بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله ابتدا به معرفی ربات موازی استوارت میپردازیم. سپس با معرفی نوع خاصی از این ربات که 6-3 میباشد به تحلیل سینماتیکی آن میپردازیم. در ابتدا مسئله سینماتیک معکوس ربات با استفاده از زنجیره سینماتیکی حلقه بسته آن مورد بررسی قرار میگیرد. سپس برای سینماتیک معکوس یک مثال عددی ارائه می-شود. در ادامه به حل تحلیلی سینماتیک مستقیم ربات میپردازیم. در این مقاله سعی بر آن است که با روش حذفی بزوت به حل تحلیلی سینماتیک ربات بپردازیم. با استفاده از این روش معادلات جبری غیرخطی کوپل شده، تبدیل به یک چندجملهای یک متغیره میشود. با حل این چندجملهای سینماتیک مستقیم ربات استوارت به صورت تحلیلی حل میگردد. در ادامه با استقاه از یک مثال عددی صحت نتایج حاصل تأیید میگردد.
واژه های کلیدی:ربات استوارت- سینماتیک مستقیم- روش بزوت
مقدمه
در دهههای اخیر مکانیزمهای موازی به علت مزایای ذاتی در مقایسه با مکانیزمهای سری، بیشتر مورد توجه محققین قرار گرفته است. مکانیزم استوارت مکانیزمی موازی است که اولین بار توسط استوارت در سال 1965 ساخته شد .[1] هدف اصلی طراحی مکانیزم استوارت شبیه سازی شرایط پرواز با حرکت عمومی در فضا است. مدلسازی سینماتیکی رباتهای موازی بر خلاف رباتهای سری به دلیل وجود قیود سینماتیکی و زنجیره حلقه بسته دارای پیچیدگیهای ذاتی است.ومپلر1 نیز در سال 1996 سینماتیک مستقیم ربات 6-SPS را مورد بررسی قرار داده است .[2] نانو2 در سال 1989 نیز به حل سینماتیک مستقیم ربات استوارت صفحهای متقارن پرداخته است و 16 جواب برای آن بدست آورده است .[3] راث3 و همکارانش دستگاه معادلات ربات 6- 5 را پس از فاکتورگیری با چندجملهای یک متغیره درجه 40 بدست آوردند .[4]
لین4 و همکارانش رباتهای نوع 4-4 و5-4، همچنین چن5 و سانگ 6 نوع 6-4 را مورد بررسی قرار دادند. روش شبکههای عصبی برای حل سینماتیک ربات به منظور تسریع محاسبات توسط ژنگ7 و هاینز8 بررسی گردید .[5] روشهای عددی که به حل معادلات غیرخطی و محاسبهی مجهولات سینماتیک می-پردازد، در صورتی که حدس اولیه نزدیک به جواب وجود داشته باشد، مناسب خواهند بود. برای تعیین تمامی جوابهای حقیقی ممکن سینماتیک مستقیم، باید از روشهای تحلیلی استفاده نمود. با این وجود مسئله سینماتیک مستقیم منجر به یک سیستم دستگاه جبری غیرخطی می گردد که بسیار پیچیده خواهد بود و همچنین دارای پاسخهای چندگانه است.
معرفی ربات موازی استوارت
مکانیزم موازی شامل تعدادی لینک با اتصال موازی بوده که ارتباط دو سکو توسط این لینکها برقرار میگردد. از پرکاربردترین نوع این مکانیزمها، هگزاپادهایی میباشند که در آن از شش لینک با مفاصل کشویی استفاده شده است. ربات استوارت به دلیل استفاده از ترتیب مفاصل یونیورسال، کشویی و کروی به نام ربات موازی UPS معروف است. در شکل 1 ربات موازی استوارت نشان داده شده است.
سینماتیک
تحلیل سینماتیک رباتهای موازی شامل حل سینماتیک مستقیم و معکوس میباشد. بر خلاف رباتهای سری، مسئلهی سینماتیک معکوس در رباتهای موازی ساده و مسئلهی سینماتیک مستقیم مشکل است. دلیل مشکل بودن سینماتیک مستقیم در رباتهای موازی این است که معادلات سینماتیک مستقیم در آنها، معادلاتجبری غیرخطی است. در این مقاله ابتدا به حل سینماتیک معکوس پرداخته میشود.
سینماتیک معکوس
حل سینماتیک معکوس ربات موازی استوارت مشابه تمام رباتهای موازی دارای حلی آسان است. همان طور که در شکل 2 نشان داده شده است، یک دستگاه مختصات ثابت متصل به صفحه پایینی و یک دستگاه مختصات متحرک متصل به صفحه بالایی را در نظر می-گیریم. مختصات رئوس صفحه بالا در دستگاه متحرک را با بردارR, S ,T و مختصات رئوس صفحه پایین در دستگاه ثابت را با بردار Ui نشان میدهیم.به منظور حل مسئله سینماتیک معکوس ربات استوارت، زوایای دوران ] [10 20 30] [و بردارجابجاییP [0.5 1 2]T را در نظر میگیریم. با اعمال ورودیها و استفادهاز معادلهی 1 تا 3، طول محرکها برابر است با:
سینماتیک مستقیم
به منظور حل سینماتیک مستقیم ربات با نوشتن قیدهای سینماتیکی معادلات جبری غیرخطی کوپل شده بدست میآید. با استفاده از روش حذفی بزوت میتوان دستگاه معادلات مثلثاتی کوپل شده شامل چند متغیر را به یک چند جملهای بر حسب تنها یک متغیر تبدیل کرد.در سینماتیک معکوس هدف یافتن طول محرکهای خطی ربات با معلوم بودن مکان و زوایای دوران صفحهی متحرک ربات است. با استفاده از زنجیرهی سینماتیکی حلقه بستهی ربات، میتوان معادله-ی برداری 1 را به منظور محاسبهی طول لینکهای ربات نوشت:که در آن ماتریس دوران است.
مثال عددی
مختصات رئوس صفحههای پایین و بالای ربات استوارت 6-3 در جدول زیر آورده شده است.
همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است، زیر تعریف کنیم:
با توجه به اینکه هر دو لینک به یکی از رئوس مثلث متصل شده است، لذا نقاط R, S ,T تنها یک درجه آزادی دارند و مکان هندسی این نقاط دایرهای به شعاع mr , ms , mt و مرکز Or , Os , Ot میباشند که در شکل 4 نشان داده شده است.
با استفاده از رابطهی فیثاغورث میتوان شعاع دوایری که مکانهندسی رئوس پلتفرم متحرک هستند را به صورت زیر نوشت:
با در نظر گرفتن دو مثلث قائمالزاویه نشان داده شده در شکل 3 و نوشتن تقاضل رابطههای فیثاغورث داریم:
با توان 2 رساندن معادلهی 2-a میتوان نوشت:
اکنون با ترکیب معادلات 4 و 5 خواهیم داشت:
میتوان مختصات Or را در دستگاه ثابت به صورت زیر نوشت:
با توجه به روابط فوق مرکز مکان هندسی دوایر رئوس پلتفرم متحرک نیز بدست آمدند. به منظور نوشتن بردارهای vr , vs , vt در دستگاه مختصات ثابت دو زاویه دوران برای هر لینک تعریف می-نماییم. با استفاده از این چرخش محور y منطبق بر راستای vr میشود. اگر زاویه U1U2 با محورZ را و زاویه تصویر U1U2 با محور X را r در نظر بگیریم، آنگاه میتوان نوشت:
