بخشی از مقاله
حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفۀ چند سطحی از طریق روش برنامه ریزی آرمانی
چکیده :
در این مقاله ، دو الگوریتم جدید برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه چند سطحی (ML – MOLP) از طریق روش برنامه ریزی فازی آرمانی (FGP) ارائه می شود . توابع عضویت برای آرمان های فازی معین همۀ توابع هدف در تمام سطوح ، در فرمول بندی مدل این مسئله به دست می آیند ؛ بنابراین همچنین توابع عضویت برای بردارهای آرمان های فازی متغیرهای تصمیم گیرنده ها در سطوح بالا کنترل می شوند . پس روش برنامه ریزی آرمانی فازی برای رسیدن به بالاترین درجه هر یک از آرمان های (اهداف) عضویت با به حداقل رساندن متغیرهای انحرافی ، استفاده می شود و در نتیجه رضایت بخش ترین جواب باری همه ی تصمیم گیران به دست می آید . اولین الگوریتم
پیشنهادی توابع عضویت را برای اهداف فازی معین توابع هدف در تمام سطوح و متغیرهای تصمیم گیری برای هر سطحی به جز سطح پایین تر مسئله ی چند سطحی گروه بندی می کند . الگوریتم پیشنهادی دوم به صورت الفبایی مسائل MOLP از مسئله ی ML – MOLP را با در نظر گرفتن تصمیمات مسائل MOLP برای سطوح بالاتر حل می کند . یک مثال عددی گویا برای نشان دادن این الگوریتم ها ارائه شده است .
واژه های کلیدی :
برنامه ریزی خطی چند هدفه – مسائل برنامه ریزی چند سطحی – برنامه ریزی ارمانی – برنامه ریزی فازی آرمانی
1- مقدمه :
مسئله ی برنامه ریزی ریاضی استاندارد شامل یافتن یک جواب بهینه تنها برای یک تصمیم گیرنده می باشد . با این وجود ، مسائل برنامه ریزی بسیاری شامل یک ساختار تصمیم گیری سلسله مراتبی ، هر یک با اهداف مستقل و اغلب متضاد می باشند . این نوع از اهداف را می توان با استفاده از روش برنامه ریزی ریاضی چند سطحی (MOLP) مدلسازی کرد . مفهوم اصلی روش MLMP این است که تصمیم گیرندۀ سطح اول (FLDM) هدف و/یا تصمیم خود را تعیین می کند ، و سپس از هر سطح فرعی سازمان حد مطلوب را ، که به تنهایی محاسبه شده ، مطالبه می کند .
سپس تصمیمات تصمیم گیران سطح پایین تر توسط FLDM با توجه به سود کلی برای سازمان ، ارائه و اصلاح می شود . این فرآیند تا رسیدن به یک جواب رضایت بخش ادامه می یابد . اغلب پیشرفت ها در مسائل MLP بر روی برنامه ریزی خطی دو سطحی به عنوان نوعی از MLP متمرکز می باشند [9-1] . برنامه ریزی غیر خطی دو سطحی در [6 و 5] مطالعه شد . در [7] یک الگوریتم تعاملی (interactive) برای برنامه ریزی چند هدفه دو سطحی ارائه می شود ، و با استفاده از مفهوم رضایت بخشی تشریح می شود . برنامه ریزی چند هدفه دو سطحی با چند تصمیم گیرنده
وابسته (مرتبط با هم) در [8] مورد بحث قرار می گیرد . برنامه ریزی سه سطحی (TLP) نوع دیگری از مسائل MLP می باشد که در آن سه تصمیم گیرنده ی مستقل (DM) وجود دارند [10 و 9] . هر (DM) (تصمیم گیرنده) سعی می کند تا تابع هدف خود را بهینه کند و تحت تاثیر اقدامات سایر تصمیم گیران قرار می گیرد . چند مسئله ی برنامه ریزی سه سطحی مانند :
1- الگوریتم جستجوی پیوندی نقطۀ اکسترم (حدی) [11 و 3]
2- مسئله ی آمیخته با اعداد صحیح همراه با کمک مکمل [9]
3- روش تابع جریمه [9 – 6] و
4- روش فضای متوازن [24 – 12]
همراه با روش های حل آنها مورد بررسی قرار گرفته و ارائه می شوند .
یک کتاب نامه از منابع مرتبط دربارۀ برنامه ریزی دو سطحی و چند سطحی هم در نمونه های خطی و هم در نمونه های غیر خطی را که هر شش ماه یکبار به روز می شود ، می توانید در [15] بیابید . استفاده از نظریه ی مجموعه های فازی [16] برای مسائل تصمیم گیری با چند هدف متضاد ابتدا توسط Zimmermann ارائه شد [17] بعد از آن انواع مختلفی از برنامه ریزی فازی [FP] مورد بررسی قرار گرفته اند و به طور گسترده در نوشته ها و کتاب ها منتشر شده اند [21- 18 ، 11 ، 9] . در
یک زمینۀ تصمیم گیری سلسه مراتبی ، پی برده اند که هر تصمیم گیرنده DM باید انگیزه ای برای همکاری با تصمیم گیرندۀ دیگر داشته باشد ، و یک سطح حداقل از رضایت DM در سطحی پایین تر باید برای منفعت کلی سازمان در نظر گرفته شود .
استفاده از مفهوم تابع عضویت نظریۀ مجموعه های فازی در مسائل برنامه ریزی چند سطحی برای تصمیمات رضایت بخش اولین بار توسط Lai سال 1996 ارائه شد . بعد از آن مفهوم جواب رضایت بخش Lai توسط Shih و سایرین بسط و توسعه یافت و یک روش جستجوی نظارتی با استفاده از
عملگر ماکزیمم – مینیمم Zadeh , Bellman پیشنهاد شد . Abo – Sinna روش فازی را برای مسئل برنامه ریزی چند سطحی Shih و سایرین [23] به منظور حل مسائل برنامه ریزی چند هدفه غیر خطی دو سطحی و سه سطحی توسعه داد . مفهوم اصلی این روش های برنامه ریزی فازی (FP) همان است که اشاره دارد بر اینکه هر تصمیم گیرندۀ سطح پایین تر با در نظر گرفتن یک هدف یا اولویت تصمیم گیرندگان سطح اول ، تابع هدف خود را بهینه می کند . در فرآیند تصمیم گیری ،
توابع عضویت اهداف فازی برای متغیرهای تصمیم گیری همه ی تصمیم گیران در نظر گرفته می شوند و یک مسئله ی FP با یک محدودیت در درجه ی کلی رضایت هر کدام از سطوح بالا حل می شود . اگر جواب پیشنهادی برای هر یک از سطوح بالاتر رضایت بخش نباشد ، جستجوی جواب با تعریف مجدد توابع عضویت استخراج شده ادامه می یابد تا اینکه به یک جواب رضایت بخش برسند
. مشکل اصلی که در رابطه با روش برنامه ریزی فازی Shih و سایرین به وجود می آید ، این است که احتمال رد جواب به کرات از سوی FLDM (تصمیم گیرندۀ سطح اول) وجود دارد و در جائیکه اهداف تصمیم گیران بسیار متناقض می باشد برای رسیدن به تصمیم رضایت بخش ، ارزیابی مجدد مسئله بارها نیاز می شود . حتی ممکن است بین آرمان های فازی اهداف و متغیرهای تصمیم گیری ناسازگاری رخ دهد . این اتفاق ، فرآیند جواب را یک فرآیند طولانی و خسته کننده می سازد . روش برنامه ریزی آرمانی فازی که توسط Mohamed ارائه شد - برای توزیع مناسب قدرت های تصمیم گیری DMS ها برای اینکه موفق به گرفتن یک تصمیم رضایت بخش به سود سازمان شوند – برای غلبه بر وضعیت نامطلوب بالا توسعه یافت . روش برنامه ریزی فازی آرمانی Mohamed برای حل مسائل برنامه ریزی خطی کسری چند هدفه در [20] ، مسائل برنامه ریزی دو سطحی در
[19] ، مسائل برنامه ریزی کوادراتیک دو سطحی در [25] بسط و گسترش پیدا کرد . در [26] ، روش FGP وی برای مسائل برنامه ریزی چند سطحی با یک تابع هدف در هر سطح ، بیشتر توسعه پیدا می کند . در این مقاله ، روش FGP که توسط Mohamed ارائه شده است برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه چند سطحی (ML – MOLP) استفاده می شود . دو روش FGP برای مسائل ML – MOLP ، در این مقاله ارائه می شود . برای فرمول بندی کردن هر یک از این دو مدل
FGP پیشنهادی مسئله ی TL – MOLP ، آرمان های فازی اهداف با یافتن جواب های بهینه منفرد ، تعیین (مشخص) می شوند . آنها سپس توسط توابع عضویت متناظر ، مشخص می شوند . این توابع از طریق نشان دادن متغیرهای بالایی و پایینی و تخصیص بالاترین مقدار عضویت (واحد) به عنوان سطح انتظار هر یک از آنها به اهداف عضویت فازی انعطاف پذیر تبدیل می شوند . برای استخراج توابع عضویت بردارهای تصمیم گیری که توسط تصمیم گیرندۀ هر سطح کنترل می شوند ، جواب بهینۀ مسئلهMOLP متناظر به طور مجزا تعیین می شود . یک تنشزدایی از تصمیمات برای جلوگیری از بن بست تصمیم گیری در نظر گرفته می شود . روش FGP پیشنهادی اول تعمیمی از اثر Pal وسایرین [19] ، و Pramanik و Roy [26] بوجود می آورد .
Pal و سایرین به مسائل برنامه ریزی خطی یک هدفه دو سطحی می پردازند ، و Pramanik و Roy [26]یک روش FGP را برای مسائل برنامه ریزی چند سطحی با تنها یک هدف خطی در هر سطح پیشنهاد می کنند . مدل نهایی فازی Pramanik , Roy متغیرهای تصمیم گیری در همۀ سطوح را که به طور مجزا برای هر سطح پایین مسئله ی چند سطحی ارزیابی می سوند و نیز توابع عضویت را برای آرمان های فازی تعریف شده ی توابع هدف گروه بندی می کند . روش پیشنهادی دوم
ممکن است به عنوان روش الفبایی برای حل مسائل برنامه ریزی چند هدفه تعبیر شود . اولاً ، این روش مدل FGP مسئله سطح اول را فرمول بندی می کند تا یک جواب رضایت بخش برای مسئله ی FLDM به دست آورد . یک تنشزدایی از تصمیمات FLDM برای جلوگیری از بن بست در تصمیم گیری در نظر می گیرد .این تصمیمات FLDM توسط توابع عضویت نظریه ی مجموعه فازی مدلسازی می شوند و به عنوان محدودیت های بیشتر به تصمیم گیرندۀ سطح دوم (SLDM) اظهار می شوند .
سپس ، SLDM مدل FGP خود را فرمول بندی می کند که آرمان های عضویت اهداف و متغیرهای تصمیم گیری FLDM را مورد توجه قرار می دهد . بعد از آن ، جواب به دست آمده به تصمیم گیرندۀ سطح سوم (TLDM) فرستاده می شود ، TLDM جواب را به روشنی مشابه جستجو می کند . این فرآیند تا سطح پایین ادامه می یابد . این روش ممکن است به عنوان تعمیمی از الگوریتم برنامه ریزی ریاضی فازی Shih و سایرین تلقی شود ، که به دنبال روش FGP (برنامه ریزی فازی آرمانی) Mohamed توسط Shih اصلاح شد .
2- فرمول بندی مساله
یک مسئله ی برنامه ریزی p سطحی توابع چند هدفه از نوع کمینه سازی را در هر سطح در نظر بگیرید . فرض کنید ، تصمیم گیرنده را در سطح i ام نشان می دهد که بر متغیر تصمیم گیری و کنترل دارد که و باشد و بعلاوه فرض کنید که :
1)
بردارهای توابع هدف برای باشند . به لحاظ ریاضی مسئله ی ML – MOLP از نوع کمینه سازی ممکن است به این ترتیب فرمول بندی شود :
[ سطح اول ]
جائیکه
[ سطح دوم ]
را حل می کند ،
جائیکه
[ سطح p ام ]
2)
را با توجه به
3)
حل می کند که
4)
و G مموعه ی انتخاب قابل قبول محدودیت های محدب چند سطحی می باشد ، تعداد توابع هدف هستند ، m تعداد محدودیت ها می باشد ، مقادیر ثابت هستند ، و ماتریس های ضرایب مرتبۀ می باشند .
3- فرمول بندی برنامه ریزی آرمانی فازی
در مسائل ML – MOLP اگر یک سطح انتظار مبهم (غیر دقیق) به هر یک از اهداف در هر سطح ML – MOLP اختصاص داده شود ، پس این اهداف فازی ، آرمان های فازی نامیده می شوند . آنها با توابع عضویت متناظر خود از طریق مشخص کردن حدود تحمل برای دستیابی به سطوح انتظارشان مشخص می شوند .
1-3- ساختار توابع عضویت
چون همه ی DM ها به حداقل رساندن توابع هدف خودشان در همان منطقه ی قابل قبول تعیین شده با سیستم محدودیت های (3) علاقه مند می باشند ، جواب های بهینه ی هر دوی آنها را که به طور مجزا محاسبه شده است ، می توان به عنوان سطوح انتظار آرمان های فازی متناظر آنها تلقی کرد . فرض کنید
به ترتیب جواب های بهینه ی توابع هدف DM ها باشند ، وقتی که به تنهایی محاسبه شوند . فرض کنید که سطح انتظار اختصاص داده شده به تابع هدف ijام باشد (اندیس ij به این معناست که وقتی برای مسئله ی ، i=p باشد می باشد ) . همچنین هرگاه جواب بهینه ی مسائل MOLP سطح Pام باشد . آنگاه آرمان های فازی توابع هدف تصمیم گیران در هر سطح و بردار آرمان های فازی متغیرهای تصمیم گیری که توسط تصمیم گیران سطح بالای P-1 کنترل می شوند ، اینگونه ظاهر می شوند :
که " " و " " فازی بودن سطوح انتظار را نشان می دهند ، و به ترتیب به صورت «اساساً کمتر از» و «اساساً برابر با» استنباط می شوند . ممکن است متوجه شوید که جواب های
معمولاً متفاوت هستند چون اهداف همه ی DM ها اساساً متضاد (متعارض) هستند . بنابراین ، می توان به طور منطقی فرض کرد که مقادیر و همه ی مقادیر بزرگتر از کاملاً برای تابع هدف غیر قابل قبول هستند . به معنای دقیق کلمه ، را می توان به عنوان حد تحمل بالای آرمان فازی برای توابع هدف در نظر گرفت . پس ، توابع عضویت برای آرمان فازی ijام را می توان اینگونه فرمول بندی کرد (شکل 1) :
شکل 1 : تابع عضویت توابع هدف از نوع کمینه سازی (5)
به منظور ساخت توابع عضویت برای آرمان های فازی متغیرهای تصمیم گیری که توسط کنترل می شوند ، جواب های بهینه ی مسائل MOLP سطح iام ،
باید ابتدا بعد از هر روش MOLP تعیین شوند (ضمیمه ی A را ببینید) .
فرض کنید که مقادیر خطای مجاز (تحمل) مثبت و منفی حداکثر (ماکزیمم) در بردارهای تصمیم گیری باشند که توسط DM سطح iام در نظر گرفته می شوند . خطاهای مجاز ضرورتاً یکسان نیستند . توابع عضویت خطی (شکل 2) برای هر یک از مولفه های بردار تصمیم گیری کنترل شده توسط تصمیم گیران سطوح بالای p-1 را می توان اینگونه فرمول بندی کرد .
ممکن است متوجه نشوید که تصمیم گیرنده شاید بخواهد دامنه ی را تغییر دهد . بعد از Pramanik و Roy [26] . Shiha [28] می توان به این تغییر دست پیدا کرد . اکنون ، در یک محیط تصمیم گیری فازی ، آرمان های فازی شامل توابع هدف تصمیم گیرنده در هر سطح و بردار آرمان های فازی متغیرهای تصمیم گیری کنترل شده از سوی تصمیم گیران سطح بالای p - 1 می باشند . دستیابی آنها به سطوح انتظارشان با اندازه ای که ممکن است در واقع با دستیابی احتمالی مقادیر عضویت
مربوطه آنها به بالاترین درجه نشان داده می شود . در رابطه با این جنبه ی مسائل برنامه ریزی فازی ، یک روش برنامه ریزی آرمانی به نظر می رسد که برای حل مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفه سطح pام بالایی و مسئله برنامه ریزی خطی چند هدفه ی چند سطحی مناسب ترین روش باشد .
2-3- روش برنامه ریزی فازی آرمانی
در روش های برنامه ریزی فازی ، بالاترین درجه ی تابع عضویت "یک" می باشد . بنابراین ، برای توابع عضویت تعریف شده در (5) و (6) ، آرمان های انعطاف پذیر عضویت با سطح انتظار 1 را می توان اینگونه نشان داد :
7)
8)
شکل 2 : توابع عضویت بردارهای تصمیم گیری
یا به بیان دیگر اینگونه :
با به ترتیب انحراف های پایینی و بالایی را از سطوح انتظار نشان می دهند . در برنامه ریزی آرمانی معمولی (GP) متغیرهای انحرافی بالایی و / یا پایینی در تابع achievement برای به حداقل رساندن آنها گنجانده می شوند و این به نوع توابع هدف که بهینه سازی می شوند ، بستگی دارند . در روش های پیشنهادی ، متغیرهای انحرافی بالایی برای آرمان های فازی توابع هدف و متغیرهای
انحرافی بالایی و متغیرهای انحرافی پایینی برای آرمان های فازی متغیرهای تصمیم گیری و و و لازم است که برای رسیدن به سطوح مورد انتظار آرمان های فازی به حداقل برسند (کمینه نشوند) ممکن است متوجه نشوید که هر انحراف پایین از یک آرمان فازی دستیابی کامل به مقدار عضویت را نشان می دهد . بعلاوه ، (وقتی که کاملاً به یک آرمان عضویت دست یافته باشیم) . و 1
(وقتی که دستیابی آن صفر باشد) ، در جواب یافت می شوند .
4- الگوریتم های FGP برای TL – MOLP
روش FGP برای مسائل برنامه ریزی چند هدفه که توسط Mohamed ارائه شدند ، در اینجا بسط و گسترش می یابند تا دو الگوریتم FGP را برای مسائل برنامه ریزی خطی چند هدفۀ چند سطحی فرمول بندی کنند .
1-4- اولین الگوریتم FGP برای TL – MOLP
اولین روش FGP پیشنهاد شده در این مقاله ، همانطور که در مقدمه ذکر کردیم ، توابع عضویت را برای آرمان های فازی تعریف شده (معین) توابع هدف در تمام سطوح گروه بندی می کند ؛ همچنین توابع عضویت آرمان های فازی متغیرهای تصمیم گیری مسائل سطوح بالایی p – 1 را که به طور مجزا ارزیابی می شوند ، گروه بندی می کند . بنابراین ، با در نظر گرفتن مسئله ی دستیابی آرمانی در همان سطح اولویت مدل برنامه ریزی آرمانی خطی چند هدفه چند سطحی فازی پیشنهاد شده ی معادل مسئله را می توان تحت چارچوب min sum GP به این ترتیب ارائه کرد :
به شرط اینکه
12)
مسئله ی بالا را می توان دوباره اینگونه نوشت :
به شرط اینکه
13)
که Z تابع دستیابی فازی را نشان می دهد که شامل متغیرهای انحرافی بالایی موزون ، و از آرمان های فازی و متغیرهای انحرافی بالایی و انحرافی پایینی و برای آرمان های فازی همه ی متغیرهای تصمیم گیری برای سطوح بالایی p – 1 می باشد .
وزن های عددی اهمیت نسبی دستیابی به سطوح مورد انتظار آرمان های فازی مربوطه را با توجه به مجموعۀ محدودیت ها در موقعیت تصمیم گیری نشان می دهد . برای ارزیابی صحیح اهمیت نسبی آرمان های فازی ، می توان از طرح وزنه پیشنهاد شده از سوی Mohamed استفاده کرد .
تا مقادیر را تعیین کنیم . در فرمول بندی اخیر ، این مقادیر را اینگونه تعیین می کنیم :
مدل FGP (13) رضایت بخش ترین تصمیم را برای DM ها در تمام سطوح با دستیابی به سطوح مورد انتظار آرمان های عضویت تا اندازه ای که در محیط تصمیم گیری ممکن باشد ، فراهم می کند . این روش حل از طریق مثال روشنی در بخش 5 ساده و نمایان می باشد . بعد از بحث بالا ، اولین الگوریتم پیشنهادی FGP برای حل مسائل ML – MOLP به این ترتیب ارائه می شود .
الگوریتم (FGP) I :
مرحلۀ 1 : مقادیر ماکزیمم و مینیمم فردی همه ی توابع هدف را برای تمام سطوح تحت محدودیت های مشخص (تعیین شده) محاسبه کنید .
مرحلۀ 2 : آرمان ها و حدود تحمل بالایی را ارزیابی کنید .
مرحلۀ 3 : وزن های را ارزیابی کنید .
مرحلۀ 4 : e=1 قرار دهید .
مرحلۀ 5 : توابع عضویت را استخراج کنید .
مرحلۀ 6 : مدل (A1) را برای مسئلۀ MOLP سطح eام فرمول بندی کنید .
مرحلۀ 7 : مدل (A1) را برای رسیدن به حل کنید .
مرحلۀ 8 : مقادیر خطای مثبت و منفی ماکزیمم را در بردار تصمیم گیری و مشخص کنید .
مرحلۀ 9 : وزن های را ارزیابی کنید .
مرحلۀ 10 : توابع عضویت را برای بردار تصمیم گیری در معادله ی (6) استخراج کنید .
مرحلۀ 11 : اگر e > p – 1 باشد ، پس به مرحلۀ 12 می رویم ، در غیر این صورت به مرحلۀ 5 می رویم .
مرحلۀ 12 : توابع عضویت را برای توابع عضویت در سطح pام استخراج کنید .
مرحلۀ 13 : وزن های را ارزیابی کنید .
مرحلۀ 14 : مدل (13) را برای مسئلۀ ML – MOLP فرمول بندی کنید .
مرحلۀ 15 : مدل (13) را برای رسیدن به جواب رضایت بخش از مسئله ی ML – MOLP حل کنید .
2-4- الگوریتم FGP دوم برای TL – MOLP
در الگوریتم I ، مدل نهایی شامل توابع عضویت برای آرمان های فازی متغی
رهای تصمیم گیری کنترل شده توسط سطوح بالایی P – 1 می باشد ، که به طور مجزا برای مسئله ی MOLP سطح i ام ، حل می شوند . الگوریتم پیشنهادی دوم به صورت الفبایی مسائل MOLP را حل می کند که این مسائل تصمیمات سطوح بالاتر را مورد توجه قرار می دهند . همانطور که در مقدمه بیان شد ، بعد از مراحل آغازین – مرحلۀ 1 تا 3 در الگوریتم I – روش حل با مسئله ی MOLP مربوط به DM1 شروع می شود که جواب رضایت بخشی به دست می دهد . یک تنشزدایی از تصمیمات DM1 برای جلوگیری از بن بست تصمیم گیری مورد توجه قرار می گیرد . این تصمیمات
DM1 توسط توابع عضویت نظریۀ مجموعۀ فازی مدلسازی می شوند و به عنوان محدودیت های بیشتر به DM2 اظهار می شوند . سپس DM2 ، آرمان های عضویت اهداف و متغیرهای تصمیم گیری DM1 را مورد توجه قرار می دهد . سپس ، جواب حاصل را به DM3 که جواب را به روشنی مشابه جستجو می کند ، ارسال می کنند . این فرآیند تا رسیدن به سطح پایین تر تکرار می شود .
بعد از این بحث ، اکنون در موقعیتی هستیم که الگوریتم پیشنهادی دوم FGP را برای حل مسائل ML – MOLP معرفی کنیم .
الگوریتم FGP II
مرحلۀ 1 : مقادیر ماکزیمم و مینیمم فردی همه ی توابع هدف را برای تمام سطوح تحت محدودیت های مشخص محاسبه کنید .
مرحلۀ 2 : آرمان ها و حدود تحمل بالایی را برای همه ی توابع در همه ی سطوح تعیین کنید .
مرحلۀ 3 : وزن های را ارزیابی کنید .
مرحلۀ 4 : e=1 قرار دهید .
مرحلۀ 5 : توابع عضویت را استخراج کنید .
مرحلۀ 6 : مدل (A1) را برای مسئلۀ MOLP سطح eام فرمول بندی کنید .
مرحلۀ 7 : مدل (A1) را برای رسیدن به حل کنید .
مرحلۀ 8 : مقادیر خطای مجاز (تحمل) مثبت و منفی ماکزیمم را در بردار تصمیم گیری و مشخص کنید .
مرحلۀ 9 : وزن های را ارزیابی کنید .
مرحلۀ 10 : توابع عضویت را برای بردار تصمیم گیری استخراج کنید .
مرحلۀ 11 : مدل (13) را برای مسئلۀ ML – MOLP با p=e فرمول بندی کنید .
مرحلۀ 12 : مدل (13) را برای رسیدن به جواب حل کنید .
مرحلۀ 13 : e=e+1
مرحلۀ 14 : اگر e > p باشد ، با جواب رضایت بخش برای مسئلۀ ML – MOLP توقف کنید ، در غیر این صورت به مرحلۀ 8 بروید .
بر طبق رجحان جواب ، الگوریتم II را می توان برای هدایت کردن جواب مسئلۀ ML – MOLP به تصمیمات DM1 استفاده کرد . و سپس جواب را به تصمیمات DM2 ، که جواب را نزدیک تصمیمات حفظ می کند ، هدایت می کند . بعد از آن ، فرآیند تا سطح پایانی ML – MOLP ، که جواب را نزدیک سطوح بالا حفظ می کند ، ادامه می یابد .
