بخشی از مقاله
خلاصه
نظریه پایداری لیاپانوف از مهترین ابزارهای شناخته شده در علم کنترل برای بررسی پایداری و کنترل سیستمهای غیر خطی می باشد. بر مبنای این نظریه با پیدا کردن تابعی - تابع لیپانوف - با ویژگی های خاص - شرایط پایداری لیاپانوف - که به نوعی بیانگر انرژی سیستم است می تواند در مورد پایداری یا ناپایداری آن قضاوت کرد. پیدا کردن تابع لیاپانوف بزرگترین چالش این تیوری می باشد. در این پژوهش روشی جدید جهت ایجاد توابع لیاپانوف و تعیین دامنه جذب سیستم به توسط الگوریتم تکاملی برنامه ریزی ژنتیکی ارائه شده است
.1 مقدمه
پایداری از مهمترین مشخصه های موجود در طراحی سیستم های کنترلی می باشد و یکی از چالش های پژوهشگران یافتن روشی مناسب یرای بررسی پایداری و پایدار سازی سیستم های دینامیکی است. [1] روش پایداری روث مکان هندسی ریشه ها و شرایط پایداری نایکوییست از جمله روشهای شناخته شده در آنالیز پایداری سیستمهای کنترلی خطی می باشند و معیار پایداری لیاپانوف را می توان از کاربردی ترین و فراگیرترین روشهای تحلیل پایداری در سیستمهای دینامیکی غیرخطی نام برد.
این روش برای اولین بار در سال 1892 توسط ریاضیدان روسی الکساندر میخاییلویچ لیاپانوف [2]مطرح شد که در آن شروط لازم برای پایداری سیستمهای دینامیکی غیرخطی بیان شد. در این روش باپیدا کردن تابع لیاپانوف می توان به پایداری سیستم در همسایگی نقطه تعادل پی برد. تابع لیاپانوف تابعی اسکالر با چند ویژگی خاص است که به نوعی بیانگر انرژی کل سیستم می باشد [3] و یکی از کاربردهای اصلی آن محاسبه دامنه جذب سیستم حول نقطه تعادل است. دامنه جذب ناحیه ای در همسایگی نقطه تعادل است که اگر نقطه آغازین سیستم در این ناحیه قرار گیرد سیستم با گذر زمان در نقطه تعادل نشست خواهد نمود.
با توجه به اهمیت ناحیه جذب در سیستم های غیرخطی و کاربردهای آن تحقیقات زیادی برای محاسبه دقیق آن انجام گرفته است.[4] به طور کلی این روش ها را میتوان به دو دسته تقسیم بندی کرد.[5] دسته اول روش هایی که بر پایه نظریه لیاپانوف نمی باشند[6][7] و دسته دوم که مبنای اصلی آنها معیار پایداری لیاپانوف است..[8]-[11] یکی از بزرگترین مشکلات این نظریه, نبود روشی خاص برای تعیین تابع لیاپانف مناسب برای تحلیل پایداری و شناسایی دامنه جذب است.
روش های حل و الگوریتم های گوناگونی حل این مساله پیشنهاد شده است که بسیاری از این روش ها در[12] مرور شده اند و از نمونه های آن می توان به استفاده از جستجوی ممنوعه تطبیقی , [13] شبکه عصبی[14][15] و روش های محاسباتی تکاملی [16], [17] اشاره کرد. در این مقاله یک مساله بهینه سازی برای پیدا کردن دامنه جذب سیستم های کنترلی غیرخطی ارائه می شود که هدف اصلی آن گسترش دامنه جذب در هر تکرار می باشد و تابع هزینه بر مبنای معیار پایداری لیاپانوف تعریف شده و توابع لیاپانف با استفاده از روش برنامه ریزی ژنتیکی که زیرمجموعه ای از الگوریتم های تکاملی است تولید می شوند.
.2 نظریه پایداری لیاپانوف
به عبارت دیگر, در حالت پایدار سیستم در یک شعاع همسایگی از نقطه ی تعادل قرار می گیرد اگر نقطه ی آغاز به اندازه کافی به نقطه ی تعادل نزدیک باشد. در غیر این صورت نقطه ی ناپایدار است. حال اگر شعاع همسایگی حول نقطه تعادل پایدار ئ وجود داشته باشد به صورتی که تمام مسیرهای که در این همسایگی آغاز شده باشند با گذر زمان به نقطه ختم شوند, نقطه ی پایدار مجانبی می باشد. تعادل مجانبی را می توتن به صورت زیر بیان کرد. طبق نظریه پایداری لیاپانوف نقطه تعادل x e پایدار مجانبی می باشد اگر در ناحیه ای شامل نقطه روابط زیر در آن برقرار باشد. D ناحیه ی مورد بررسی است که شامل نقطه تعادل می باشد.
بدیهی است که ناحیه بسته از C که شامل نقطه x e می باشد زیر مجموعه ای از دامنه تعادل سیستم می باشد زیرا اگر سیستم در آن ناحیه قرار گیر با توجه به این نکته که - - x V منفی می باشد نمی تواند از این ناحیه خارج شود و در نهایت به نقطه تعادل x e میل می کند. در واقع تابع لیاپانوف به نوعی بیانگر انرژی سیستم است. سیستم های پایدار در مسیری قرار میگیرند که انرژی آنها کاسته شود و در نقطه ای میل خواهند نمود که در آن انرژی نقطه برابر صفر می باشد
.3 بهینه سازی
الگوریتم های تکاملی یکی از قدرتمندترین و پرکاربردی ترین ابزارهای موجود در طراحی و بهینه سازی می باشند که بر اساس نظریه تکامل طبیعی در فضای جستجوی شروع به پیدا کردن جواب بهینه می کنند. این الگوریتم ها شامل چند مرحله اصلی می باشند. .1 تولید جمعیت اولیه .2تعیین برازندگی .3 انتخاب و اعمال عملگرهای تکاملی - تولید مثل و جهش - .4 انتخاب نسل بعد. الگوریتم ژنتیک از معروف ترین الگوریتم های تکاملی است که در سال توسط جان هالند معرفی شد که در آن ساختار هر جواب به صورت یک رشته یا کروموزوم بود. برنامه ریزی ژنتیکی به شکل امروزی در سال 1992 توسط جان کوزا معرفی شد که زیرمجموعه ای از الگوریتم های تکاملی می باشد. تفاوت اصلی این این الگوریتم در ساختار درختی جواب ها است که توانایی ایجاد یک برنامه یا تابع ریاضی را به طراح می دهد. شکل 1 نمونه ای از ساختار اعضای جمعیت در برنامه ریزی ژنتیکی و الگوریتم ژنتیکی را نشان می دهد. f تابع هزینه مساله می باشد و هدف اصلی آن بیشینه کردن ra که معیار مناسبی برای برازش توابع لیاپانوف می باشد. تابع هزینه براساس خواص تابع لیاپانوف پیشنهاد داده شده. استفاده از تابع نمایی اهمیت بیشتر ra و قید ق می باشد و عبارت vV 0 نقش تابع جریمه را ایفا می کند و با توجه به مرجع l کمترین مقدار تابع V در مرز ناحیه L در نظر گرفته شده است. در شکل 2 نواحی مشخص و تمامی پارامتر های تابع هزینه در جدول 1 تعریف شده اند.
