بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
استفاده از مدل برنامه ريزي آرماني غير خطي براي بهينه سازي مسائل داراي چند سطح پاسخ
چکيده
هر فرآيند داراي يک يا چند ورودي و خروجي است . در طراحي آزمايش هاي (DOE) عبارت است از اعمال تغييـر آگاهانه در متغيرهاي ورودي يک فرآيند و سنجش و ارزيابي تغييرات حاصل در متغير خروجي (پاسـخ ). يکـي از مهم ترين مسائلي که در حوزه طراحي آزمايش هاي مطرح است تعيين متغيرهاي ورودي به منظـور بهينـه سـازي متغير پاسخ ميباشد. اين مقاله از روش برنامه ريزي آرماني غيرخطي براي بهينه سازي مسائلي کـه داراي بـيش از يک پاسخ هستند، استفاده ميکند.
واژه هاي کليدي : طراحي آزمايش هاي ، برنامه ريزي آرماني ، مسائل داراي چند سطح پاسخ
مقدمه
در نگاه اول ، هدف از طراحي آزمايش هـاي پاسـخ بـه سـه پرسش زير است :
١) کداميک از متغيرهـاي ورودي بيـشترين اثـر را بـر متغير پاسخ دارند؛
٢) متغيرهاي ورودي که بيشترين اثر را بر متغير پاسخ دارند، در چه مقداري بايد قرار گيرند تا متغير پاسخ حتـي الامکان به مقدار اسمي خود نزديک شود،
٣) متغيرهاي ورودي که بيشترين اثر را بر متغير پاسخ دارند، در چه مقداري بايد قرار گيرند تـا متغيـر پاسـخ در دامنه کوچک و غير حساسي تغيير نمايد.
در نگاهي دقيق تر، مي توان از طراحي آزمايش هـا ايـن انتظار را داشت که مقادير ورودي را بگونه اي تعيـين کنـد که متغير پاسخ بهينه گردد. اين بحث و روش هاي مربـوط به آن تحت نام متدولوژي سـطح پاسـخ ١ (RSM) مطـرح هستند. حتي مي توان حالتي را در نظر گرفـت کـه شـامل چند متغير پاسخ (به جاي تنها يک متغير) باشـد. بـه طـور طبيعي هر يک از اين متغيرهاي پاسخ مـي تواننـد هماننـد يک تابع هدف تلقي شوند کـه بهينـه سـازي آن مـد نظـر است . لذا مسئله اي که با آن سروکار داريم بـا يـک مـسئله چند تابع هدفه ٢ (MODM) مشابه سـازي مـي شـود، کـه يافتن يک جواب موثر براي آن مورد نظر است .
در اين مقاله ، ابتدا مروري بر ادبيات بحث انجام خواهد شد و سه دسته از روش هاي مطرح در اين زمينه مورد نقد و بررسي قرار خواهنـد گرفـت . سـپس روش برنامـه ريـزي آرمــاني غيــر خطــي بــراي حــل مــسئله اي کــه توســط
Montgomery در فصل يازدهم مرجع [١] عنوان گرديده و به روش توابع مطلوبيت حل شده ، به کار گرفته مي شود.
در انتها، نتايج مدل برنامه ريزي آرماني غيرخطي بـا نتـايج حاصل از روش توابع مطلوبيت مقايسه خواهد شد.
ادبيات تحقيق
به طور کلي ، روش هاي حل مسائل داراي چند سطح پاسخ را مي توان در سه سطح کلان طبقه بندي کرد. شايان ذکر است که هر دسته مي تواند شامل روش هاي مختلفي باشـد
که بنا به تشابهي که در منطق کار دارند در يک دسته قرار گرفته اند.
روش هاي مبتني بر اولويت : همان طـور کـه ذکـر شـد، مسائل بهينه سازي چند پاسخ عبارت است از بهينه سازي n تابع هدف (پاسخ ) در فضاي جواب متغيرهاي تاثيرگـذار.
فرم رياضي مسئله به صورت زير است :
يکي از روش هايي که مي تواند براي حـل ايـن مـسائل مورد استفاده قرار گيرد، روش لکسيکوگراف اسـت [٣]. در اين روش ابتدا اهـداف بـر اسـاس اهميـت اولويـت بنـدي مي شوند؛ سپس تابع هدف که شامل مهم ترين هدف است تــشکيل شــده و در فــضاي جــواب مــسئله اصــلي بهينــه مي گردد. اگر فرض شود مهم ترين هدف باشد، يـک مدل رياضي به صورت زير تشکيل و حل مي گردد:
اگر جواب مدل فوق يگانه باشد، همان جواب بعنوان يک جواب موثر براي مدل (١) مورد استفاده قرار مي گيرد.
در غير اين صورت ، مدل جديدي تعريف مي شود کـه تـابع هدف آن متشکل از هدفي است که در اولويت بعـدي قـرار دارد و محدوديت هاي آن شامل محدوديت هـاي مـدل (١) به انضمام محـدوديتي بـراي نگهداشـتن هـدف در مقدار بهینه خود می باشد .اگر فرض کنیم هدفی که در اولویت دوم قرار دارد باشد مدل ریاضی به صورت زیر خواهد بود .
روال فوق ادامه مي يابد تا جـواب بهينـه يگانـه حاصـل شود يا تمام اهداف بهينه شوند. روش ديگري کـه در ايـن خانواده قرار مي گيرد عبارت است از نوشتن تابع هـدف بـر
اســاس مهــم تــرين هــدف و قــرار دادن ســاير اهــداف در محدوديتها. به عبارت ديگر، مهم تـرين هـدف بـه گونـه اي بهينه مي شود که ساير اهداف به حداقل ميـزان تـشخيص داده شده توسط تصميم گيرنده برسند.
همان طور که مشاهده مي شود، اين روش ها هر چند به جواب موثر منجر مي شوند؛ اما هيچ تضميني وجـود نـدارد که جواب ارائه شده ، از نظـر تـصميم گيرنـده يـک جـواب رضايت بخش باشد چرا که صرفا بهينگي يک هـدف مـورد توجه قرار مي گيرد.
روش ديگري که در اين خانواده مطرح مي شود عبارت است از تعيين وزن هر هدف و تبـديل توابـع چندگانـه بـه يک تابع هدف با استفاده از ترکيب خطي جمع پـذير [٣].
بــه طــور مثــال اگــر بــردار اوزان اهــداف بــه صــورت باشد مدل چند تابع هدفـه بـه فـرم زير تبديل خواهد شد:
مشکل بزرگ اين روش در آن است که هيچ تـضميني بر برقرار بودن پيش شرط هاي لازم براي استفاده از ترکيب خطي جمع پذير وجود ندارد.
روش تابع مطلوبيت : در اين روش ، مطلوبيت هر هدف مشخص شده و سپس با استفاده از روشي نظيـر ميـانگين هندسي مطلوبيت کل محاسبه مي شود. اگر مطلوبيت تـابع به صورت يکنواخت افزايشي باشد ميـزان مطلوبيـت مطابق زير محاسبه مي شود[٣]:
کــه در آن تخمينــي از حداقل مقدار قابل قبول از نظر تـصميم گيرنـده ، مقداري از که حداکثر مطلوبيت را براي تـصميم گيرنـده دارد و از آن بـه بعـد مطلوبيـت افـزايش نمي يابد و t نيز پارامتر تعيين کننده شکل تابع مطلوبيـت مي باشد.
استفاده از توابـع مطلوبيـت هـر چنـد روش کارآمـدي محسوب مي شود، ولي مـشکلات خـاص خـود را داراسـت .
يکي از مشکلات اين روش ، دشوار بودن رسم منحني هـاي بي تفاوتي و تعيين مطلوبيت است . تعيين مطلوبيت نسبت قضاوت هاي تصميم گيرنده بسيار حساس است . از سوي به
ديگر، تکنيک فوق زماني کاربرد دارد که مطلوبيت مربـوط به متغيرهاي وابسته به طور يکنواخت کاهشي يـا افزايـشي باشد يا به بيان ديگر، هر چه ميزان متغير پاسخ بيشتر (يـا کمتر) باشد مطلوب تر باشد. اما همواره اين احتمال وجـود دارد که تابع مطلوبيت از توان دوم باشـد. در ايـن صـورت مناسب ترين ارزش يک پاسخ ممکن است در وسـط دامنـه تغييرات آن قرار گيرد.
روش تابع هزينه : اين دسته از روشها بر اساس کمينـه کردن تفاوت اهداف از ميزان بهينه خود عمـل مـي کننـد؛ بدين صورت که براي فاصـله گـرفتن هـر هـدف از ميـزان بهينه خود جريمه يا هزينه اي در نظـر گرفتـه مـي شـود و سعي مي گردد اين تابع هزينه کمينه شـود. در ابتـدا تـابع
هزينه به صورت زير تعريف گرديد[٣]:
که در آن ، بردار مقادير بهينـه اهـداف و C مـاتريس هزينه است که مبين اهميت نسبي اهداف مي باشد.
روش برنامه ريزي آرماني غيرخطي
در طراحي آزمايش هاي و مسائل RSM وقتي مي خـواهيم به جواب بهينه برسيم از يک نقطه اوليه کار خـود را آغـاز مي کنيم و يک مدل درجـه اول ١ه صـورت زيـر تـشکيل مي دهيم
سپس به ارزيابي کفايت مدل فوق مي پردازيم . مي توان سه مورد زير را به کمک طراحي آزمايش هاي انجام داد:
١) تخميني از خطا به دست آورد؛
٢) اثر متقابل را بررسي کرد؛
٣) وجود انحنا را بررسي کرد.
معمولا هنگامي که مقادير فعلي متغيرهـاي تاثيرگـذار در خروجي به گونه اي باشـند کـه متغيـر پاسـخ از مقـدار بهينه فـوق دور شـود، مـدل درجـه اول مناسـب بـه نظـر مي رسد؛ چـرا کـه در ايـن حالـت انتظـار نـداريم انحنـاي چنداني وجود داشته باشد. در اين حالت و با فرض بيشينه کردن تابع هـدف بـه روش steepest ascend بـه سـمت جواب بهينه حرکت مي کنيم (در صورتي که هدف کمينـه کـــردن باشـــد از روش steepest descend اســـتفاده مي شود). وقتي که به جواب بهينه نزديک شديم يک مدل دقيق تر نظير مدل درجه دوم ٢ به شکل کلي زير مـي توانـد
به کار گرفته شود [١]:
لذا بيشترين انتظار ما آن است که توابع هدف يا همان متغيرهاي پاسخ توابعي از درجه دوم باشند. به همين دليل بهتر است براي حل اين مسائل از روش هايي کـه قـادر بـه حل مسائل غيرخطي هستند استفاده شود. از سوي ديگـر، در مسائل چند هدفه به دليل وجود تعـارض بـين اهـداف ، دست يافتن به جواب بهينه (جوابي که به طـور هـم زمـان کليه اهداف را بهينه نمايد) تقريبا غيـرممکن اسـت و لـذا بايد در جستجوي جواب مـوثر٣ باشـيم . بـه همـين دليـل تصميم گيرنده به جاي بهينه کردن اهـداف بـه دنبـال راه حلي خواهد بود که براي هر هـدف يـک سـطح خاصـي را تامين نمايد. اين شرايط دقيقا با زمينه کاربرد برنامه ريـزي آرماني غيـر خطـي سـازگار اسـت . عـلاوه بـر ايـن مـدل ، برنامه ريزي آرماني غير خطـي از منطـق رياضـي محکمـي برخوردار است و قضاوت هاي سليقه اي تـصميم گيرنـده در آن به حداقل مي رسـد بطـوري کـه تـصميم گيرنـده تنهـا اولويت اهداف يا مقاصدي را که بايد تامين شوند مـشخص مي کند. در بخش بعدي مثال ارائه شده در فـصل يـازدهم مرجع [١] را که بروش توابع مطلوبيت حل شده ، مطـرح و به کمک مدل برنامه ريزي آرماني غير خطي حل و سـپس به مقايسه نتايج مي پردازيم .
مثال عددي
يک مهندس شيمي ، اثر زمان (x1) و درجـه حـرارت (x2) يــک واکــنش شــيميايي را بــر ســه پاســخ بــازده (y1) ، ويسکوزيته (y2) و وزن مولکولي (y3) بررسـي مـي نمايـد. آزمايش هاي مربوطه انجام و نتايج حاصل در جدول ١ ارائه شده است :
(جدول شمارة ١ ): نتايج آزمايشات انجام شده
پس از برازش يک مدل مناسب براي سه متغير پاسـخ ، توابع مربوطه به شکل زير خواهند بود:
فرض کنيد تصميم گيرنده مايل است هدف اول بـيش از ٧٨.٥، هدف دوم بين ٦٢ و ٦٨ و هدف سوم نيز کمتر از ٣٤٠٠ باشد. به عبارت ديگر تصميم گيرنده خواهان تامين مقاصد زير است :
