکانیک محیط پیوسته استفاده شده است . یعنی بجای استفاده از معادله مواد درجه اول, در بدست آوردن معادله بیلان اندازه حرکت که منتهی به معادلات ناویر- استوکس برای سیال نیوتنی میشود, از معادله مواد با یک درجه بالاتر, معادله بیلان اندازه حرکت را بدست آورده و مشاهده شد که دارای یک جمله بیشتر در مقایسه با مدل کلاسیک میباشد. با اعمال شرایط حاکم بر جریان داخل کانال بر این معادله بیلان , یک معادله دیفرانسیل مرتبه چهار برای میدان سرعت جریان داخل کانال بدست میآید. بنابراین برای حل این معادله دیفرانسیل به شرایط مرزی بیشتری در مقایسه با معادله دیفرانسیل تقلیل یافته از معادلات ناویر- استوکس نیاز داریم. در این مقاله برای مرتفع کردن این مشکل از شرط مرزی تقارن و کلیه نقاط یک آزمایش تجربی جریان توربولانس استفاده شده است. به دلیل بیشتر بودن معادلات حاصل از مجهولات برای بهینه سازی جوابها از یکی از الگوریتمهای مینیمم مربعات نیز استفاده گردیده است. پروفیل سرعت بدست آمده بسیار شبیه پروفیل جریان توربولانس بوده که در مقایسه با نتایج آزمایشگاهی و پروفیل حاصل از روابط نیمهتجربی- نیمهتئوری در محدوده رینولدزهای بین 4 103 و 3.24 106 صحت این ادعا نشان داده شده است. مشاهده شد که ترم اضافه موجود در معادله بیلان اندازه حرکت , مدل مذکور را قادر به توصیف دقیقتر پدیدههای پیچیده مانند توربولانس میکند و همچنین پروفیل سرعت ارائه شده در مقایسه با کارهای مشابه این مزیت را دارد که پروفیل سرعت در نزدیکی مرز جامد را بسیار دقیقتر مدل میکند و لغزش منطقی در مرز جامد را نشان می-دهد.

واﮊههای کلیدی: مکانیک راسیونال١- تئوری غیرمحلی٢- سیال درجه دوم-جریان توربولانس درکانال – لغزش

مقدمه
مکانیک راسیونال بر پایه سه قانون اصلی علل گذشته٣, عینیت مادی۴ و اثرات محلی۵ بنا شده است ]۶،۵،۴،۳،۲،۱.[ در ترمودینامیک راسیونال از فرض تعادل محلی در پروسههای نامتعادل استفاده شده و به این هدف پرداخته میشود که میدان چگالی، دما و حرکت را از معادلات بیلان جرم، بیلان اندازه حرکت و انرﮊی بدست آورد. بدلیل بیشتر بودن مجهولات از معادلات در کنار معادلات بیلان احتیاج به معادلات ساختاری مواد است.
تروستل تئوریهای غیرمحلی مکانیک محیط پیوسته را طرحریزی کرد تا به کمک قوانین اصلی مکانیک راسیونال و قانون دوم ترمودینامیک معادلات مواد را تکامل دهد. این تئوری بیان میکند که یک واقعیت فیزیکی را میتوان با یک مدل سینماتیکی محیط پیوسته درجه m به تصویر کشید. این تکامل در مفهوم کلاسیک محیط پیوسته به این معنی است که برای هر نقطه واقع در محیطهای پیوسته میتوان مجموعهای از m تانسور سینماتیکی تعریف کرد که حداکثر این تانسورها از مرتبه m-1 میتوانند باشند و همچنین این تانسورها تابع یکدیگر نیستند. به بیان دیگر هر نقطه از محیط دارای m درجه آزادی سینماتیکی میباشد]۷, ۸.[ در حالت کلی چنانچه در تقریب معادله ساختاری مواد از m تانسور سینماتیکی و گرادیانهای آنها تا درجه n استفاده شود, در این صورت مدل محیط پیوسته, از درجه n و مرتبه m میباشد. بدین ترتیب محیط درجه سوم مرتبه دو, یعنی معادله مواد تابع سومین گرادیان سرعتها میباشد و مرتبه دوم به مثابه در نظر گرفتن دو درجه آزادی یا دو تانسور سینماتیکی مستقل، یعنی سرعت خطی vr, t و سرعت زاویهای ω r, t است ]۷.[
بیلان تنش کلی که معادل بیلان ممنتوم در تئوری کلاسیک است از قانون اول ترمودینامیک (بقاﺀ انرﮊی) استخراج میشود. با استفاده از قانون دوم ترمودینامیک و اصول مکانیک راسیونال فرم تکامل یافته توان اصطکاک را با در نظر گرفتن گرادیانهای مراتب بالاتر بدست میآوریم, س پس با جایگذاری در قانون اول ترمودینامیک به معادله ساختاری مواد میرسیم ]۷, ۸.[
خواص غیرمحلی بودن با توجه به قانون اثرات محلی بدست میآید, بدین صورت که اثر سینماتیکی اطراف بر خلاف تعریف نول که برای اجسام ساده به یک محدوده کوچک محدود میشد ]۶,[ بر حسب درجه غیرمحلی بودن وسیعتر میگردد. یک کمیت فیزیکی در یک المان جرم برای موادی از درجه یک, طبق تعریف نول برای محیط ساده, فقط تابع سینماتیک نقاط با فاصله دیفرانسیلی از المان جرم میباشد. معادله ساختاری چنین موادی فقط تابع گرادیان اول سرعتها است در حالی که در مواد درجه دوم اثرات همسایگی وسیعتری بررسی میشود و در نتیجه معادله ساختاری مواد تابع دومین گرادیان سرعتها نیز میباشد.

بر اساس تئوری تروستل به منظور تکامل معادلات مواد از سه روش میتوان استفاده کرد. روش اول بر مبنای تئوری سیالات ریزقطبی است, که در آن درجات آزادی سینماتیکی بیشتری برای المان سیال در نظر گرفته میشود. برای مثال چنانچه دو درجه آزادی میدان سرعت و میدان سرعت زاویهای را در معادلات وارد کنیم, به مدل محیط پیوسته کسرات١ میرسیم. از این روش در بررسی پدیدههایی مانند جریانهای توربولانس در هندسههای ساده ]۹,[ تحلیل سیالات غیر نیوتنی مانند خون ]۰۱, ۱۱[ و سوسپانسیونها ]۲۱[ استفاده شده است و همچنین کاربردهای فراوانی در تئوریهای الاستیسیته و مکانیک جامدات دارد. روش دوم مبتنی بر تکامل معادلات مواد با توجه به تئوری سیالات غیرمحلی است که در این روش اثرات سینماتیکی همسایگی وسیعتری از نقطه مورد بررسی در معادلات ساختاری مواد وارد میشود در نتیجه فونکسیونال معادله ساختاری مواد شامل گرادیانهای مراتب بالاتر از میدان سرعتها میباشد. سومین رویکرد استفاده توأماﹰ از هر دو تئوری مذکور است که باعث دقیقتر شدن حل میگردد ولی به علت افزایش ثوابت مواد نیاز به شرایط مرزی بیشتری دارد که بستن مسئله را مشکل میکند.
در مقاله حاضر با توجه به تحقیقات انجام شده در تکامل معادلات مواد به کمک روش دوم و کاربردهای آن در تحلیل برخی جریانهای ]۳۱, ۴۱, ۵۱, ۶۱, ۷۱,[ معادله مواد به کمک تئوری غیرمحلی مکانیک محیط پیوسته تکامل داده شده است و به کمک معادلات حاصل معادله دیفرانسیل میدان سرعت در یک هندسهای ساده (جریان داخل کانال) بدست آمده است. س پس به منظور بدست آوردن ثوابت موجود در حل تحلیلی معادله دیفرانسیل مذکور و رسم پروفیل سرعت, از شرط مرزی تقارن و نتایج یک تحقیق آزمایشگاهی بر روی جریان توربولانس داخل کانال استفاده شده است که باعث گردیده تا تعداد مجهولات مورد نیاز کاهش یابد و پروفیل سرعت حاصله هماهنگی بسیار خوبی با نتایج آزمایشگاهی نشان دهد و مشکل عدم تطابق با نتایج تجربی توربولانس در نزدیکی مرز جامد, که در تئوریهای مشابه وجود داشت برطرف گردد.

تئوری غیرمحلی ایزوتروﭖ شارهها
تجسم محیط پیوسته از المانهای جرم عبارت است از در نظر نگرفتن تغییر مکانهای نسبی سطوح جانبی المانها, که در این صورت باید سرعت المانهای جرم توابع پیوستهای از مختصات فضایی باشند , چنین تصوری از محیط پیوسته بخصوص در شارهها نادرست بنظر میرسد ]۷.[ یک شاره در دیدگاه آماری گروهی از ذرات به جرم mk است که تا حدی آزادانه – در هر حال نه با محدودیت فرضیه محیط پیوسته – با سرعت های م ختلف vk حرکت می کنند. با چنین تصوری مفهوم سرعت, دیگر سرعت حرکت یک المان از محیط پیوسته نمیباشد بلکه متوسطی است از این سرعتهای مختلف در داخل المان حجم . V که به زبان ریاضی عبارت است از:

برای اینکه این متوسطگیری مقدار قابل اطمینانی بدهد باید تعداد ذرات نسبتاﹰ زیاد باشد, پس در اینجا نمیتوان حد V  0 را متصور شد. با این حال به علت کوچک بودن عناصر گروه ( mk ها) میتوان چنین در نظ ر گرفت که در المانهای حجمی خیلی کوچک تعداد ذرات آنقدر هست که تشکیل مقدار متوسط با معنی باشد, بنابراین میتوان المان حجم را در رده محاسبات دیفرانسیلی قرار داد.

در مکانیک محیط پیوسته مدرن برای نقاط مادی یک المان, در کنار میدان سرعت , vr , t می توان به تعداد دلخواه مقادیر متوسط سینماتیکی تشکیل داد و یا به زبان دیگر برای المان جرم در کنار میدان سرعت میتوان به تعداد دلخواه درجه آزادی سینماتیکی که تابع vr, t نباشد, در نظر گرفت. درحالی که در مدل محیط پیوسته کلاسیک فرض بر این است که با داشتن میدان سرعت , vr , t میتوان فیزیک یک سیال را بطور کامل توصیف کرد و چون در محیط کلاسیک فقط سرعت, , vr , t در نظر گرفته میشود, بنابراین محیط پیوسته کلاسیک یک محیط مرتبه اول بوده که با توجه به بزرگترین درجه گرادیان سرعت موجود در معادلات, درجه این محیط مرتبه اول تعیین میگردد. اگر سرعت و گرادیان اول آن, یعنی vr, t و در معادلات وارد شوند آنگاه به محیط درجه دوم میرسیم که در این مقاله مورد بررسی است. در این حالت تانسور تنش کل عبارت خواهد بود از:

محیط پیوسته گرادیان درجه دوم

برای بدست آوردن معادله مواد از قانون اول ترمودینامیک شروع کرده و با فرض تعادل محلی در پروسههای نامتعادل به رابطه زیر برای قانون اول ترمودینامیک میرسیم ]۸۱:[

برای رسیدن به فرم مطلوب باید رابطه مربوط به هر یک از ترمهای معادله (۳) را بر حسب میدان سرعت بدست آوریم. پس از انجام مجموعهای از محاسبات به روابط زیر میرسیم ]۵۱:[

که در این روابط, p  فشار, E تانسور یکه, توان نیروهای مرزی و k بیانگر نیروهای حجمی وارد شده به المان حجم است. تنها عبارت محاسبه نشده در رابطه (۳) توان اصطکاک می باشد که عبارت است از:

با توجه به اصلی که تروستل بیان کرد]۷[ میتوان فرض نمود که توان اصطکاک تابعی از یک متغییر سینماتیکی مستقل باشد یعنی فقط یک درجه آزادی داشته باشد که این درجه آزادی را سرعت هر نقطه از جسم در نظر می-گیریم , همچنین با توجه به اصل اثرات محلی توان اصطکاک در یک نقطه مادی از المان سیال علاوه بر اینکه تابعی از سرعت در همان نقطه است تابع سرعت سایر نقاط مادی موجود در آن المان نیز میباشد بنابراین توان اصطکاک به فرم کلی زیر در میآید:

Q هر نقطه مادی دلخواه از المان حجم میباشد که خود نقطه P را نیز شامل میشود. با توجه به اصل عینیت مواد و عینی بودن تانسور D داریم:

که در این رابطه v تغییر یافته بردار سرعت تحت یک تبدیل اقلیدسی است و یا به عبارت دیگر v بردار سرعت در سیستم مختصات جدید است. با توجه به تعریفی که برای تبدیل اقلیدسی وجود دارد v عبارت است از ]۹۱:[

و در این رابطه مربوط به حرکت انتقال مختصات جدید نسبت به مختصات قبلی و مربوط به حرکت چرخشی آن است. پس از انجام محاسبات ریاضی مربوطه و با تعریف:

رابطه کلی توان اصطکاک را میتوان اینگونه نوشت:

از قانون دوم ترمودینامیک میدانیم که توان اصطکاک یک مقدار مثبت بوده و هیچگاه منفی نمیشود, و از طرفی فرض میکنیم که توان اصطکاک در نقطه تعادل مقدار مینیمم خود را داشته باشد بنابراین داریم:

اگر رابطه فوق را به کمک سری تیلور بسط دهیم و با در نظر گرفتن دو تعریف و همچنین با در نظر گرفتن رابطه (۷), فرم زیر برای توان اصطکاک کل بدست میآید]۳۱:[

پس از جایگذاری روابط (۵۱), (۶), (۵ ) و (۴) در رابطه (۳) و صفر فرض کردن انتگرال حجم ]۷, ۸[ به معادله میدانی زیر میرسیم:

که به دلیل وجود نیروی جرم و شتاب جرمی به عنوان بیلان اندازه حرکت قابل شناسایی است. در نتیجه عبارت داخل پرانتز جلوی دیورﮊانس به عنوان تنش کلی قابل تفسیر بوده, یعنی و به کمک این تفسیر معادله (۶۱) فرم یک معادله بیلان را پیدا میکند:

با توجه به رابطه (۲), را میتوان به فرم نوشت. که با جایگذاری درروابط فوق به تساویهای و میرسیم. اکنون تابع ایزوتروﭖ زیر را به عنوان پتانسیل توان اصطکاک تعریف میکنیم:

با تعریف:

در حالتی که تنش کلی لزجت تابع خطی از متغییرهای سینماتیک باشد در این صورت میتوان  را بر حسب نامتغییرهای سینماتیکی نوشت, یعنی  با توجه به تعریفهای (۹۱) داریم:

C1 نامتغییر اول تانسور C است. اکنون با تعریف معادلات مواد برای بدست میآیند که با جایگذاری آنها در معادله بیلان,یعنی معادله (۷۱) و با فرض پیوستگی, برای سیال تراکم ناپذیر , معادلات میدانی زیر بدست میآید:

همانطور که در این رابطه دیده میشود, در معادلات بدست آمده برای سیال گرادیان درجه دوم جمله v ظاهر میشود که در معادلات کلاسیک ناویر-استوکس وجود ندارد زیرا در بدست آوردن معادلات کلاسیک معادله ساختاری مواد ساده استفاده شده است. بنابراین رابطه (۲۲) را میتوان معادله ناویر-استوکس درجه دوم نیز نامید چرا که در بدست آوردن آن از معادله ساختاری مواد درجه دوم استفاده شده است.

حل جریان داخل کانال
جریان بین دو صفحه تخت موازی که هر دو ثابت هستند و گرادیان فشار عامل جاری شدن سیال میباشد را به پاس تحقیقات دانشمند هلندی در این زمینه جریان پویسل صفحهای و یا جریان داخل کانال مینامند. صفحات در فاصله h از یکدیگر قرار دارند و گرادیان فشار در ط ول کانال ثابت و غیر صفر میباشد. محور Ox بر روی خط مرکزی کانال و در راستای جریان, محور Oy عمود بر محور جریان و Oz عمود بر صفحه جریان میباشد. به دلیل وجود تقارن فقط نیمه بالایی جریان را در نظر میگیریم, در نتیجه روابط زیر صادق میباشند:

با فرضیات فوق قانون بقاﺀ جرم برای جریان تراکم ناپذیر ارضاﺀ میشود. با صرفنظر کردن از نیروهای حجمی, معادلات (۲۲) به فرم زیر کاهش مییابند:

طرف راست این معادله یک عدد ثابت میباشد بنابراین جواب نهایی این معادله دیفرانسیل مرتبه ۴ غیرهمگن به فرم زیر است:

که در این روابط ci ها ثوابت انتگرال گیری و ثابت مواد میباشد .
با توجه به این نکته که پروفیل سرعت در جریان داخل کانال با توجه به محورهای مختصاتی که تعریف گردید, یک معادله زوج باید باشد از شرط مرزی تقارن نسبت به محور Ox استفاده شده و نتیجه میگیریم که . C2  C3  0 بنابراین رابطه (۵۲) تبدیل به رابطه زیر میگردد: