بخشی از مقاله
چکیده
تاثیر گسترش بستردر تحلیل سازه های ﮊئومکانیکی بحدی است که این بستر عموما بعنوان یک محیط نامحدود تلقی می گردد. دقت نتایج به دست آمده از روش اجزاﺀ محدود معمول برای تحلیل چنین مسائلی شدیدا بستگی به فاصله مرزها ، نوع، وبعد شبکه اجزاﺀ محدود دارد و منجمله انتخاب اختیاری محل مرزهای شبکه ممکن است به خطاهای بزرگی در نتایج منجر گردد. برای کاهش هر چه بیشتر این خطاها از مدل المانهای نامحدود در مرزهای شبکه معرفی می گردد.این المانها به همراه المانهای محدود معمول ابزار نسبتاﹰً قوی و کار آمدی در تحلیل پهنه های نامحدود می باشند.لذا مدل پیششنهادی جدید به المانهای محدود-نامحدود موسوم است. در این مقاله به اختصار به جمع بندی و فرمول بندی المانهای نامحدود در دو بعد مسائل استاتیک و دینامیک اشاره شده و سپس بر اساس مدل پیشنهادی مثال های عددی در تحلیل مسائل استاتیک ودینامیک ارائه می شود. نتایج به دست آمده با روش اجزاﺀ محدود معمولی مقایسه می گردند. نشان داده میشود که این تکنیک از کارائی خوبی برای تحلیل مسائل در ﮊئوتکنیک برخوردار است.
کلید واﮊه ها: المان محدود، نامحدود، استاتیک، دینامیک، ﮊئوتکنیک.
١-مقدمه
در تحلیل اجزاﺀ محدود برای مسائل ﮊئوتکنیک اغلب لازم است که دامنه های گسترده تا بیکران از محیط خاک و یا سنگ را به صورت بینهایت تعریف نمود. یکی از راههای تحلیل چنین مسائلی استفاده از شبکه ها اجزاﺀ محدود بسیار گسترده ای است که در آن برای حصول به دقت کافی در محاسبات، تعداد اجزاﺀ محدود به حد کافی زیاد انتخاب شده به نحوی که این شبکه فواصلی به حد کافی دور از ناحیه بارگذاری را مدل نمایدومرزهای این شبکه نیز تاثیری در نتایج نداشته باشد. انتخاب اختیاری مرزهای شبکه ممکن است منجر به خطاهای بزرگی در نتایج گردد. بنابراین محل مرزهای شبکه معمولابه صورت سعی و خطا به نحوی انتخاب می گردد که دقت قابل قبول و زمان مناسبی برای محاسبات بهمراه داشته باشد.
فرمول بندی اجزا نامحدود برای مسائل استاتیک ابتدا توسط [1]Unglessو [2] Bettes ارائه شد. افرادی چون [3] Curnier و[4] Beer&Meek این فرمول بندی را توسعه داده و محققان دیگری همانند [5] Lynn&Hadid فرمول بندی دیگری از این المانها را با توابع کاهشی را ارائه نمودند. [6] Selvadurai&Karpurapu فرمول بندی اجزاﺀ محدود مرکب - Composite - را برای تحلیل محیطهای اشباع و گسترده تا بی نهایت به کار بردند. تحقیقات دیگری نیز به وسیله [7] Honjo&Pokharelبرای ارائه فرمول بندی المانهای نا محدود پارامتریک انجام گرفته است .المانهای نامحدود برای تحلیل مسائل دینامیک توسط محققانی چون [8] Zhao &Valliappan در دهه هشتاد جهت تحلیل لرزه ای سازه های ﮊئوتکنیکی و نیز بررسی پخش و تفرق امواج P و SV در دامنه های نامحدود سنگ و خاک به کار رفت.
در سالهای اخیر نیز این المانها توسط محققینی چون[9] Taiebat و باقری پور و مرندی ]١٠-١١[ در تحلیل اندرکنش دینامیکی سازه و خاک در حوزه فرکانس و نیز برآورد پاسخ لرزه ای در فضاهای دوگانه فرکانس-زمان به کار رفته اند .اجزاﺀ نامحدود با حفظ تمام قابلیتهای شناخته شده برای اجزاﺀ معمول در کوچکتر نمودن شبکه اجزاﺀ محدود در نتیجه کاهش زمان ، هزینه، و حافظه لازم برای محاسبات کامپیوتری بسیار موُثر می باشند علاوه بر این اجزاﺀ نامحدود دارای این مزیت عمده نیز هستند که روند انتگرال عددی و نیز روند نواری نمودن ماتریس سختی را برای کل سیستم دستخوش تغییر نمی نمایند و لذا این مسئله باعث می شود که بتوان اجزاﺀ نامحدود را براحتی با اجزاﺀ معمولی ترکیب یا اصطلاحا کوپل نمود .
٢-فرمول بندی المانهای نا محدود
توابع متفاوت با المانهای محدود معمولی را بایستی برای المانهای نامحدود بکار برد تا نگاشت مختصات را تعریف و متغیر میدان را درونیابی نمود. علت امر اینست که دامنه محدود مرزی بایستی به وسیله تصویر کردن مختصات تعریف گردد در حالیکه متغیر میدان - نظیر جابجائی و یاارتفاع آبی - در همین دامنه های نا محدود خود محدود بوده و نتیجتا می تواند به وسیله توابع معمول درونیابی تعریف گردد. به عبارت دیگر تنها اختلاف بین المانهای محدود معمولی و المانهای نا محدود در توابع شکل یا توابع نگاشت می باشد. مسئله مهم دیگر در تشکیل المانهای نامحدود و استفاده از آنها به عنوان بخشی از یک نرم افزار اجزاﺀ محدود معمولی ، انتخاب یک مجموعه مناسب از توابع نگاشت مختصات و توابع درونیابی است به نحوی که به آسانی با توابع درونبابی و روند انتگرالگیری عددی در المانهای محدود معمولی و مخصوصا در وجوه مشترک المانها قابل انطباق باشند.
٣- المانهای نامحدود استاتیک
برای مسائل استاتیک شرایط مرزی در بی نهایت باید به صورت دقیق و به فرم زیر ارضاﺀ گردد:که در آنr={x2+y2}1/2 و U={u,v} به ترتیب شعاع و بردار جابجائی و {σ}={σx,σy,τxy} بردار تننش درمسائل دوبعدی - - 2D ونیزمشابها r={x2+y2+z2}1/2 و {U}={u,v,w}و {σ}={σx,σy, ,σz ,τxy,τxz ,τzy} درمسائل - 3D - معرفی میگردند.اساسا دو نوع فرمول بندی برای اجزاﺀ نا محدود موسوم به نگاشته - Mapped - یاتصویر شده در گذشته مورد استفاده قرار گرفته است . در روش اول که موسوم به روش مستقیم یا بعضا فرو-جابجائی - - displacement-descent می باشد مختصات ذاتی دامنه در جهت مورد نظر به بینهایت سوق داده می شود و این در حالیست که توابع نگاشت استاندارد در این پروسه به خوبی مورد استفاده قرار می گیرند. متغیرهای میدان - جابجائی، ارتفاع آبی - … بر حسب توابع میان یابی نزولی بیان می گردند.
این توابع به صورت مجانب در بی نهایت به صفر میل می کنند . لذا برای این دسته از المانها از توابع موسوم به توابع زوال - - Decay Function به فرم نمائی e-βξ در مختصات طبیعی المان معرفی میشود که در آن β فاکتور کاهش نام دارد. در روش دوم موسوم به روش معکوس یا فرا -مختصات موسوم است مختصات ذاتی طبق معمول ١+ یا ١- در صفحه اصلی تعریف شده در حالیکه توابع نگاشت هنگامی که یکی از مختصات ذاتی به ١+ میل نماید به صورتی تعریف می شوند که هندسه به بی نهایت میل نماید. بنابر این در اینگونه المانهای نا محدود تابع زوال - جابجائی - به صورت 1/ξ در مختصات طبیعی المان تعریف شده که این همان تابع موسوم به تابع متقابل یا معکوس است. برای المان هشت گرهی معمولی نشان داده شده در شکل ١-الف توابع درونیابی به صورت زیر تعریف میشوند:
