مقاله توموگرافی حالتهای کوانتومی

بخشی از مقاله

چکیده

مکانیک کوانتومی به عنوان جامع ترین و کاملترین نظریه ی شناخته شده ی حاضر در توصیف ماهیت طبیعت پیرامون جایگاه ویژه ای را در بین نظریه های فیزیکی باز کرده است .با این که این تئوری سابقه زیادی در مقایسه با سایرنظریه های فیزیکی ندارد ولی توانسته است پیچیده ترین و بنیادی ترین پدیده های مورد مواجهه را تبیین کند که پیش تر از درک آنها عاجز بودیم .به جرات می توان گفت که تکنولوژی آینده با تکیه بر ابزار های نظریه ی مکانیک کوانتومی پیشرفت های خیره کننده تری نیز خواهد داشت .گذشته از طیف وسیع کاربردهای این نظریه در جوامع بشری، ماهیت و رفتار جالب و شگفت انگیز دنیای کوانتوم هر پژوهشگر را به این سمت می کشاند .گاه تا آنجایی که تنها یافتن جواب سوال های پیش رو مهم تر از کاربردهای آن می گردد و درعمل نیز تا کنون اینگونه بوده است. یکی از فرایند های مهم در مکانیک کوانتومی توموگرافی هست. .توموگرافی کوانتومی فرایندی است که در آن حالت آنسامبلی از ذرات کوانتومی، با استفاده از داده های اندازه گیری، بازسازی می گردد. در این مقاله از تشخیص بدون ابهام کوانتومی و درستنمایی بیشینه بعنوان روش بازسازی ماتریس چگالی از روی داده های آزمایش استفاده می کنیم و نشان می دهیم روش ما کمترین واریانس را دارد.

واژگان کلیدی: مکانیک کوانتومی، تشخیص بدون ابهام، درستنمایی بیشینه، باز سازی ماتریس چگالی و واریانس

مقدمه

توموگرافی کوانتومی فرایندی است که در آن حالت آنسامبلی از ذرات کوانتومی با استفاده از داده های اندازه گیری بازسازی می گردد. چون با آنسامبلی از ذرات مواجه هستیم، بهترین توصیف برای حالت آنسامبلی از ذرات کوانتومی، استفاده از ماتریس چگالی است. پس در اینجا هدف ما ، بازسازی ماتریس چگالی تعیین کننده ی حالت آنسامبلی از ذرات است. [1] پژوهش های نظری و کاربردی زیادی در زمینه ی توموگرافی صورت گرفته است. یک بحث نظری در مورد ماتریس چگالی و کابرد آن در نمایش حالت های کوانتومی در[2,3,4] آمده است. در مراجع [5,6] به کاربرد های توموگرافی در سیستم های فتونی پرداخته شده است. مرجع [7] دربرگیرنده ی روش برآورد درستنمایی بیشینه در توموگرافی می باشد.در مرجع [8] به روش های بهینه برای تشخیص بدون ابهام حالت پرداخته شده است. در این مقاله تو موگرافی تک کیوبیت را در نظر می گیریم و با استفاده از روش تشخیص بدون ابهام حالت ماتریس چگالی را بازسازی می کنیم.

اندازه گیری های کوانتومی

اندازه گیری های کوانتومی بوسیله مجموعه عملگرهای M {Mm } که بصورت خطی روی فضای هیلبرت سیستمی که باید اندازه گیری شود عمل می کنند ، توصیف می شود. اندیس m نشان دهنده خروجی های محتمل حاصل از اندازه گیری است. فرض کنید حالت کوانتومی سیستم قبل اندازه گیری  باشد احتمال خروجیmپس از اندازه گیری برابر است با،و حالت کوانتومی سیستم متناظر با خروجی m ام بعد از اندازه گیری با رابطه زیر داده می شود،چون مجموع احتمالات باید 1 شود پس داریم،چون رابطه فوق برای هر  دلخواه بر قرار است بنابراین،با تعریف عملگر E m   M m M m  می توان نوشت .  E m   I توجه کنید که عملگرهای E m  مثبت هستند یعنی برای هر می باشد.

معمولا در مسئله ی تشخیص حالتهای کوانتومی، آنسامبل حالتها و احتمال رخ دادن هر حالت داده می شود. اگر فرض کنیم خروجی حاصل از اندازه گیری m باشد، احتمال خروجی m برای ماتریس چگالی داده شده i برابر است باتشخیص بدون ابهام حالت های کوانتومی در تشخیص بدون ابهام حالت های کوانتومی خطایی در اندازه گیری نداریم و با احتمال 1 حالتها را تشخیص می دهیم اما اجازه یکنتیجه گیری غیر قطعی داریم. فرض کنید ماتریس چگالی هایی که می خواهیم تشخیص بدهیم، i iN1 باشند، که هر کدام با احتمال i آماده شده است. در این صورت اندازه گیری های E m  بدون ابهام نامیده می شوند اگر،چون در این روش اجازه نتیجه غیر قطعی داریم فرض کنید عملگر متناظر بااین نتیجه E 0 باشد پس احتمال نتیجه غیر قطعی برابر است باهدف این است که Q را مینیمم کنیم.

بازسازی حالت تک کیوبیت

در حالت کلی ماتریس چگالی در n بعد بصورت زیر نوشته می شود: