بخشی از مقاله
خلاصه
در این مقاله فرمول بندی روش باقی مانده وزنی زمانی برای حل معادله انتشار موج در سازههای متشکل از اعضای یک بعدی استفاده میشود. ویژگی اصلی این روش، ذخیره سازی اطلاعات هر گام زمانی بر روی ضرایب پایههای نمایی است، به گونهای که پیش روی حل در زمان بدون نیاز به انتخاب نقاط درون دامنه و فقط با استفاده از یک رابطه بازگشتی مناسب برای اصلاح ضرایب پایههای نمایی انجام میشود. ایده کلی این شیوه، استفاده از روابط پیش انتگرال گیری در کنار معادلات تعادل است. در این روش شرایط اولیه به صورت دقیق و معادله تعادل با استفاده از روش باقی مانده وزنی زمانی ارضاء میشوند. شرایط مرزی نیز در ابتدا و انتهای هر المان و در انتهای هر گام زمانی ارضاء میشوند. در این مقاله روش مذکور برای تعیین پاسخ دینامیکی خرپای دو بعدی تحت بار گذاری دلخواه توسعه داده میشود و نتایج به دست آمده با روش المان محدود طیفی مقایسه میگردد.
1. مقدمه
تاکنون بسیاری از محققین به بررسی انتشار موج با انواع شرایط مرزی و توسعه روشهای عددی مختلف به منظور حل معادله انتشار موج پرداختهاند. تحلیل عددی مسائل انتشار موج و تعیین پاسخ دینامیکی ناشی از آن، حوزه مهمی را در مکانیک محاسباتی و بسیاری از حوزههای عملی مهندسی شکل میدهد. از جمله مثالهای کاربردی این قبیل مسائل میتوان به مسئله انتشار موج اسکالر و الاستیک، تعیین رفتار ارتعاشی سازهها، کنترل سلامت سازهها و تشخیص آسیب در سازهها اشاره کرد .[1] با نگاهی به کارهای محققین پیشین، میتوان گفت دیدگاههای به کار گرفته شده در توصیف رفتار دینامیکی سازهها، به دو دسته حل در حوزهی فرکانس و حل در حوزهی زمان قابل تفکیک هستند. از روشهای حل در حوزه فرکانس میتوان به روش المان محدود طیفی و از روشهای حل در حوزه زمان میتوان به روش المان محدود اشاره کرد. مزیت اصلی روشهای حل در حوزه زمان نسبت به حوزه فرکانس هزینه کمتر محاسبات است، زیرا برای حل در حوزه فرکانس ابتدا باید به وسیله تبدیل فوریه و یا تبدیل لاپلاس مسئله را حل کرد و سپس برای به دست آوردن حل در حوزه زمان از تبدیل معکوس استفاده کرد، که این امر موجب تولید ماتریسهای بد رفتار و بالا رفتن هزینه محاسبات میشود. زنگ [2,3] در سال 1998 دو مقاله را به روش المان مرکب در آنالیز ارتعاش سازه برای المان C 0 و C1 اختصاص داد. روش المان مرکب، یک روش تحلیلی عددی با ترکیب روش المان محدود معمولی با تئوری تحلیلی کلاسیک، با هدف استفاده از تطبیق پذیری روش المان محدود سنتی و حل تحلیلی بسته تئوری کلاسیک است. در این مقاله دو نوع روش c-version - افزایش درجه آزادی بر اساس حل کلاسیک - و h-version - پالایش مش المان - برای بهبود روش المان مرکب توسعه داده شدهاند.
دویل [4,5] در سال 1989 و 1990 یک روش المان طیفی با استفاده از تبدیل سریع فوریه برای آنالیز انتشار امواج در سازههای قابی شکل پیشنهاد کرد. در این روش، عضو با هندسه یکنواخت میتواند فقط با یک المان طیفی جایگزین شود، که در نهایت درجات آزادی کل سیستم را کاهش میدهد. علاوه بر این، انتشار امواج خمشی، محوری و پیچشی در اعضا به درستی اتفاق میافتد، زیرا از حل دقیق تیر و میله در حوزه فرکانس استفاده میشود. ایگاوا و همکاران [6] در سال 2003 یک روش المان طیفی جدید ارائه دادند که در آن به جای تبدیل فوریه از تبدیل لاپلاس استفاده میشود که نتیجه آن اجتناب از مشکل تناوب است. این روش پیشنهادی، در سازههای قابی سه بعدی با تیرهای با طول محدود نیز میتواند استفاده شود. همچنین بین و همکاران [7] در سال 2015 با استفاده از روش المان طیفی ناپیوسته به آنالیز انتشار موج در مواد ناهمگن پرداختند. در این مقاله، پراکندگی و اتلاف خواص عددی روش المان طیفی ناپیوسته در زمینه امواج الاستیک در مواد ناهمگن یک بعدی بررسی شدهاند. همچنین وابستگی فرکانس و ویژگیهای نوار الاستیک مطالعه شده است. روش گالرکین طیفی ناپیوسته مرتبه بالا نیز برای محاسبه روابط پیچیده در مواد ناهمگن استفاده شده است.
در تحقیق پیش رو، یک روش عددی با استفاده از توابع پایه نمایی، در تحلیل معادلات انتشار موج و تعیین پاسخ دینامیکی خرپاهای دو بعدی، با استفاده از تکنیکهای روش المان محدود ارائه میگردد. در واقع موفقیت پژوهشهای انجام شده در سالهای اخیر در زمینه به کار گیری توابع پایه نمایی برای حل بسیاری از مسائل مقدار اولیه و همچنین مسائل مقدار مرزی- مقدار اولیه، ایده استفاده از این روش را برای حل معادلات وابسته به زمان انتشار موج، با شرایط مرزی مختلف توجیه میکند. البته این روش پیش از این ابتدا در مرجع [1]، برای حل معادله انتشار موج در محیطهای یک بعدی و دو بعدی ارائه شده است و صحت و دقت آن برای تک عضو به اثبات رسیده است. در اینجا این روش برای تعیین پاسخ دینامیکی سازههای متشکل از اعضای یک بعدی توسعه داده میشود. در ادامه، معادلات حاکم بر مسئله و فرمولبندی روش گام به گام در حل معادلات موج همراه با معرفی عوامل و پارامترهای مؤثر در روش ارائه شده است. در انتها نیز توانایی روش باقی مانده وزنی در حل چند مسئله نمونه بررسی شده است.
2. معادلات حاکم
در این بخش فرمولبندی روش جدید گام به گام زمانی برای معادلات موج ارائه میشود. فرم همگن این معادلات به صورت زیر بیان میشود در رابطه فوق d دامنه یک بعدی - d=1 - مورد نظر برای حل معادله و بازه صفر تا T، دامنه زمانی آن است. u - x,t - تابع موج محوری و w - x,t - تابع موج خمشی است. E مدول الاستیسیته، A سطح مقطع مورد نظر، ρ چگالی و I ممان اینرسی مقطع است.x نیز مؤلفه مکانی دستگاه مختصات است.جا به جاییها و نیروهای گرهای هر عضو مطابق شکل 1 در نظر گرفته میشوند.
الف ب شکل-1 قرارداد علامت برای الف - انتشار موج محوری ب - انتشار موج خمشی
3. روش حل
در این مقاله، روش حل معادله موج محوری ذکر میشود و برای حل معادله موج خمشی به طور مشابه فرمولبندی به دست میآید. برای حل معادله - 1 - به روش باقی مانده وزنی، ابتدا لازم است با انتخاب مقدار مناسب برای t T Nt زیر بازه افراز شود. سپس روابط پیش ، دامنه زمانی مسئله به t انتگرال گیری بین متغیرهای وابسته شتاب، سرعت و جابهجایی در زیر بازه nام به صورت زیر در نظر گرفته میشوند [1] بدیهی است که روابط فوق کاملاً مستقل از معادله تعادل - 1 - هستند. جای گذاری روابط فوق در معادله تعادل گام زمانی nام، به شکل زیر بیان میشود
