بخشی از مقاله
چکیده
تحلیل کمانش ستون ها و تعیین نیروی بحرانی آنها مورد توجه بسیاری از محققان بوده است. اعضای سازه ای غیر یکنواخت برای دستیابی به یک توزیع بهتر از مقاومت و وزن نسبت به اعضای یکنواخت بیشتر مورد توجه قرار می گیرند. در این مطالعه حل مسئله مقدار ویژه مربوط به کمانش ارتجاعی ستون های غیر یکنواخت تحت بار محوری بدون خروج از مرکزیت مورد بررسی قرار می گیرد.
روش مورد استفاده، روش چند جمله ای های متعامد مفسر - - cop می باشد که یک روش نیمه تحلیلی محسوب می گردد. علت کاربرد آن سادگی و تطابق آن با شرایط مرزی هندسی می باشد که در کنار آن شرایط مرزی طبیعی نیز ارضا می شود. بر همین اساس با استفاده از توابع متعامد مفسر اقدام به تشکیل ماتریس های سختی و سختی هندسی شده و سپس با حل مسئله مقدار ویژه ، نیروهای کمانش برای ستون ها با مقاطع ثابت و متغیر بدست می آیند.
مقایسه نتایج عددی ما با نتایج دقیق و نتایج حاصل از روش اجزای محدود ، اثبات می کند که این روش همگرایی سریع دارد و روشی مناسب و با دقت کافی برای تعیین نیروی بحرانی کمانش ستون هاست.
-1 مقدمه
آثار پژوهشی زیادی راجع به بررسی پایداری ستون های غیر یکنواخت با توجه به این که آنها راه حل اقتصادی برای تحمل بارهای فشاری بزرگ در سازه های مهندسی فراهم می کنند ، به چاپ رسیده است. محققین از روشهای متفاوتی درتعیین نیروی بحرانی کمانش این المان ها استفاده کرده اند. مطالعات اولیه راجع به کمانش ستون ها تحت وزنشان توسط اویلر در سال 1788 انجام شد
گرینهیل در سال 1882 حلی برای مطالعات اویلر ارائه داد .[2] دینیک در سال [3]1929 ، بیوت و کارمن در سال 1940 [4]، گنیک در سال [5]1950 و تیموشنکو در سال [ 6] 1961 راه حل های بسته برای معادله دیفرانسیل کمانش را بدست آوردند. گره و کارتر در سال 1962 راه حل های دقیق برای کمانش ستون های غیر یکنواخت پلکانی با شرایط مرزی ساده را با استفاده از توابع بسل بدست آوردند
زبروسکی در سال 1977 نیروی بحرانی تقریبی را برای ستون های غیر منشوری بر اساس تفاوت محدود بدست آورد .[8] ارومپلوس در سال 1986 کمانش ستون های غیر یکنواخت تحت بارهای متمرکز محوری را مورد مطالعه قرار داد .[9] در سال 1989 استون و ویلیامز تعدادی منحنی بدست آوردند و با استفاده از آنها بارهای کمانش ستونهای باریک شونده تحت نیروی محوری یکنواخت را محاسبه کردند
اربابی در سال 1991 یک روند غیرتحلیلی برای کمانش ستونهای الاستیک با ضخامت متغیر تدریجی ارائه نمود .[11] در سال1992 سیگنر پایداری یک ستون که سختی خمشی آن به طور پیوسته در طول ستون تغییر می کند را مورد بررسی قرار داد.[12] لی در سال 2001 کمانش اعضای غیر یکنواخت چند تکه با شرایط مرزی مقید شده ارتجاعی که در معرض چندین نیروی محوری متمرکز قرار دارند را با استفاده از روش ماتریس انتقالی مورد مطالعه قرار داد.
در سال 2006 بازئوس و کارابلیس یک روش تقریبی برای محاسبه سریع بار بحرانی کمانش اعضای باریک شونده ارائه کردند
رهایی و کاظمی در سال 2008 از روش انرژی برای تعیین نیروی بحرانی کمانش در مودهای مختلف در ستون ها با تغییر مقطع پلکانی استفاده کردند
در سال 2011 ، سرنا وهمکارانش در تحقیقاتشان ابتدا یک حل بسته برای بار کمانش اعضا با سطح مقطع ثابت تحت بارگذاری محوری غیر یکنواخت ارائه نمودند و سپس یک رویکرد بار معادل برای اعضای غیر یکنواخت تحت بار محوری غیر یکنواخت ، پیشنهاد نمودند
هدف این پژوهش ارائه یک روش ساده و با دقت کافی جهت تعیین بارهای کمانش ستون های غیر یکنواخت می باشد.در این روش ابتدا توابع شکل مورد نظر ستون بدست آمده و سپس با جایگذاری در روابط ، ماتریس های سختی و سختی هندسی حاصل می شوند و بارهای کمانش با حل مسئه مقدار ویژه بدست می آیند.
-2 معرفی روش چند جمله ای های متعامد مشخصه - cop -
برای تجزیه و تحلیل شکل دلخواه سازه ها ، انواع روش های عددی مانند روش اجزاء محدود ، روش تفاضل محدود و روش المان مرزی اعمال می شوند. اگرچه این روش های گسسته یک چارچوب کلی برای سازه های عمومی ارائه می دهند ، نتایج آنها همواره در مسائل با تعداد زیادی درجه آزادی می باشد. برای جبران این کمبود از روش مشهور رایلی ریتز استفاده می شود.
اخیرا کارهای زیادی با استفاده از یک روش از چندجمله ای های متعامد در روش رایلی ریتز انجام می شود. توابع شکل در نظرگرفته شده ای که در روش های تقریبی مانند رایلی ریتز استفاده می شود گاهی اوقات با آزمون و خطا فرموله میشود .اما بهات درسال [18] 1985 یک روش سیستماتیک ساخت توابع شکل در شکل چندجمله ای های متعامد مشخصه را توسعه داده است.
چاکراورتی [19] با استفاده از چندجمله ای های متعامد که درروش رایلی ریتز به کارگرفته شده است، یک روش نیمه تحلیلی آسان و کارآمد را ارائه کرد. در این روش، برای تیر یا ستون، شرایط مرزی طبیعی و هندسی ارضا می شود و به همین دلیل روش cop به دقت روش بسط توابع ویژه می باشد . همچنین در تیر در شرایط مرزی پیچیده تر، حل بسط توابع ویژه وجود ندارد و اگر هم وجود داشته باشد بسیار سخت است. در نتیجه این روش ساده تراست وتنها از توابع چندجمله ای استفاده می شود که براحتی هم بدست می آیند . به همین دلیل از این روش به عنوان روش پایه استفاده می شوداین روش دقت بهتری از نتایج فراهم می کند و بسیار کارآمد ، ساده و آسان برای اجرای کامپیوتری می باشد.
در این روش ابتدا تولید تابع شکل اولیه بر اساس ارضا کردن شرایط مرزی می باشد و تولید توابع متعامد بعدی با استفاده از رابطه گرم اشمیت صورت می گیرد . این توابع متعامد باعث می شود مسئله بسیار ساده شده و بدست آوردن مقدار ویژه آسان شود که همین امر اهمیت این روش را نشان داده و آن را به یک مسئله ساده ، مستقیم و قابل حل تبدیل می کند.با توجه به شرایط بالا، حل عددی به حل دقیق نزدیک می شود و همچنین به تعداد شرایط گرفته شده در سری مجازی بستگی دارد.
-3 روابط چند جمله ای های متعامد مشخصه - cop -
در اینجا ، اولین عضو از چندجمله ای های متعامد 1 - x - است که تابعی از یک متغیر به نام x است که به عنوان ساده ترین چند جمله ای که حداقل شرایط مرزی هندسی و طبیعی را ارضا می کند انتخاب شده است. به طور کلی اولین عضو به فرم زیرنوشته شده است.
که در آن ثابت های c با اعمال شرایط مرزی مساله بدست می آیند. در اینجا ذکر شده است که این تابع حداقل شرایط مرزی هندسی را برآورده سازد. اما اگر تابع شرایط مرزی طبیعی را نیز ارضا کند نتایج به مراتب بهترخواهد بود.
