بخشی از مقاله
خلاصه
بررسی رفتار تیرهای عمیق به دلیل ماهیت دو بعدی آن با استفاده از تئوریهای تیر کلاسیک و برشی مرتبه اول با خطاهای قابل ملاحظه ای همراه است. از طرف دیگر وجود فرضیات ساده کننده در تئوری های برشی مرتبه بالا منجر به کاهش دقت پاسخ های به دست آمده به ویژه در بررسی رفتار دینامیکی تیرهای عمیق می شود. در این پژوهش، حل تحلیلی مسئله ارتعاش آزاد تیر با مقطع مستطیلی و ضخامت دلخواه تحت تئوری دوبعدی ارتجاعی و با استفاده از توابع پتانسیل تغییرمکان ارائه شده است. معادله مشخصه ارتعاش آزاد از حل یک معادله دیفرانسیل جزئی حاکم از مرتبه 4 به روش جداسازی متغییرها و با اعمال شرایط مرزی بهدستآمده است. به منظور اعتبارسنجی، نتایج حاصل از این پژوهش با نتایج بهدستآمده از سایر کارهای تحلیلی و عددی مقایسه شده است. تاثیر ضخامت، تعداد مود ارتعاشی و ضریب پواسون بر بسامد طبیعی تیر ساده بررسی شده است. ویژگی عمده این پژوهش، عدم وجود محدودیت ضخامت و اعتبار آن برای تیرهای با ضخامت کم، متوسط و زیاد است.
کلمات کلیدی: حل دقیق، ارتعاش آزاد، تیرهای عمیق، تئوری ارتجاعی، بسامد طبیعی.
.1 مقدمه
ناکارآمدی حل کامل مسائل تیر بهدلیل پیچیدگیهای محاسباتی از یکسو و اطلاعات بهدستآمده بیش از حد نیاز برای بسیاری از کاربردهای متداول از سوی دیگر، زمینه را برای توسعه حلهای تقریبی مبتنی بر تغییرمکانهای عرضی فراهم نمود. اولین و مشهورترین تئوری در این زمینه، تئوری تیر اویلر -برنولی برای حرکات خمشی تیرهای ارتجاعی در مودهای بالای ارتعاشی و با افزایش ضخامت تیر، بسامدهای طبیعی را بیش از مقادیر واقعی برآورد میکند.[1] رایلی اثر چرخش سطح مقطع را به مدل اویلر-برنولی اضافه کرد و تیموشنکو با درنظر گرفتن اثر تغییرشکل برشی آن را توسعه داد .[2] دیویس در سال [3] 1948 نشان داد که نتایج بهدستآمده از معادلات تیموشنکو بهطور قابل ملاحظهای به نتایج معادلات دقیق ارتجاعی نزدیک است.
هوآنگ در سال [4] 1961اثر لَختی دورانی و تغییرشکل برشی بر رفتار ارتعاش آزادتیر تیموشنکو را بهصورت تحلیلی و برای انواع شرایط تکیهگاهی مورد بررسی و معادلات فرکانسی مربوطه و مودهای نرمال را ارائه و نشان داد با افزایش شعاع ژیراسیون نسبت بسامد تیر با لحاظ اثرات لَختی دورانی و تغییرشکل برشی به بسامد تیر اویلر برنولی کاهش یافته که این کاهش در مودهای بالاتر باشدت بیشتری همراه است.محدودیتهای موجود در تئوریهای تیر کلاسیک و برشی مرتبه اول؛ خصوصا با افزایش ضخامت، زمینهساز توسعه تئوریهای برشی مرتبه بالاتر شد. در این تئوریها توزیع تغییرمکان توسط بسط سریهای توانی در مختصه ضخامت برای در نظر گرفتن اثر تغییرشکل برشی، بهکار گرفته شده است .[5]
لوینسن یک تئوری مرتبه بالا با معادلات دیفرانسیلی مرتبه چهارم که باید در هر انتها دو شرط مرزی را اقناع کند ارائه داد. به دلیل برقرار بودن شرایط سطح آزاد تنش برشی در سطوح بالا و پایین تیر، این تئوری نیاز به ضریب تصحیح برشی ندارد .[6] تئوریهای تیر اصلاحشده با ارائه توابع مثلثاتی برحسب مختصه ضخامت در فرضیات سینماتیکی اولین بار توسط ولاسوف و لئونتف در سال 1960 و استین در سال 1989 ارائه شد 7]و.[8روش توابع پتانسیل نقش اساسی در حل مسائل مقدار مرزی بهویژه مسائل سه بعدی تئوری ارتجاعی دارا است. مجموعه شناخته شدهای از توابع پتانسیل تغییرمکان شامل توابع بوسینسک، گالرکین، لاو، پاپکوویچ-نوبر میباشند که به هم مرتبط بوده و از یکدیگر قابل حصول هستند .[9]
توابع پتانسیل اسکندری قادی که با تعمیم توابع پتانسیل حاکم بر محیطهای همسانگرد جانبی از حالت استاتیکی به دینامیکی معرفی شده در تحلیل محیطهای بینهایت و نیمه بینهایت بهطور وسیعی بهکارگرفته شده است .[10] این توابع پتانسیل در تحلیل خمشی صفحات مستطیلی همسانگرد عرضی برای اولین بار در سال 2011 با موفقیت بهکار برده شد .[11] نوائینیا با استفاده از این توابع پتانسیل حل دقیقی برای ارتعاش آزاد صفحات مستطیلی ضخیم ارائه داد .[12]در این پژوهش با استفاده از توابع پتانسیل اسکندری قادی، حل تحلیلی مسئله ارتعاش آزاد تیر عمیق مستطیلی با ضخامت ثابت با تکیهگاههای ساده ارائه شده است.ویژگی عمده روش ارائه شده در آن است که بدون فرض سادهکننده خاصی نظیر توزیع تنش یا تغییرمکان در ضخامت تیر و یا اعمال ضریب تصحیح برش میتوان بسامد ارتعاش آزاد تیر را بدون محدودیت ضخامت تعیین کرد.
.2 تئوری
تیر مستطیلی همسانگرد با رفتار خطی در حال ارتعاش آزاد بر تکیهگاههای ساده در صفحات x=0 و x=l در مختصات کارتزین مطابق شکل 1 که در آن محورهای x , y, z به ترتیب در امتداد طول، عرض و ضخامت تیر بوده و دارای ابعاد a, b, d است، در نظر گرفته میشود.
روابط تنش-کرنش یک محیط دلخواه همسانگرد در حالت تنش مسطح از روابط 1 تبعیت میکند :[9]
که در آن ضرایب ماتریس سختی بهصورت روابط 2 هستند:
که در آنها E مدول ارتجاعی و نسبت پواسون هستند. همچنین روابط تعادل دینامیکی برحسب توابع تغییرمکان در حالت تنش مسطح مطابق با روابط 3 است :[9]
تغییرمکان یک محیط دلخواه همسانگرد در حالت دوبعدی برحسب تابع پتانسیل تغییرمکان در غیاب نیروهای حجمی از روابط 4 بهدست میآیند :[9]
با فرض هارمونیک بودن حرکت، رابطه بین تغییرمکانهاو توابع پتانسیل را میتوان بهصورت روابط 5 و 6 بیان کرد: - 5 - - 6 -
که در آنها بسامد زاویهای حرکت و است. با جایگذاری روابط 4 و 5 و 6 در روابط 3 ، معادله حاکم بر محیط همسانگرد در حالت تنش مسطح مطابق با رابطه 7 حاصل میشوند:
- 7 - که در آن و به شکل رابطه 8 هستند:
که و سرعت اواج برشی و حجمی و بهترتیب برابر باو هستند.
با استفاده از روش جداسازی متغییرها، تابع پتانسیل F را میتوان بهصورت حاصلضرب دو تابع بهصورت معادله 9 نوشت:
مطابق شکل 1 شرایط هندسی تیر ساده بهصورت رابطه 10 میباشد:
