مقاله مقایسه تئوری های تیراویلر- برنولی و تیموشنکو در تحلیل تیرهای مستطیلی دوسرساده

word قابل ویرایش
12 صفحه
دسته : اطلاعیه ها
12700 تومان
127,000 ریال – خرید و دانلود

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

مقایسه تئوری های تیراویلر- برنولی و تیموشنکو در تحلیل تیرهای مستطیلی دوسرساده
خلاصه
در این تحقیق نتایج حل تیرهای ایزوتروپ دوسرساده توسط تئوری مقدماتی تیر و تئوری تیموشنکو با یکدیگر مقایسه میشوند. بدین منظوردر هریک از این تئوریها معادله حاکم با اقناع شرایط مرزی حل و رابطه مربوط به تغییر شکل عرضی تیر بر حسب متغیر طول به دست میآید.سپس با به کارگیری روابطی که برای میدان های تغییر مکان فرض شده است، مولفه دیگر تغییر مکان تعیین وبا به کارگیری روابط مربوطه کرنشها و تنشها در هرنقطه از طول تیر قابل تعیین می گردند. در پایان نتایج حاصل از تئوری مقدماتی و تیموشنکوو همچنین تئوری مهندسی برای تنش برشی عرضی با نتایج حاصل از اجزای محدود در وضعیت تنش مسطح که توسط نرم افزار ANSYS انجام شده است مقایسه و محدوده ای که تئوری های مذکور دارای دقت کافی میباشند تعیین میگردد.
کلمات کلیدی: تیر مستطیلی، تئوری تیر اویلر- برنولی، تئوری تیر تیموشنکو، روش اجزای محدود .

۱٫ مقدمه
بررسی رفتار تیرها از اوایل قرن ۱۸ مورد توجه قرار گرفته است . اولین تئوری در این زمینه تئوری مقدماتی تیر مبنی بر فرض اویلر- برنولی۱ میباشد که همان فرض مسطح ماندن صفحات عمود بر محور طولی تیر قبل و پس از خمش میباشد .[۱] این تئوری برای تیرهای نازک وتیرهای تحت خمش خالص دقت مناسبی دارد ولی با افزایش ارتفاع تیر و ایجادکرنشهای برشی که در تئوری مقدماتی تیر در نظر گرفته نشده است، دارای اعتبار نمیباشد. تئوری تیر تیموشنکو۲ که در سال ۱۹۲۱ ارائه گردید اثر کرنشهای برشی را در نظر میگیرد ولی توزیع کرنش برشی را در ارتفاع تیر ثابت فرض میکند، بنابراین نیاز به ضریب تصحیح برشی میباشدCowper .[2] مقادیر این ضریب را برای مقاطع مختلف محاسبه نمود.[۳] تئوری تیموشنکو از آن جهت که تابع تغییر شکل در آن نسبت به مختصه ارتفاع((z از درجه یک میباشد به تئوری مرتبه یک۳ نیز معروف می باشد. این تئوری به علت توزیع ثابت کرنش برشی در ارتفاع نمی تواند شرایط مرزی تنش برشی صفر را در سطوح بالا و پائین تیر اقناع کند، در همین راستا بعد از تئوری تیموشنکو تئوریهای مراتب بالاتر و مثلثاتی در زمینه تیر در جهت رفع این کمبود ارائه شدند که به تئوری های اصلاح شده معروف بوده و به طور وسیعی مورد استفاده قرار گرفته اند.[۴]
در این تحقیق آنالیز تیر با به کارگیری تئوری اویلر- برنولی و تئوری تیر تیموشنکو به صورت جداگانه صورت پذیرفته است که در آنها معادله دیفرانسیل حاکم مبنی برفرض اولیه میدان تغییر مکان در ارتفاع تیر به دست آمده اند.

.۲ تئوری
با در نظر گرفتن شکل۱ و بارگذاری عرضی تیر در محدوده CD که به صورت خمش خالص میباشد، روابط حاکم بر تئوری مقدماتی تیر بر اساس فرض اویلر- برنولی ارائه میگردد.

با توجه به دیاگرام لنگر در این تیر در فاصله CD که خمش خالص را نشان میدهد، دو صفحه عمود بر مقطع عبوری از op وmn تحت این بارگذاری به صورت صفحه باقی مانده و فقط به مقدار کمی دوران میکنند وصفحات عمود بر تارهای طولی همچنان عمود باقی میمانند. این فرض به نام فرض اویلر-برنولی مشهور است، طبق این فرض تمام صفحات مستوی قبل و پس از خمش مانند صفحات صلب مقداری دوران کرده به طوری که بر خطوط طولی عضو همچنان عمود می با شند در نتیجه طبق این فرض، کرنش در راستای مقطع به صورت خطی تغییر میکند. این فرض هیچ ارتباطی با مشخصات مصالح از نظر الاستیک و غیر الاستیک و یا خطی و غیر خطی بودن ندارد. اگر قسمتی از تیر شکل ۱ که بین خطوط op وmn قرار گرفته را در نظر بگیریم این مقطع طوری خم میشود که تارهای بالایی فشرده و تارهای پایینی کشیده میشود. چون صفحات در مقطع به صورت تخت باقی میمانند به عبارت دیگر کرنش در مقطع خطی است، باید در این تیر صفحه ای وجود داشته باشد که هیچگونه تغییر طولی در این صفحه رخ ندهد که این صفحه را سطح خنثی می نامند و تقاطع این سطح با هر مقطع عرضی محوری است که به آن محور خنثی گفته می شود در نتیجه اگر طول اولیه عضو d باشد طول این سطح نیز d باقی میماند. در شکل ۲که مقطع طولی این سطح نشان داده شده است این محور خط EF میباشد.[۵]

در این حالت اگر زاویه به وجود آمده بین دو مقطع باشد و همچنین شعاع انحنای مربوط به این انحنابه صورت زیر میباشد.[۵]

طول کمان’ ss از رابطه زیر قابل تعیین می باشد:

به این ترتیب کرنش در راستای x برای تار ss’ خواهد شد:

چنانچه ملاحظه میشودکرنش طولی با فاصله z از تارخنثی متناسب است یعنی کرنش در مقطع به صورت خطی تغییر میکند.[۵]
فرض صفحه ماندن سطح مقطع تیر بعد از خمش یکی از پر کاربردترین و مهمترین فرضیاتی است که تاکنون در مکانیک جامدات تغییر شکل پذیر معرفی شده است که تئوری مقدماتی تیر بر مبنای همین فرض بنا شده و برای مسائل خمش خالص یک راه حل دقیق است، در حالیکه اگر تیر تحت بارگذاری دیگری قرار گیرد مشاهده میشود که این فرضیه دقیق نیست، ولی روش تقریبی خوبی است که دقت نتایج وقتی با نتایج دیگر مقایسه شود به دست می آید. در واقع تئوری کلی خمش تیرهای معمولی بر پایه این فرضیه است.[۶]

شکل- ۳ هندسه تغییر شکل در تئوری اویلر- برنولی

تئوری مقدماتی تیر با این فرض که تغییر شکل طولی صفحات عمودبرمحور طولی از رابطه زیر (۴) به دست می آیدو هندسه تغییر شکل در این تئوری به صورت شکل زیر((۳ میباشد، به وجود آمده است.

که درآن تغییر مکان طولی هر نقطه، w تغییر مکان عرضی و زاویه ای است که صفحه بعد از خمش با همان صفحه قبل از خمش میسازد. با توجه به میدان تغییر مکان در این تئوری مشاهده میشود که در این تئوری تنش برشی صفر در نظر گرفته میشود .

با توجه به رابطه هوک ، تنش به صورت زیرمی باشد.

بنابراین از تعادل برای رابطه زیر به دست میآید.

از روابط تعادل بین توابع برش، لنگر و بارگذاری در تیر برقرار است. [۵]

بنابراین معادله حاکم در تئوری مقدماتی به صورت (۹) میباشد.
با توجه به رابطه((۵ تنش برشی در تئوری مقدماتی تیر صفر است ولی در تئوری تیر مهندسی رابطه زیر برای تنش برشی در نظر گرفته میشود.

که در آن برش تیر در مقطع زده شده، ممان سطح، I ممان اینرسی و t ضخامت مقطع در ارتفاع z میباشد. میدان تغییر مکان در تئوری تیموشنکو به صورت زیر میباشد.

که درآن تغییر مکان طولی هر نقطه، w تغییر مکان عرضی و  زاویه ای است که صفحه بعد از خمش با همان صفحه قبل از خمش میسازد و به صورت زیر تعریف میشود.
در تئوری تیموشنکو که هندسه تغییر شکل در آن به صورت شکل ۴ میباشد، فرض نرمال بودن صفحات نادیده گرفته میشود و روابط موجود دراین تئوری به صورت زیر میباشد.

همچنین در این تئوری تنشهاازرابطه هوک و کرنش- تغییر مکان از روابط زیر به دست میآیند:

این تئوری دقیق تر از تئوری اویلر- برنولی است ولی هنوزدرراستای ضخامت مقطع کرنش برشی ثابت است، که ضریب به عنوان ضریب تصحیح برشی معرفی می گردد.

این ضریب برای مقاطع مستطیلی ٢ / ٣  ٢ k تعیین شده است.[۲]
مقدار لنگروبرش در این تئوری بر حسب چرخش صفحات به صورت زیر میباشد:

بنابراین از رابطه ۱۶ به دست میآید.

جهت مقایسه نتایج حاصل از دو تئوری، یک تیر دوسر ساده با مشخصات ارائه شده در شکل۵ که در آن تیر تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد در نظر گرفته میشود.

رابطه لنگر در مقطع به فاصله x از محل تکیه گاه به صورت زیر میباشد.

با انتگرال گیری از رابطه (۷) در تئوری اویلر-برنولی، شکل کلی تابع تغییر مکان عرضی به صورت زیر به دست میآید.

با اعمال شرایط مرزی در لبه های x=0,l رابطه (۱۹) به فرم نهایی زیر در میآید

همچنین تغییر مکان تیردر جهت x از رابطه (۴) به صورت زیر به دست میآید.

در نهایت برای تنشهای نرمال و برشی تیر مطابق روابط (۵) و((۶ به دست میآید.

با جایگذاری رابطه لنگر (۱۸) در رابطه (۱۵) و انتگرال گیری برای آنالیز تیر توسط تئوری تیموشنکو دوران صفحات قائم نسبت به محور اولیه شان بر اساس لنگر مقطعی به فاصله x از تکیه گاه از رابطه زیر به دست میآید.

تیر مورد مطالعه یک تیر دوسر ساده متقارن میباشد بنابراین میتوان از شرط مرزی برای پیدا کردن ضریب ثابتC1 استفاده نمود. با اعمال این شرط مرزی C1به صورت زیر به دست میآید.

بنابراین برای تابع به دست میآید.

تابع تغییر مکان عرضی با به کارگیری رابطه (۱۷) و انتگرال گیری از آن به دست میآید.

با قراردادن شرایط مرزی w(0)=W(l)=0 تابع w به شکل زیربه دست میآید:

بنابراین با توجه به رابطه (۱۱) تابع تغییر مکان به دست میآید:

بنابراین باتوجه به رابطه((۱۲ و (۱۳) تنش نرمال و تنش برشی به دست میآید:

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 12700 تومان در 12 صفحه
127,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد