بخشی از مقاله
چکیده
تحلیل پایداری و مطالعه رفتار کمانش صفحات، همواره به عنوان یکی از مهمترین موضوعات در تحلیل سازهها مورد توجه بوده است. در این مقاله کمانش حرارتی ورقهای دایروی ساخته شده از مواد هدفمند بر روی یک بستر الاستیک، به طور تحلیلی مورد بررسی قرار گرفته است. با استفاده از نظریهی کلاسیک و فرضیهی غیرخطی فون-کارمن معادله تعادل به دست آمده است.
خواص ترمومکانیکی ورق به صورت تابعی و در جهت ضخامت، بر اساس رابطه تابع توانی تغییر میکند در حالیکه ضریب پواسون ثابت است. همچنین خواص مواد وابسته به دما در نظرگرفته شده است. وجود شاخههای کمانش تخمین زده شده است و معادلات پایداری توسط معیار تعادل در همسایگی به دست آمده است. تأثیر پارامترهایی از جمله نسبت ضخامت ورق به شعاع، شاخص تابع توانی و ضرایب بستر الاستیک بر دمای بحرانی کمانش ورق هدفمند مورد مطالعه قرار گرفته است. نتایج حاصل از کار حاضر با نتایج سایر مراجع مورد راستی آزمایی قرار گرفته و مطابقت بین آنها رضایتبخش است.
-1 مقدمه
مواد هدفمند1 دستهای از مواد کامپوزیتی هستند که خواص آنها به صورت پیوسته و تدریجی تغییر میکند. این مواد در خیلی از کاربردهای صنعتی شامل راکتورهای هستهای - مواد تشکیل دهنده دیواره داخلی راکتور - ، صنایع شیمیایی - غشا و کاتالیستها - ، استفاده در صنایع پزشکی - کاشت دندان مصنوعی، استخوانهای مصنوعی - ، صنایع الکترونیک و کامپ یوتر - ساخت قطعات و مدارها برای تحمل دمای بالا - و سایر فناوریهای نوین مانند موتورهای سرامیکی مورد استفاده قرار میگیرند.
به دلیل کاربردهای فراوان مواد هدفمند، محققان علاقهمند به بررسی و تحقیق در مورد مشخصههای دینامیکی و استاتیکی این مواد میباشند. مواد هدفمند اولین بار توسط گروهی از دانشمندان در ژاپن در سال 1984 به عنوان مواد تحملکننده دما معرفی شدند
ماده هدفمند مادهای است که از دو یا چند جزء تشکیل شده و خواص آن به طور پیوسته با مکان تغییر میکند. این خاصیت با تغییر تدریجی ترکیب و درصد حجمی اجزای تشکیل دهنده ماده در طی ساخت آن به وجود میآید. لذا این مواد در زمره مواد ناهمگن2 هستند. از مزایای استفاده از این مواد این است که به علت تغییرات تدریجی در ساختار و خصوصیات ماده، مشکلات موجود در فصل مشترک دو ماده متفاوت حذف شده و تنشهای حرارتی، تنشهای پسماند و عامل تمرکز تنش، نسبت به مواد مرکب لایهای3 بسیار کاهش مییابد. به همین خاطر در سال-های اخیر به دلیل قابلیتهای فراوان مواد هدفمند، استفاده از این مواد در صنایع پیشرفته بسیار گسترش یافته است.
تحلیل پایداری و مطالعه رفتار کمانش صفحات، همواره به عنوان یکی از مهمترین موضوعات در تحلیل سازهها مورد توجه بوده است. اولین حل مسئلهی پایداری برای صفحات توسط برایان در سال 1891 انجام شده است. در این تحقیق کمانش یک صفحه دایرهای با تکیهگاه گیردار تحت بار یکنواخت شعاعی بررسی شده است.
تیموشنکو و گیر [3] مسئله پایداری انواع سازههای مهندسی شامل ستونها، قابها، تیرهای خمیده، صفحات و پوستهها را مورد بررسی قرار دادهاند. پس از آن المرث و براوش [4]، تحلیل جامعی از مسئلهی کمانش ستونها، صفحات، پوستهها و روشهای مختلف برای فرمولبندی معادلات تعادل غیرخطی و پایداری مورد بررسی قرار دادهاند.
یاماکی [5] کمانش صفحات حلقوی با بارگذاری روی لبهی داخلی و خارجی را مورد بررسی قرار داده و در نتایج خود نشان داده که کمانش در این حالتلزوماً در مد اول اتفاق نمیافتد. ردی و خدیر [6] تحلیل کمانش و ارتعاشات آزاد صفحات مستطیلی مرکب چندلایه با استفاده از نظریهی کلاسیک4، مرتبه اول5 و مرتبهی سوم برشی6 در شرایط مرزی مختلف را بررسی کردند. نتایج نشان می-دهد که نظریهی کلاسیک، بار بحرانی کمانش را بیش از مقادیر واقعی برآورد میکند و با افزایش نسبت ضخامت به طول جانبی این اختلاف افزایش مییابد.
نجفیزاده و اسلامی 7]، [8، کمانش ورق مدور نازک در معرض بارهای مکانیکی و حرارتی را مورد بررسی قرار دادهاند. آنها در مطالعاتشان فقط به کمانش متقارن7 پرداخته و با استفاده از قوانین کیرشهف برای ورق نازک، معادله تعادل و پایداری را به دست آوردند و سپس با محاسبه مقادیر ویژه رابطهی پایداری، مسائل را حل نمودند.
وانگ [9] کمانش ورق مدور روی بستر الاستیک را به طور تحلیلی مورد بررسی قرار داده است. در تحلیل ایشان امکان وقوع مدهای کمانش نامتقارن وجود دارد. شریعت و اسلامی [10] به بررسی تحلیلی کمانش ورق مستطیلی هدفمند، تحت اثر بارهای حرارتی و مکانیکی پرداختند. بهطوریکه ورق به طور جداگانه تحت تأثیر سه نوع بارگذاری مکانیکی و دو نوع بارگذاری حرارتی قرار گرفته است و معادله تعادل با استفاده از تئوری مرتبهی سوم برشی به دست آمده است.
نجفیزاده و حیدری 11]،[12 به بررسی بارهای کمانش حرارتی و مکانیکی ورق نازک مدور هدفمند بر پایه نظریهی غیرخطی فون-کارمن و جابجایی مرتبه سوم برشی پرداختهاند.
ردی و همکاران [13] تغییر خواص مکانیکی در مواد مدرج تابعی را با استفاده از تقریب میکرو مکانیکی مورد بررسی قرار دادهاند. ژانگ و همکاران [14] مستقماًی روابط پیوستگی مواد مدرج تابعی را مورد استفاده قرار دادهاند و با استفاده از تقریبی تحلیلی خواص غیرکوپله ترمومکانیکی فلز و سرامیک مدرج تابعی را تشریح کردهاند.
کلاسنر و همکاران [15] کمانش ورق دایرهای تحت بار حرارتی یکنواخت متقارن با استفاده از روش ریلی - ریتز را مورد مطالعه قرار دادهاند. غیاثیان و اسلامی [16] به بررسی تحلیلی کمانش حرارتی ورق حلقوی/ دایروی مواد هدفمند ضخیم پرداختند. آنها در مطالعه خود از تئوری مرتبه اول برشی استفاده کردهاند و در مورد نقطه دوگانگی ورق حلقوی ضخیم بحث کردهاند؛ و تأثیر پارامترهایی نظیر نسبت ضخامت ورق به شعاع داخلی، نسبت شعاع داخلی به خارجی و محیط حرارتی مختلف بر کمانش حرارتی ورق هدفمند را مورد مطالعه قرار دادهاند.
جواهری و اسلامی [17] در سال 2002 به بررسی کمانش حرارتی یک ورق مستطیلی ساخته شده از مواد هدفمند پرداختند. در این تحقیق معادلات تعادل ورق بر اساس تئوری کلاسیک ورقهای مستطیلی به دست آمده است. معادلات پایداری ورق مستطیلی به کمک روشهای حساب تغییرات بهدستآمدهاند. ورق در معرض انواع بارگذاری حرارتی قرار میگیرد که از جمله آن میتوان به افزایش درجهی یکنواخت حرارت و توزیع درجه حرارت خطی در ضخامت ورق اشاره کرد. در هر یک از حالتهای بارگذاری، یک رابطه صریح به شکل بسته برای دمای بحرانی ارائه کردهاند.
-2 هندسه ورق و خواص وابسته به دما
یک ورق نازک دایروی هدفمند به ضخامت h، شعاع a و در مختصات قطبی - r,θ,z - در نظر بگیرید که روی بستر الاستیک قرار گرفته است - شکل . - 1 ورق تحت حرارت یکنواخت میباشد.
شکل 1 ورق نازک دایروی هدفمند روی بستر الاستیک تحت حرارت یکنواخت
زمانی که خواص مواد در جهت ضخامت متغیر باشد، با استفاده از رابطه تابع توانی، توزیع کسر حجمی سرامیک Vc برابر است با :
که h ضخامت ورق و z مختصات ضخامت اندازهگیری شده از صفحه میانی ورق میباشد. Vm و k به ترتیب بیانگر توزیع کسر حجمی فلز و شاخص تابع توانی میباشد.اگر در رابطه - 1 - مقدار k برابر صفر باشد بیانگر سرامیک خالص - Vc=1 - و اگر k به سمت بینهایت میل کند نشاندهنده ورق فلزی خالص است
-1-2 خواص وابسته به دما
معمولاً مواد هدفمند در محیطهایی با دمای بالا به کار میرود که در این صورت تغییرات قابلتوجهی در خواص آن به وجود میآید. ضروری است برای دقت در پیشبینی خواص مواد، آنها را وابسته به دما در نظر بگیریم.
طبق قانون وویت هر خاصیت مکانیکی در ورق هدفمند مانند p را میتوان برحسب خواص اصلی مطابق رابطه زیر بیان کرد
که pm و pc به ترتیب بیانگر خواص فلز و سرامیک میباشد. در رابطه - - 2، خواص مکانیکی مانند مدول یانگ E و ضریب انبساط حرارتی α وابسته به دما فرض شده و میتوان با یک تابع غیرخطی از دما آن را نشان داد
که T دمای اندازهگیری شده در مقیاس کلوین و pi، ضرایب وابستگی دمایی میباشد.
-3معادلات حاکم
با توجه به فرضیهی کلاسیک برای ورقهای نازک، میدان تغییرمکان برابر است با:
در رابطه u0 - 4 - ، v0 و w0 به ترتیب بیانگر تغییرمکان روی صفحه میانی - z=0 - در جهت r، θ و z است.
