بخشی از مقاله
چکیده
مطالعه عددي ترك و ناپیوستگی با استفاده از روش هاي بدون المان در سالهاي اخیر رواج گسترده اي یافته است. در این مقاله کارآیی روش بدون المان حداقل مربعات گسسته که یکی از روش هاي نوین بدون المان می باشد، در حل مسئله ترك بررسی شده است. در این روش محدوده مسئله بوسیله یک سري نقاط گرهی پراکنده گسسته سازي می شود. این نقاط گرهی براي تشکیل توابع شکل با استفاده از درونیاب حداقل مربعات متحرك به کار می روند. همچنین براي ایجاد ناپیوستگی میدان جابجایی در طول ترك از معیار مشاهده اي، که یکی ازساده ترین وکاراترین روش هاي ایجاد ناپیوستگی در تقریب هاي بدون المان است استفاده می شود. براي بررسی قابلیتهاي این روش، جواب هاي بدست آمده با یک جواب کم خطا مقایسه شده است و نتایج حاصل، دقت خوب این روش بدون المان را نشان می دهد.
۱- مقدمه
با وجود موفقیت هاي چشمگیر روش المان محدود در حل مسائل مکانیک در حوزه هاي مختلف، نقاط ضعف آن بویژه در بعضی حوزه ها باعث شده است که روش هاي بدون المان در سالهاي اخیر مورد توجه قرار بگیرد . مکانیک شکست یکی از حوزه هایی است که محققین امیدوارند با کمک روش هاي بدون المان، راندمان حل را بالا ببرند. یکی از مسائلی که همواره در زندگی صنعتی انسان نقش فراوانی داشته است و امروزه نقش آن مهمتر از گذشته شده است مسئله شکست مصالح می باشد.
جهت جلوگیري از شکست هاي ناگهانی و خرابی هاي خطرناك در سازه ها داشتن شناخت و آگاهی در زمینه مکانیک شکست مواد ضروري به نظر می رسد و از آنجایی که مصالح ساخته شده به دست بشر همواره داراي نقایص ساخت، مانند وجود ریز حفره ها و ترك هاي مویی در مواد می باشند همواره تحلیل میدان هاي تنش و تغییر مکان در نوك ترك از اهمیت به سزایی برخوردار می باشد.
حل مسائل مربوط به ترك در مسیرهاي دلخواه و پیچیده با استفاده از روش اجزاء محدود به سختی انجام می شود چون در این روش معمولا مرز بین المانها یک مسیر پیش فرض براي توسعه ترك به شمار می رود و براي اینکه مرز بین المانها بر مسیر حقیقی ترك منطبق گردد، باید مساله مرحله به مرحله انجام شود و در هر مرحله شبکه المانها مجددا تولید شود. در مقابل، حل مسئله در روش هاي بدون المان مبتنی بر شبکه اي از نقاط گره اي است که با توزیع دلخواه در سطح دامنه پراکنده شده اند، هیچ گونه پیوستگی بین نقاط وجود ندارد بنابراین نیاز به تعریف روابط بین نقاط قبل از حل مسئله نمی باشد. این روش ها در برابر حذف و یا اضافه کردن نقاط به دامنه بسیار انعطاف پذیرند و چون نیازي به تعریف المان ندارند در حل مسئله انتشارترك، شکست و تغییرشکل هاي بزرگ با مشکلات کمتري مواجه هستند.
این مزایا باعث شده است که روش هاي بدون المان توسعه قابل توجهی پیدا کنند و به عنوان نسل جدیدي از روش هاي عددي مورد توجه محققین قرار بگیرند. در سالهاي اخیر روش هاي بدون المان زیادي ابداع شده است که می توان به روش هیدرودینامیک ذره هموار [1] - SPH - ، روش گالرکین بدون جزء [2] - EFGM - ، روش ذره کرنل باز تولید کننده [3] - RKPM - ، روش نقطه محدود - [4] - FP، روش ابرهاي [5] HP، روش پتروف-گالرکین موضعی بدون المان [6] - MLPG - ، روش معادله انتگرالی مرزي محلی - [7] - LBIE، روش ابرهاي محدود[8] اشاره کرد.
روش بدون المان حداقل مربعات گسسته - DLSM - 1 که در این تحقیق مورد بررسی قرار گرفته است، روشی جدید بر مبناي حداقل مربعات متحرك - - MLS می باشد که توسط ارزانی و افشار[9] ارائه گردیده است. از مزایاي این روش می توان به دقت بالا، سادگی، هزینه محاسباتی پایین، متقارن بودن ماتریس ضرائب و عدم نیاز به انتگرال گیري اشاره کرد. این روش تاکنون براي حل مسائلی با حوزه فیزیکی پیوسته از قبیل پواسون [9]، تراوش [10]، تظریف تطبیقی براي مسائل هذلولی در حالت یک بعدي[11]، حل مسائل مکانیک جامدات [12] و تحلیل مسائل کشسانی صفحه اي با فرمول بندي مختلط [13] ارائه شده و کارایی آن به اثبات رسیده است.
در این تحقیق از قابلیت هاي این روش بدون المان براي مدل کردن ترك و تحلیل میدان هاي تنش در مسائل الاستیسیته دو بعدي استفاده می گردد. همچنین براي ایجاد ناپیوستگی میدان جابجایی در طول ترك، از معیار مشاهده اي[14]، که یکی از ساده ترین وکاراترین روش هاي ایجاد ناپیوستگی در تقریب هاي بدون المان است استفاده شده است. در این مقاله ابتدا روش حداقل مربعات متحرك و روش بدون المان حداقل مربعات گسسته به طور خلاصه معرفی می گردد. در ادامه به توضیح مختصري در رابطه با معیار مشاهده اي جهت اعمال ناپیوستگی نظیر ترك و مد هاي مختلف ترك پرداخته می شود و در نهایت، از این روش براي تحلیل یک صفحه شامل ترك لبه اي در حالت الاستیک و در مود І شکست، استفاده شده و جواب هاي بدست آمده با یک جواب کم خطا مقایسه شده است.
