بخشی از مقاله
چکیده
براي کنترل مکانیزمهاي موازي، نیازمند حل مسئلهي سینماتیک مستقیم این مکانیزمها میباشد. در این مقاله، به تحلیل مسئلهي سینماتیک مستقیم مکانیزم موازي 4-PRUR با پایههاي یکسان و الگوي حرکتی 3 درجه انتقالی و 1 درجه دورانی پرداخته شده است. در ابتداي این تحقیق، مسئلهي سینماتیک مستقیم مکانیزم فوق در حالت عمومی و در فضاي اقلیدسی سه بعدي تحلیل میشود. سپس یک طرح ساده شده براي این مکانیزم ارائه و سینماتیک مستقیم آن حل میگردد و نشان داده میشود که تحلیل سینماتیک مستقیم مکانیزم جدید، سادهتر از تحلیل سینماتیک مستقیم ربات موازي 4-PRUR میباشد.
مقدمه
مکانیزم موازي، مکانیزم حلقه بستهاي است که در آن سکوي متحرك به وسیله حداقل دو زنجیره سینماتیکی سري به سکوي ثابت متصل شده است. این مکانیزمها داراي برتریهایی از قبیل صلبیت، دقت و نسبت تحمل نیرو به وزن بالا میباشند .[1] در طول دهه اخیر، توجه بسیاري به مکانیزمهاي موازي با درجات آزادي کمتر از شش شده است، چرا که در بسیاري از کاربردهاي صنعتی، نیاز به مکانیزمهایی با شش درجه آزادي نمیباشد. از مزایاي مهم استفاده از مکانیزمهاي موازي با درجه آزادي کمتر از شش نیز، میتوان به کاهش قیمت و جلوگیري از اتلاف انرژي اشاره کرد. علاوه بر این، درجات آزادي غیر ضروري، نیازمند به یک سیستم کنترل پیچیده براي مجري نهایی میباشد. نتیجتاً در سالهاي اخیر، انواع چهار درجه آزادي از این مکانیزمها بسیار مورد توجه قرار گرفته است .[1] در سال 2007، کنگ1 و کلمنت گسلاین2، بر اساس تئوري پیچش و اصل زنجیره مجازي، کتابی با عنوان "سنتز انواع مکانیزمهاي موازي" به چاپ رساندند که در آن، به صورت کامل، سنتز انواع مکانیزمهاي موازي با الگوهاي حرکتی خاص انجام گرفته است .[1] بر این اساس، مکانیزمهاي چهار درجه آزادي با پایههاي یکسان، با توجه به الگوي حرکتی سکوي متحرك آن به سه دسته 3T1R3، 2T2R و 3R1T تقسیم شدهاند .[1]
براي کنترل مکانیزمهاي موازي، نیازمند حل مسئلهي سینماتیک مستقیم این مکانیزمها میباشد. مسئله ي سینماتیک مستقیم یک مکانیزم موازي، شامل پیدا کردن تمامی حالتهاي ممکن سکوي متحرك، در حالت قفل بودن تمامی کاراندازهاي مکانیزم میباشد .[2] از طرفی، سینماتیک مستقیم مکانیزمهاي موازي - به دلیل سیستم معادلات غیر خطی حاصله - ، بسیار پیچیده است و نمیتوان به راحتی آن را تحلیل کرد. نتیجتاً، آنالیز سینماتیک مستقیم مکانیزمهاي موازي، نیازمند چهارچوب ریاضی مناسبی میباشد که بتواند انتقال و دوران را به طور کامل تشریح کند. این کار میتواند با استفاده از جبر هندسی انجام گیرد .[2] امروزه با ظهور سیستمهاي کامپیوتري، امکان استفاده از تئوریها و الگوریتمهاي جبر هندسی افزایش یافته است. سینماتیک مستقیم مکانیزمهاي موازي، بسیار مشکل میباشد، به طوري که حل تحلیلی تعداد کمی از مکانیزمهاي موازي موجود میباشد. کلمنت گسلاین و جان پیر مرلت[3] 4، در سال 1994، یک چندجملهاي درجه 6 براي بیان سینماتیک مستقیم ربات موازي صفحهاي 3-RRR، با استفاده از هندسه آن، بدست آوردند. در سال 1996، مانفرد هوستی[4 ] 5، با استفاده از نگاشت سینماتیکی، الگوریتمی براي حل سینماتیک مستقیم ربات 6 درجه آزادي استیوارت در فضاي هفت بعدي ارائه کرد و نشان داد که سینماتیک مستقیم مکانیزم گوس- استیوارت داراي 40 جواب میباشد. استفاده از شبکه عصبی 5] و [6 و روشهاي حذف جبري [7] در تحلیل مسئلهي سینماتیک مستقیم مکانیزمهاي موازي نیز بسیار مورد توجه قرار گرفته است. همچنین در سال 2011، دکتر ماسوله، گسلاین و همکارانش [2]، دو روش براي حل مسئله سینماتیک مستقیم مکانیزم موازي بر پایه استفاده از پارامترهاي استودي ارائه کردند.
بر اساس آخرین تحقیقات انجام شده در زمینه رباتهاي موازي، به دلیل تاریخچهي کوتاه رباتهاي موازي فضایی 4 درجه آزادي با ساختار پایههاي یکسان، مشخصات سینماتیکی این دسته از رباتهاي موازي فضایی بسیار محدود مورد بررسی قرار گرفته است. بر این اساس، در این تحقیق به بررسی سینماتیک مستقیم ربات موازي 4 درجه آزادي 4-PRUR پرداخته شده است. سپس طرحی براي سادهسازي این مکانیزم ارائه گردید و نشان داده شد که حل مسئله سینماتیک مستقیم طرح ارائه شده، بسیار سادهتر و در مدت زمان کمتري انجام پذیر است.
ساختار هندسی مکانیزم 4-PRUR
مکانیزم 4-PRUR، بر گرفته از طرح ارائه شده در کتاب "سنتز انواع مکانیزمهاي موازي" [1] میباشد. در آن کتاب، 11 مکانیزم 4 درجه آزادي با پایههاي یکسان و الگوي حرکتی3T1R 6 معرفی شده است.
یکی از این مکانیزمها، مکانیزم 4 − PR ′′R′′R′R′ میباشد که به طور کلی، از یک سکوي متحرك تشکیل شده است که به وسیله چهار پایه یکسان PRUR به سکوي ثابت متصل شده است. بر اساس سنتز انجام شده در مرجع 1، یک کارانداز کشویی خطی موازي محور z - متصل به سکوي ثابت - ، وروري هر پایه را تشکیل میدهد. دو مفصل لولایی ابتداي هر پایه، داراي محورهاي موازي و دو مفصل لولایی انتهایی در هر پایه نیز داراي محورهاي موازي - موازي محور - z میباشند. لازم به ذکر است که مفاصل لولایی دوم و سوم در هر پایه، داراي محورهاي متقاطع و عمود بر هم میباشند و با تلفیق آنها، مفصل یونیورسال - Di - ایجاد شده و بر این اساس مکانیزم 4-PRUR شکل میگیرد - شکل. - 1 شکل 2 نیز طرح شماتیک پایه PRUR از این مکانیزم را نشان میدهد. مجري نهایی این مکانیزم، توانایی ایجاد سه درجه انتقالی به علاوهي یک درجه دورانی را دارد. در نمادگذاري این مسئله، x، y و z بیان کنندهي درجات انتقالی نسبت به چهارچوب ثابت O و θ نشان دهنده درجهي دورانی حول محور z میباشند. e1 بردار یکه در راستاي محور x و e3 نیز بردار یکه در راستاي محور y میباشد.
حل مسئله سینماتیک مستقیم حالت عمومی مکانیزم 4-PRUR
بخش اول این تحقیق، شامل حل مسئله سینماتیک مستقیم حالت عمومی مکانیزم موازي 4-PRUR در فضاي اقلیدسی سه بعدي7 میباشد. مزیت استفاده از فضاي اقلیدسی سه بعدي در آنالیز سینماتیک مستقیم، عمدتاً به دلیل حذف عبارتهاي مثلثاتی و تولید معادلات همگن میباشد .[2] براي تحلیل مسئله سینماتیک مستقیم حالت عمومی مکانیزم، ابتدا باید عبارت سینماتیک مستقیم8 هر پایه محاسبه شود. براي این کار، چهارچوب ثابت O − x, y, z بر روي مفصل A1 و چهارچوب متحرك O′ - x, y,z - بر روي مفصل E1 قرار داده میشود - شکل . - 1 لازم به توضیح است که با توجه به شرایط مکانیزم، جهتگیري محور z′ از چهارچوب متحرك O ′ − x ′y ′z′ ثابت و در جهت e3 میباشد و جهتگیري محورهاي x′ و y′ با تغییر ورودیهاي مکانیزم، تغییر میکند. با توجه به تحلیل مسئله سینماتیک مستقیم، موقعیت مفاصل Bi - مفصل کشویی - و Ci - اولین مفصل لولایی در هر پایه - مشخص بوده و همچنین میتوان موقعیت مفصل انتهایی در هر پایه - Ei - را بر اساس پارامترهاي x، y، z و θ - موقعیت چهارچوب متحرك که بر روي سکوي متحرك نصب میگردد - نوشت. اما در این بین موقعیت نقاط Di مشخص نمیباشد که بر اساس قیود هندسی هر پایه، باید از معادلات حذف گردد. بر این اساس خواهیم داشت:
که در روابط فوق، rAi بردار اتصال نقطه O به نقاط Ai، P بردار اتصال بین نقاط O به O′، Q ماتریس جهتگیري چهارچوب متحرك که در رابطه فوق، FK1 الی FK7، به ترتیب چندجملهایهایی از درجات 72، 64، 64، 8، 4، 2 و 2 میباشند که در هر حالت، یکی از معادلات از درجه 64 و یا 72، جواب مسئله سینماتیک مستقیم میباشند. حل این مسئله در نرمافزار Maple 13 و با رایانه شخصی با مشخصات CPU:Core i5، Hard Disk: 500GB و Memory: 4GB، انجام گردید که به دلیل پیچیدگی این مکانیزم، حل آن حدود 20000 ثانیه به طول انجامید. این زمان، بسیار طولانی است. لذا باید به دنبال ایجاد مکانیزمهایی بود که حل سینماتیک آن سادهتر و در زمان کوتاهتري انجام پذیرد. در نتیجه با استفاده از سادهسازي مکانیکی، یک طرح سادهسازي شده عملی براي این مکانیزم ارائه و تحلیل سینماتیک مستقیم آن انجام گردید.
طرح سادهسازي شده مکانیزم 4-PRUR
در این بخش و پس از حل مسئله سینماتیک مستقیم حالت عمومی مکانیزمهاي 4-PRUR در فضاي اقلیدسی سه بعدي، به ارائه یک طرح سادهسازي شده عملی براي مکانیزم فوق پرداخته میشود. سادهسازي مکانیزم موازي با تلفیق یک یا چند نقطه اتصال در دو پایه مجاور هم و تشکیل یک پایه با دو مفصل فعال ایجاد می شود .[2] این عمل نباید درجه آزادي مکانیزم را تغییر دهد. هدف از این عمل، تحلیل سادهتر مسئله سینماتیک مستقیم و بدست آوردن عبارتهاي سادهتر براي بیان آن میباشد. با استفاده از این تئوري و تلفیق دو جفت مفصل U از پایههاي 1 و 2 - نقاط D1 و D2 از پایههاي اول و دوم - ، مکانیزم سادهسازي شده ي مکانیزم موازي 4-PRUR تشکیل شد - شکل . - 3 مکانیزم جدید نیز داراي 4 درجه آزادي و الگوي حرکتی 3 درجه انتقالی و یک درجه دورانی میباشد.
