بخشی از مقاله
چكيده
در اين مقاله راه حلي براي تصحيح دامنه در مساله تصويربرداري لرزه اي ارائه ميدهيم. در اين پژوهش، روش مقياسقطري را براي تقريب زدن عملگر نرمال در حوزه كرولت بدست ميآوريم. اين روش بر مبناي اين واقعيت است كه كرولتها تحت اعمال عملگر نرمال تقريبا ثابت ميمانند. ما از كرولتها به عنوان ابزار اصلي هم در تقريب زدن و هم در معكوس سازي استفاده مي-كنيم.
روش ما رزولوشن خوبي در بازتاب دهنده هاي شيبهاي متداخل ايجاد كرده و همچنين، دامنه هاي صحيح بازتاب دهنده ها را بازسازي ميكند. روش ما همچنين وضوح و روشنايي را در تصاوير لرزه اي افزايش ميدهد. اين روش با كد معادله موج مهاجرت زماني معكوس كه به شبيه سازي معادله موج آكوستيك در مدل هاي مصنوعي مختلف ميپردازد نيز تست شده است.
١ - مقدمه
مهاجرت مي تواند با دقت زيادي بازتاب كننده ها را در سطح زمين تعيين مكان بنمايد، اما در بيشتر موارد نميتواند دامنه ها را بدرستي بدست بدهد.كه اين امر منجر به برداشت و تفسيري غلط از ماهيت بازتاب دهنده ها مي شود.
براي حل مساله دامنه صحيح مهاجرت روشهاي بسياري تاكنون مطرح شده است. در اين مقاله روشي را معرفي ميكنيم كه دامنه بازتاب كننده لرزه اي را به دقت بازيابي مينمايد.اين روش به يك بازسازي مبتني بر تبديل متكي است كه تصاوير لرزه ايي با تبديل كرولت هاي جديد رابكار ميبرد.عناصر اين تبديل كرولت ها ميباشند كه چند بعدي، چند مقياسي و چند جهتي هستند و تحت عملگر تصويربرداي ثابت ميمانند. اين مقاله به سه بخش عمده تقسيم ميشود:
١. در ابتدا براي محاسبه ضرايب حوزه كرولت - هرمن و همكاران،٢٠٠٨ - از جايگزاري فرمولاسيون حداقل مربعات با يك فرمولاسيون غير خطي استفاده ميكنيم كه عملگر نرمال متقارن و مثبت و قطعي را با اعمال مثبتگرايي روي ضرايب مقياس، محاسبه ميكند.
٢. اين روش را براي تصحيح دامنه هاي تصاويري كه حاوي نويزهاي مهاجرت - كه بخاطر كم بودن تعداد شات ها ايجاد شده اند - و نويز هاي داخل داده ها هستند، استفاده ميكنيم.
٣. دو روش افزايش پراكندگي در بازسازي يعني روش تصحيح آستانه گذاري نرم ويك روش حل پراكندگي مقياس بزرگ، را باهم مقايسه ميكنيم. روش ما با كد معادله موج مهاجرتي معكوس زماني تست شده است كه اين كد معادله موج آكوستيك را روي مدل هاي ساختگي مختلف شبيه سازي مينمايد.
٢ - روش تحقيق
با فرض اينكه ما تنها داده هاي اوليه را داريم - براي مثال فرض ميشود كه تمام ضرايب داخلي و ضرايب مرتبط با سطح قبل از مهاجرت حذف شده اند. - داده ها را ميتوان به صورت زير بيان نمود:
كه در آن dداده و K عملگر پراكندگي خطي بورن ميباشد. - نام ديگر آن عملگرمعكوس مهاجرت است - . m اختلال در مدل سرعتي است. nنويز گاووسي صفرمحور ميباشد. به لحاظ تئوري، مهاجرت عملگر الحاقي براي عملگر پراكندگي است. پس از اعمال مهاجرت به داده ها، تصوير را بدست ميآوريم.
در اينجا mmig داده مهاجرت يافته ميباشد. K T عملگر پراكندگي ميباشدو نيز عملگر نرمال است كه به صورت K T K تعريف ميشود. در معادله بالا براي بدست آوردن m بايد عملگر نرمال را معكوس نماييم. براي حل معادله فوق از عملگر نرمال را به وسيله فيلتر تطبيقي در حوزه كرولت محاسبه مينماييم.
در اينجا mmig تصوير مهاجرت يافته ميباشدو mremig تصوير مجددا مهاجرت يافته است. - mremig KT Kmmig - و K عملگر معكوس مهاجرت است و KT عملگر مهاجرت ميباشد.محاسبات شامل انتقال تصويري كه مجددا مهاجرت يافته است كه با مقياس گذاري يك ماتريس قطري مثبت W وتبديل معكوس آن به حوزه ي فيزيكي به وسيله شبه معكوس سازي - C كه با نما C T نشان داده ميشود - . در ادامه، را كه يك كرولت دو بعدي است را معرفي ميكنيم. ازآنجاكه تاثير عملگر نرمال روي يك كرولت مشابه ضرب آن با يك اسكالر مثبت است.ميتوان تقريب زيررا نوشت:
در رابطه - ٦ - ، d يك ضريب اسكالر مثبت و وابسته به انديس M ميباشد. M مجموعه انديسها ميباشد..معادله - ٦ - نشان ميدهدكه كرولت ها شبيه ويژه بردار هاي عملگر نرمال هستند. بنابراين ما تجزيه ويژه مقدار گاوسي عملگر نرمال را همرا با كرولتها به عنوان ويژه بردارهاي گاوسي پيشنهاد ميكنيم.
Cو C Tتبديل كرولت و الحاقي آن ميباشند. D ماتريس قطري مقياس گذاري است با مولفه هايي از . d از آنجاييكه كه كرولتها قاب تنگ هستند پس رابطه C T C I صدق ميكند. و درمقادير نزديك به واحد نيز تقريب مشابهي براي معكوس عملگر نرمال صدق ميكند.
با مقايسه رابطه فوق با رابطه - ٤ - خواهيم داشت. همچنين، درمقاله هرمن و همكاران سال ٢٠٠٨ براي عملگر نرمال با مهاجرت دادن دوباره تصوير مهاجرت يافته تقريبي را محاسبه نموديم در نتيجه يك تقريب قطري براي عملگر نرمال با استفاده از اين جفت تصاوير مييابيم:
در اينجا v Cmremigو w نشانگر مولفه هاي قطريWميباشد. معادله - ١٠ - بدنبال يافتن بردارمقياس قطريدرحوزه كرولت ميباشد.براي يافتن يك پاسخ يكتا براي اين مساله از خصوصيات ديگر عملگر نرمال استفاده مينماييم:
١.ملگرنرمالع اكيداً مثبت است، كه اين امر منجر ميشود به وروديهاي مثبت در بردارمقياس سازي.w
٢. عملگرنرمال بيضوي شبه ديفرانسيل ميباشد و زماني معكوس پذيراست كه شاخصهاي اين عملگر در دو فضاي فوريه و فيزيكي، زمانيكه مدل سرعتي زمينه هموار شده است، نيزهموار شده باشند.
با استفاده ازين دو ويژگي تقريب قطري را براساس مسئله حداقل مربعات غيرخطي، محاسبه مينماييم. كه اين امر منجر مي-شود به مثبت بودن ورودي هاي قطري و هموار بودن درميان ضرايب مجاوركرولت درحوزه فضا و زاويه. اين فرضيه مثبت بودن در مبحث تصويربرداري جديد ميباشد.در اينجا قطري به صورت زير تقريب زده ميشود:
در معادله فوق هموارسازي فضا-فاز توسط مينيمايز كردن l2 كه نرم ضرايب ميباشد پس از اعمال عملگر تقويت كننده، L=[Dx Dz D ]، افزايش مييابد.
ماتريسهاي Dx ,z شامل ديفرانسيلهاي مرتبه اول درهر مقياس هستند كه در جهتهايx وz ميباشند و D ديفرانسيل مرتبه اول در جهت ميباشد. k پارامتر هموارسازي است كه، هموار بودن مقياس را در مقابل داده هاي نامناسب كنترل مينمايد.. معادله - ١١ - يك معادله محدب است كه به وسيله يك روش عددي بزرگنمايي مناسب قابل مينيمايز شدن ميباشد. كه اينجا ما از حاغظه محدود BFGS استفاده كرده ايم. - نوسيدال و رايت، ١٩٩٩ - . درنهايت، براي بازيابي دامنه ها پس از تقريب زدن معكوس عملگر نرمال، تصوير اصلي را با استفاده از معادلات زير بدست ميآوريم،
γ آستانه نرم ميباشد كه مقدار آن است.مقدار آستانه به طور تجربي از طريق آزمون و خطا به دست مي آيد.
مثال ها وضعيت فاقد نويز: از آنجا كه حذف نويز مهاجرت بسيار مورد توجه ما ميباشدآزمايش تصويربرداريي را با تعداد كمي شات طراحي مينماييم. اين آزمايش نشان ميدهد كه روش ما در حذف نويز مهاجرت و در بازيابي دامنهها به چه ميزان خوب عمل ميكند. براي توليد داده هاي خطي بورن، مدل سرعتي شكل ا - الف - را مطابق شكل ١ - ب - هموار ميكنيم و ازتفاوت ميان سرعت هموار شده و اصلي، مطابق شكل ١ - ج - ، استفاده ميكنيم.
شكل ٢ تقريب ما از عملگر نرمال در مقياس حوزه كرولت نشان ميدهد. از بازتابهاي نشان داده شده در شكل ١ - ج - استفاده ميكنيم و عملگر پراكندگي را براي توليد داده هاي خطي بورن، اعمال ميكنيم. از مدل سرعتي هموار شده نشان داده شده در شكل ١ - ب - به عنوان سرعت زمينه براي عملگر پراكندگي استفاده مينماييم.
نتيجه تصحيح شده مهاجرت عمقي در شكل٢ - الف - نشان داده شده است. پس از مدلسازي مجدد و مهاجرت اين تصوير تصوير مجدداً مهاجرت داده شده در شكل٢ - ب - نشان داده شده است. اين دو تصوير به عنوان ورودي براي برآورد ضرايب مقياس كرولت بهكار ميرود. اعمال اين مقياس سازي حوزه كرولت به تصوير اصلي منجر به ايجاد تقريب خوبي از عملكرد عملگر نرمال ميشود كه درشكل٢ - ج - مشاهده ميكنيم. خطاي تقريبي نسبي دراينجا ٧١.٣٪ ميباشد.
شكل١. مدل سرعتي شيبهاي متضاد و بازتاب - الف - مدل سرعتي - ب - مدل سرعتي هموارسازي شده بكاررفته براي توليداين مثال. - ج - بازتاب توليد شده از تفريق مدل سرعتي هموارسازي شده از تصوير اصلي.
