بخشی از مقاله
چکیده
مطالعه عددي ترك و ناپیوستگی با استفاده از روشهاي بدون المان در سالهاي اخیر رواج گستردهاي یافته است. در این تحقیق از روش محلی بدون المان پتروف- گالرکین 1 - MLPG - که یکی از روشهاي نوین بدون المان میباشد، در حل مسئله محور تركدار تحت بارگذاري پیچشی استفاده شده است. محدوده مسئله بوسیله یک سري نقاط گرهی پراکنده، گسستهسازي میشود. براي تشکیل توابع شکل با استفاده از این نقاط گرهی، درونیاب حداقل مربعات متحرك - 2 - MLS به کار میرود. جوابهاي بدست آمده از روش بدون المان با جواب روش اجزاء محدود مقایسه گردیده است. در آخر عمر محور محاسبه میگردد، که نتیجه آن دقت خوب این روش بدون المان را نشان میدهد.
-1 مقدمه
با وجود موفقیتهاي چشمگیر روش المان محدود در حل مسائل مکانیک در حوزههاي مختلف، نقاط ضعف آن بویژه در بعضی حوزهها باعث شده است که روشهاي بدون المان در سالهاي اخیر مورد توجه قرار بگیرد. مکانیک شکست یکی از شاخههایی است که محققین امیدوارند با کمک روشهاي بدون المان، راندمان حل را بالا ببرند. یکی از مسائلی که همواره در زندگی صنعتی انسان نقش فراوانی داشته است و امروزه نقش آن مهمتر از گذشته شده است مسئله شکست مصالح میباشد.
جهت جلوگیري از شکستهاي ناگهانی و خرابیهاي خطرناك در سازه ها داشتن شناخت و آگاهی در زمینه مکانیک شکست مواد ضروري به نظر میرسد. از آنجایی که مصالح ساخته شده به دست بشر همواره داراي نقایص ساخت، مانند وجود ریز حفرهها و تركهاي مویی در مواد میباشند، تحلیل میدانهاي تنش و تغییر مکان در نوك ترك از اهمیت به سزایی برخوردار میباشد. حل مسائل مربوط به ترك در مسیرهاي دلخواه و پیچیده با استفاده از روشهاي تحلیلی قابل انجام نمیباشد، و براي بیشتر مسائل با شرایط عمومیتر باید به روشهاي حل عددي مراجعه نمود.
از روشهاي عددي که در سالهاي اخیر رواج یافته است، میتوان به روشهاي بدون المان اشاره کرد. عدم نیاز به مشبندي دامنه ي محاسباتی خصوصیت اصلی این روشها میباشد. حل مسئله در روشهاي بدون المان مبتنی بر شبکه اي از نقاط گرهاي است که با توزیع دلخواه در سطح دامنه پراکنده شدهاند و هیچگونه پیوستگی بین نقاط وجود ندارد. این روشها در برابر حذف و یا اضافه کردن نقاط به دامنه بسیار انعطاف پذیرند، و از آنجایی که نسبت به روشهاي عددي المان پایه نیازي به تعریف المان ندارند در حل مسئله انتشارترك، شکست و تغییرشکلهاي بزرگ با مشکلات کمتري مواجه هستند ریشه اصلی روشهاي بدون المان به سالهاي 1970 میرسد.
در آن زمان لوسی [1] روش هیدرودینامیک جزیی هموار - 3 - SPH را به طور هم زمان با جینگولد و مناقان [2] ارائه نمود. بلیستچکو و همکارانش [3] بر پایه این روش مقاله اي را منتشر نمودند که در آن تقریب MLS در شکل ضعیف گالرکین4 براي حل مسائل مکانیک جامدات به کار گرفته شد. آنها این روش را روش گالرکین بدون المان - 5 - EFGM نام نهادند و این روش هنوز نیز پرکاربردترین روش در میان روشهاي بدون المان است. لیو و همکارانش [4]، روش ذره کرنل مولد6 را به عنوان اصلاح و بهبودي بر روشهاي SPH و EFGM ارائه نمودند که در آن از توابع موج ضربه اي7 استفاده شده بود. اناته و همکارانش [5]، روش نقطه محدود8 را پیشنهاد دادند. این روش، روشی ذره- پایه است که از یک شبکه زمینه به عنوان بستر براي محاسبات استفاده مینماید.
روش بدون شبکه محلی پتروف-گالرکین توسط آتلوري و ژو [6] در سال 1998 ابداع گردید و بعدها توسط محققین بسیاري بهبود و توسعه یافت. این روش به دلیل این که مطلقا" از هیچ نوع المانی چه به صورت آشکار و چه به صورت پنهان استفاده نمیکند، در بین روشهاي دیگر از جایگاه ویژهاي برخوردار است. در این روش، همانند روش المان محدود، براي بدست آوردن میدانها در محدوده بین گرهها از یک تابع تقریب استفاده میشود.
به این منظور از تعدادي توابع پایه براي تخمین میدان در بین گرهها، بر اساس مقادیر دقیق گرهها، کمک گرفته میشود تا در نهایت تابع شکل تولید گردد. براي تولید توابع شکل، از روش حداقل مربعات متحرك - MLS - استفاده میگردد. پس از تولید توابع شکل، در فرآیندي مشابه روش المان محدود، معادله دیفرانسیل مربوطه در کل دامنه مسئله حل میشود در این مقاله ابتدا روش محلی بدون المان پتروف- گالرکین و روش حداقل مربعات متحرك به طور خلاصه معرفی میگردد.
در ادامه به توضیح مختصري در رابطه با معیار مشاهدهاي جهت اعمال ناپیوستگی نظیر ترك پرداخته میشود و در نهایت، از این روش براي تحلیل محور تركدار تحت بار گذاري پیچشی در حالت الاستیک و در مود III شکست، استفاده ونتایج با روش المان محدود مقایسه شده است.دو نوع شرط مرزي در هر مسئلهي تحلیل تنشی می توان متصور شد: شرایط مرزي اصلی - جابجایی - و شرایط مرزي طبیعی. در شرایط مرزي طبیعی، سطوح مرزي تحت نیرو یا تنش خارجی قرار دارند ولی در شرایط مرزي اصلی، قیود اعمالی از نوع جابجایی هستند.
-3گسسته سازي عددي
عملیات گسستهسازي در محدوده مورد بررسی در مسئله - که در اینجا یک محور ترك دار میباشد - به وسیله گرههایی که بر روي تمام نواحی توزیع میگردد، انجام میشود. متغیرهاي گرهی در واقع جابجاییهاي سه مولفهاي در دستگاه مختصات استوانه اي با محورهاي r، θ و z هستند. محورهاي r و θ بر روي مرکز استوانه قرار میگیرند و محور z در راستاي طول استوانه میباشد. با استفاده از روش حداقل مربعات متحرك MLS، توابع سعی براي مقادیر جابجایی در هر نقطه تقریب زده میشوند. این روش بطور مکرر در روشهاي بدون المان براي تقریب توابع مجهول بکار میرود، واساس کاربرد آن دستیابی به تقریبهاي کاملا پیوسته میباشد. تقریب حداقل مربعات متحرك براي کلیه نقاطی که تعیین مقدار مجهول در آن با درون یابی مدنظر است بکار گرفته میشود.
تا به حال توابع وزنی مختلفی ارائه گردیده است که از آن جمله میتوان به توابع نمایی، کثیرالجمله چند قطعه اي9 و توابع منطقی10 اشاره نمود. انتخاب نوع تابع وزنی تا حدودي به دلخواه میباشد و دلیل ریاضی محکمی براي قضاوت در مورد برتري یک تابع بر توابع دیگر وجود ندارد. براي مقایسه کارآیی توابع وزنی مختلف در نرخ همگرایی، مطالعات مختلفی انجام گردیده است .[11,3] نتایج این تحقیقات نشان میدهد، که یک نوع تابع نسبت به دیگر توابع در بعضی مسائل داراي کارآیی بهتري است. طبیعی است انجام تحقیقات بیشتر در این زمینه ضروري میباشد.
-4 اعمال ناپیوستگی در روش بدون المان
روشهاي متعددي براي ایجاد ناپیوستگی میدان جابجایی در طول ترك ابداع شده است. بعضی از این روشها عبارتند از: روش مشاهده اي11 ، روش انکسار 12 ، روش فرانمایی13 در این تحقیق براي اعمال ناپیوستگیها - یا به عبارتی تصحیح تابع شکل به دلیل وجود ترك - در مسئله، از روش مشاهدهاي که یکی از سادهترین و کارآترین روشهاي ایجاد ناپیوستگی در تقریبهاي بدون المان است، استفاده میشود. در این روش ناحیه تأثیر یک گره به عنوان میدان دید در نظر گرفته میشود و تمامی مرزها چه داخلی - مانند ترك - و چه خارجی به عنوان سطح مات و غیرشفاف طوري در نظر گرفته میشود که میدان دید به محض مواجهه با چنین مرزي منقطع میگردد و هر نقطهاي که از گره داده شده، قابل دید نباشد، از برآورد تغییر مکان مربوط به آن گره حذف میشود. این مسئله در شکل 3 براي نقاط I و P نشان داده شده است.
-5نتایج شبیه سازي روش بدون المان
وضعیت اولیه و همچنین شکل هندسی ترك بسته به شکل قطعه و نوع بارگذاري میتواند متفاوت باشد که در اغلب موارد به ویژه در میلههاي استوانه اي، تركها در سطح قطعه تشکیل و از آنجا شروع به رشد میکنند. نقاطی که داراي تمرکز تنش هستند، مستعد تشکیل ترك میباشند. در تحقیق حاضر فرض میشود که میله استوانه اي مورد بررسی داراي ترك اولیه در وسط، و صفحه حاوي ترك عمود بر محور استوانه میباشد.
