بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مقایسه تئوري هاي تیراویلر- برنولی و تیموشنکو در تحلیل تیرهاي مستطیلی دوسرساده
خلاصه
در این تحقیق نتایج حل تیرهاي ایزوتروپ دوسرساده توسط تئوري مقدماتی تیر و تئوري تیموشنکو با یکدیگر مقایسه میشوند. بدین منظوردر هریک از این تئوريها معادله حاکم با اقناع شرایط مرزي حل و رابطه مربوط به تغییر شکل عرضی تیر بر حسب متغیر طول به دست میآید.سپس با به کارگیري روابطی که براي میدان هاي تغییر مکان فرض شده است، مولفه دیگر تغییر مکان تعیین وبا به کارگیري روابط مربوطه کرنشها و تنشها در هرنقطه از طول تیر قابل تعیین می گردند. در پایان نتایج حاصل از تئوري مقدماتی و تیموشنکوو همچنین تئوري مهندسی براي تنش برشی عرضی با نتایج حاصل از اجزاي محدود در وضعیت تنش مسطح که توسط نرم افزار ANSYS انجام شده است مقایسه و محدوده اي که تئوري هاي مذکور داراي دقت کافی میباشند تعیین میگردد.
کلمات کلیدي: تیر مستطیلی، تئوري تیر اویلر- برنولی، تئوري تیر تیموشنکو، روش اجزاي محدود .
1. مقدمه
بررسی رفتار تیرها از اوایل قرن 18 مورد توجه قرار گرفته است . اولین تئوري در این زمینه تئوري مقدماتی تیر مبنی بر فرض اویلر- برنولی1 میباشد که همان فرض مسطح ماندن صفحات عمود بر محور طولی تیر قبل و پس از خمش میباشد .[1] این تئوري براي تیرهاي نازك وتیرهاي تحت خمش خالص دقت مناسبی دارد ولی با افزایش ارتفاع تیر و ایجادکرنشهاي برشی که در تئوري مقدماتی تیر در نظر گرفته نشده است، داراي اعتبار نمیباشد. تئوري تیر تیموشنکو2 که در سال 1921 ارائه گردید اثر کرنشهاي برشی را در نظر میگیرد ولی توزیع کرنش برشی را در ارتفاع تیر ثابت فرض میکند، بنابراین نیاز به ضریب تصحیح برشی میباشدCowper .[2] مقادیر این ضریب را براي مقاطع مختلف محاسبه نمود.[3] تئوري تیموشنکو از آن جهت که تابع تغییر شکل در آن نسبت به مختصه ارتفاع((z از درجه یک میباشد به تئوري مرتبه یک3 نیز معروف می باشد. این تئوري به علت توزیع ثابت کرنش برشی در ارتفاع نمی تواند شرایط مرزي تنش برشی صفر را در سطوح بالا و پائین تیر اقناع کند، در همین راستا بعد از تئوري تیموشنکو تئوريهاي مراتب بالاتر و مثلثاتی در زمینه تیر در جهت رفع این کمبود ارائه شدند که به تئوري هاي اصلاح شده معروف بوده و به طور وسیعی مورد استفاده قرار گرفته اند.[4]
در این تحقیق آنالیز تیر با به کارگیري تئوري اویلر- برنولی و تئوري تیر تیموشنکو به صورت جداگانه صورت پذیرفته است که در آنها معادله دیفرانسیل حاکم مبنی برفرض اولیه میدان تغییر مکان در ارتفاع تیر به دست آمده اند.
.2 تئوري
با در نظر گرفتن شکل1 و بارگذاري عرضی تیر در محدوده CD که به صورت خمش خالص میباشد، روابط حاکم بر تئوري مقدماتی تیر بر اساس فرض اویلر- برنولی ارائه میگردد.
با توجه به دیاگرام لنگر در این تیر در فاصله CD که خمش خالص را نشان میدهد، دو صفحه عمود بر مقطع عبوري از op وmn تحت این بارگذاري به صورت صفحه باقی مانده و فقط به مقدار کمی دوران میکنند وصفحات عمود بر تارهاي طولی همچنان عمود باقی میمانند. این فرض به نام فرض اویلر-برنولی مشهور است، طبق این فرض تمام صفحات مستوي قبل و پس از خمش مانند صفحات صلب مقداري دوران کرده به طوري که بر خطوط طولی عضو همچنان عمود می با شند در نتیجه طبق این فرض، کرنش در راستاي مقطع به صورت خطی تغییر میکند. این فرض هیچ ارتباطی با مشخصات مصالح از نظر الاستیک و غیر الاستیک و یا خطی و غیر خطی بودن ندارد. اگر قسمتی از تیر شکل 1 که بین خطوط op وmn قرار گرفته را در نظر بگیریم این مقطع طوري خم میشود که تارهاي بالایی فشرده و تارهاي پایینی کشیده میشود. چون صفحات در مقطع به صورت تخت باقی میمانند به عبارت دیگر کرنش در مقطع خطی است، باید در این تیر صفحه اي وجود داشته باشد که هیچگونه تغییر طولی در این صفحه رخ ندهد که این صفحه را سطح خنثی می نامند و تقاطع این سطح با هر مقطع عرضی محوري است که به آن محور خنثی گفته می شود در نتیجه اگر طول اولیه عضو d باشد طول این سطح نیز d باقی میماند. در شکل 2که مقطع طولی این سطح نشان داده شده است این محور خط EF میباشد.[5]
در این حالت اگر زاویه به وجود آمده بین دو مقطع باشد و همچنین شعاع انحناي مربوط به این انحنابه صورت زیر میباشد.[5]
طول کمان' ss از رابطه زیر قابل تعیین می باشد:
به این ترتیب کرنش در راستاي x براي تار ss' خواهد شد:
چنانچه ملاحظه میشودکرنش طولی با فاصله z از تارخنثی متناسب است یعنی کرنش در مقطع به صورت خطی تغییر میکند.[5]
فرض صفحه ماندن سطح مقطع تیر بعد از خمش یکی از پر کاربردترین و مهمترین فرضیاتی است که تاکنون در مکانیک جامدات تغییر شکل پذیر معرفی شده است که تئوري مقدماتی تیر بر مبناي همین فرض بنا شده و براي مسائل خمش خالص یک راه حل دقیق است، در حالیکه اگر تیر تحت بارگذاري دیگري قرار گیرد مشاهده میشود که این فرضیه دقیق نیست، ولی روش تقریبی خوبی است که دقت نتایج وقتی با نتایج دیگر مقایسه شود به دست می آید. در واقع تئوري کلی خمش تیرهاي معمولی بر پایه این فرضیه است.[6]
شکل- 3 هندسه تغییر شکل در تئوري اویلر- برنولی
تئوري مقدماتی تیر با این فرض که تغییر شکل طولی صفحات عمودبرمحور طولی از رابطه زیر (4) به دست می آیدو هندسه تغییر شکل در این تئوري به صورت شکل زیر((3 میباشد، به وجود آمده است.
که درآن تغییر مکان طولی هر نقطه، w تغییر مکان عرضی و زاویه اي است که صفحه بعد از خمش با همان صفحه قبل از خمش میسازد. با توجه به میدان تغییر مکان در این تئوري مشاهده میشود که در این تئوري تنش برشی صفر در نظر گرفته میشود .
با توجه به رابطه هوك ، تنش به صورت زیرمی باشد.
بنابراین از تعادل براي رابطه زیر به دست میآید.
از روابط تعادل بین توابع برش، لنگر و بارگذاري در تیر برقرار است. [5]
بنابراین معادله حاکم در تئوري مقدماتی به صورت (9) میباشد.
با توجه به رابطه((5 تنش برشی در تئوري مقدماتی تیر صفر است ولی در تئوري تیر مهندسی رابطه زیر براي تنش برشی در نظر گرفته میشود.
که در آن برش تیر در مقطع زده شده، ممان سطح، I ممان اینرسی و t ضخامت مقطع در ارتفاع z میباشد. میدان تغییر مکان در تئوري تیموشنکو به صورت زیر میباشد.
که درآن تغییر مکان طولی هر نقطه، w تغییر مکان عرضی و زاویه اي است که صفحه بعد از خمش با همان صفحه قبل از خمش میسازد و به صورت زیر تعریف میشود.
در تئوري تیموشنکو که هندسه تغییر شکل در آن به صورت شکل 4 میباشد، فرض نرمال بودن صفحات نادیده گرفته میشود و روابط موجود دراین تئوري به صورت زیر میباشد.
همچنین در این تئوري تنشهاازرابطه هوك و کرنش- تغییر مکان از روابط زیر به دست میآیند:
این تئوري دقیق تر از تئوري اویلر- برنولی است ولی هنوزدرراستاي ضخامت مقطع کرنش برشی ثابت است، که ضریب به عنوان ضریب تصحیح برشی معرفی می گردد.
این ضریب براي مقاطع مستطیلی ٢ / ٣ ٢ k تعیین شده است.[2]
مقدار لنگروبرش در این تئوري بر حسب چرخش صفحات به صورت زیر میباشد:
بنابراین از رابطه 16 به دست میآید.
جهت مقایسه نتایج حاصل از دو تئوري، یک تیر دوسر ساده با مشخصات ارائه شده در شکل5 که در آن تیر تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد در نظر گرفته میشود.
رابطه لنگر در مقطع به فاصله x از محل تکیه گاه به صورت زیر میباشد.
با انتگرال گیري از رابطه (7) در تئوري اویلر-برنولی، شکل کلی تابع تغییر مکان عرضی به صورت زیر به دست میآید.
با اعمال شرایط مرزي در لبه هاي x=0,l رابطه (19) به فرم نهایی زیر در میآید
همچنین تغییر مکان تیردر جهت x از رابطه (4) به صورت زیر به دست میآید.
در نهایت براي تنشهاي نرمال و برشی تیر مطابق روابط (5) و((6 به دست میآید.
با جایگذاري رابطه لنگر (18) در رابطه (15) و انتگرال گیري براي آنالیز تیر توسط تئوري تیموشنکو دوران صفحات قائم نسبت به محور اولیه شان بر اساس لنگر مقطعی به فاصله x از تکیه گاه از رابطه زیر به دست میآید.
تیر مورد مطالعه یک تیر دوسر ساده متقارن میباشد بنابراین میتوان از شرط مرزي براي پیدا کردن ضریب ثابتC1 استفاده نمود. با اعمال این شرط مرزي C1به صورت زیر به دست میآید.
بنابراین براي تابع به دست میآید.
تابع تغییر مکان عرضی با به کارگیري رابطه (17) و انتگرال گیري از آن به دست میآید.
با قراردادن شرایط مرزي w(0)=W(l)=0 تابع w به شکل زیربه دست میآید:
بنابراین با توجه به رابطه (11) تابع تغییر مکان به دست میآید:
بنابراین باتوجه به رابطه((12 و (13) تنش نرمال و تنش برشی به دست میآید:
