بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله ارتعاش آزاد نانو ورق مستطیلی پیزوالکتریک هدفمند با بکارگیری تئوری الاستیسیته غیر محلی تغییر شکل برشی مرتبه اول - میندلین - مورد بررسی قرار گرفته است. در این بررسی ماده هدفمند از ترکیب دو ماده پیزوالکتریک PZT-4 PZT-5H تشکیل گردیده است. با در نظر گرفتن فرضیات تنش صفحهای، بر اساس تئوری الاستیسیته غیر محلی تغییر شکل برشی مرتبه اول - میندلین - ، و با بکارگیری اصل همیلتون معادلات دیفرانسیل کوپل حاکم بر رفتار ارتعاشی نانو ورقهای مستطیلی پیزوالکتریک هدفمند استخراج گردیده است. برای بدست آوردن پاسخ فرکانسی نانو ورق مستطیلی از حل دقیق ناویر استفاده شده است. در نهایت تاثیر پارامترهای مقیاس کوچک و شاخص گرادیان ماده هدفمند روی شکل فرکانس اول نانو ورق مستطیلی پیزوالکتریک هدفمند مورد بحث و بررسی قرار گرفته است.
کلمات کلیدی: تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول؛ غیر محلی؛ پیزوالکتریک؛هدفمند. ×
1.مقدمه
کاربرد وسیع ورق در صنعت و نیز هندسه جالب توجه آن که میتواند مساله جسم دوبعدی را بهطور کامل در برگیرد موجب تلاشهای بسیار برای حل مسائل استاتیک و دینامیک ورق گردیده است. در طول سالیان تئوریهای حل مساله ورق توسعه دائم داشتهاند که همزمان به ساده و دقیق کردن حل مساله پرداختهاند. مواد پیزوالکتریک با توجه به ویژگی تبدیل انرژی های الکتریکی و مکانیکی به هم کاربرد وسیعی در حسگرها و عملگرها جهت کنترل سیستم های مختلف یافته اند لذا بررسی رفتار این مواد جایگاه خاصی در پژوهش های امروزه دارد. در این تحقیق مساله ارتعاش آزاد ورق معمولی و نانو مستطیلی مسطح پیزوالکتریک ساخته شده از مواد هدفمند بررسی خواهد شد که هدف آن به دست آوردن فرکانسهای طبیعی و شکل مدهای ارتعاشی میباشد.
تئوری حاکم بر مساله تئوری تغییر شکل برشی مرتیه اول میندلین بر پایه تئوری الاستیسیته غیر محلی است که برای تحلیل این موارد از روش تحلیلی ناویر بهره گرفته شده است که شرایط مرزی تکیه گاه ساده را در بر می گیرد. علیرغم آن که از تولید و معرفی مواد هدفمند و پیزوالکتریک سالیانی بیش نمی گذرد اما تحقیقات بر روی این مواد همچنان گسترده و پر طرفدار می باشد 1]و[2 به علت نیاز به تغییر شکل های خیلی بزرگ در محرک های پیزوالکتریک، دسته ای دیگر از مواد که از ترکیب خواص این دو طیف گسترده بدستآمده اند مواد پیزوالکتریک هدفمند می باشند.[3] موادی که در آن ها خواص مکانیکی و الکتریکی پیزوالکتریک ها از سطحی به سطح دیگر متغیر می باشد.
یکی از زمینه های تحقیقاتی گسترده و مورد توجه در مورد مواد هدفمند، پیزوالکتریک و پیزوالکتریک هدفمند، تحلیل ارتعاش و کمانش ورق ها،پوسته ها و تیرها توسط تئوری های گوناگون است.از تئوری های حالت تنش صفحه ای بکار برده شده در تحلیل ارتعاش و کمانش ورق، می توان به تئوری های تغییر شکل برشی نمایی ، مثلثاتی و هایپربولیک اشاره نمود. در زمینه ارتعاشات و پایداری دینامیکی، به عنوان نمونه،تحلیل ارتعاشات آزاد ورق مستطیلی بر اساس تئوری سه بعدی توسط چن و دینگ[4]، طراحی ماده پیزوالکتریک هدفمند برای کاربردهای تحریک فرکانس پایین توسط پاتل و وایش[5[، تحلیل خمش استاتیک، ارتعاشات آزاد و پاسخ دینامیکی ورق مستطیلی تحت بارگذاری الکترومکانیکی توسط بهجت و همکاران[6[، ارتعاشات آزاد و اجباری ورق چهار طرف تکیه گاه ساده توسط ژانگ و یو [7[ قابل ذکر می باشند.
در مورد تحقیق روی مواد هدفمند تحلیل ارتعاش ازاد ورق مستطیلی هدفمند بر پایه تئوری تغییر شکل برشی توسط حسینی هاشمی و همکاران [8]صورت گرفته است و اثر بستر الاستیک روی فرکانس های طبیعی بررسی شده است. محمد تالها و سینق[9] به بررسی ارتعاش و تحلیل استاتیکی صفحات از مواد هدفمند با بکارگیری تئوری تغییر شکل برشی مرتبه سوم پرداخته اند همچنین تحلیلی برای ارتعاش آزاد صفحات هدفمند توسط ژاو و همکاران[10] ارائه گردیده است ایشان از تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول برای محاسبه کرنش برشی عرضی و اینرسی چرخشی بهره گرفته اند. حسینی هاشمی و همکاران[11] یک حل بسته دقیق بر پایه تحلیل ارتعاش آزاد صفحات ضخیم هدفمند بر اساس تئوری تفییر شکل برشی مرتبه سوم ارائه کرده اند.
یانگ و همکاران [12] تاثیرات محیط حرارتی بر روی ارتعاش ورق هدفمند را مورد تحلیل قرار دادند و همچنین در این راستا لی و همکاران[13] نیز به بررسی ارتعاشی ورق هدفمند در محیط حرارتی پرداخته اند. در زمینه تحلیل ارتعاش و کمانش ورق¬های ساخته شده از مواد هدفمند، جواهری و اسلامی کمانش ورق ساخته شده از ماده هدفمند تحت بارگذاری¬های حرارتی [14] و مکانیکی [15] را براساس تئوری کلاسیک با شرط مرزی چهار طرف تکیه¬گاه ساده بررسی کردند. همچنین با توجه به اهمیت مواد نانو در صنایع نوین حسینی هاشمی و همکارانش[16] تحلیل کمانش و ارتعاش آزاد نانو ورق مستطیلی با استفاده از تئوری غیر محلی تغییر شکل برشی مرتبه سوم را با در نظر گرفتن اثرات مقیاس کوچک در کمانش و رفتار ارتعاش عرضی از نوع لوی نانو ورق مستطیلی را بر اساس تئوری مرتبه سوم صفحه تغییر شکل برشی غیر محلی ردی انجام دادند.
همچنین ایشان [17]حل دقیق ارتعاشات ازاد نانو ورق های مستطیلی میندلین را با استفاده از تئوری الاستیسیته ی غیر محلی مورد بررسی قرار دادند.آن ها فرکانس های طبیعی را برای شرایط مرزی لوی - دو لبه ی ورق با تکیه گاه ساده و بقیه شرایط مرزی دلخواه - مورد بررسی قرار دادند و نتایج حاصله را با نتایج چندین مقاله دیگر مقایسه کردند و در نهایت تاثیر نرخ ضخامت به طول و نرخ طول به عرض را بر روی فرکانس طبیعی مورد بررسی قرار دادند. پرادهان و فادیکار [18] با استفاده از تئوری های الاستیسیته ی غیر محلی ارتعاشات نانو ورق ها را مورد بررسی قرار دادند.
آن ها با استفاده از تئوری کلاسیک ورق - CLPT - و تئوری تغییر شکل برشی مرتبه ی اول - FSDT - ورق روابط دیفرانسیل غیر محلی را بکار بردند ومعادلات جابجایی در تئوری غیر محلی را بدست آوردند همچنین با استفاده از روش ناویر معادلات دیفرانسیل ورق را برای شرایط مرزی با تکیه گاه ساده بدست آوردند و با استفاده از تئوری غیر محلی تاثیر پارامتر نانو را در فرکانس های طبیعی مورد بررسی قرار دادند و روابط بدست آمده را برای نانو ورق های دو لایه توسعه دادند.همچنین تاثیر پارامتر نانو, طول, ضخامت, مدول الاستیسیته و سختی بستر را بر فرکانس مورد بررسی قرار دادند. لیانگ و همکاران [19] به بررسی ارتعاش میکرو ورق میندلین با استفاده از تئوری تنش کوپل اصلاح شده پرداختند. اکسنسر و همکاران [20] ارتعاش و کمانش نانو ورق را با تئوری غیر محلی انجام دادند. آقابابایی و همکاران [21] در زمینه ارتعاش نانو ورق پژوهش هایی داشته اند. نتاراجن و همکاران[22] با استفاده از تئوری غیر محلی به تحلیل ارتعاش نانو ورق هدفمند پرداختند.
با توجه به کاربردهای وسیع مواد پیزوالکتریک در حسگرها و عملگرها و اهمیت دقت اندازه گیری و نیروی تولید شده در آن ها بررسی رفتار مکانیکی این گونه از مواد در جایگاه ویژه ای قرار می گیرد و در این بین بدلیل آن که مواد پیزوالکتریک در سیستم های کنترل ارتعاش نقش روزافزونی یافته اند لذا فرکانس های طبیعی و شکل مدهای ارتعاشی آن تاثیر چشمگیری در عملکرد حسگرها و عملگرها دارد که می توان برای دست یابی به فرکانس های مطلوب جهت جلوگیری از پدیده هایی مانند تشدید در اثر نزدیکی فرکانس تحریک قطعه مورد کنترل به فرکانس های طبیعی حسگر و عملگر مواد هدفمند را در ساخت این گونه ابزار برای دست یابی به رفتار و ویژگی های ارتعاشی مورد نظر بکار برد.
2.روابط و معادلات حاکم
2,1 مدل ماده هدفمند
در یک ورق هدفمند، با فرض ضخامت یکنواخت، تغییر خصوصیات ورق در راستای ضخامت آن به صورت یک چندجملهای به صورت زیر در نظر گرفته میشود:
که ومطابق با خصوصیات به ترتیب در پایین و بالای ورق است که میتوانند مدول الاستیسیته، ضریب هدایت گرمایی، ضریب انبساط خطی، چگالی و نسبت پواسون باشند و نمای کسر حجمی - شاخص گرادیان“است که میتواند بزرگتر یا مساوی صفر باشد. در این بررسی سطح پایین از جنس ماده پیزوالکتریک PZT 4 و سطح بالا PZT-5H می باشد.[23]
2,2 تئوری غیر محلی
بر اساس تئوری ارینگن معادله مشخصه غیرمحلی از رابطهی زیر بدست میآید:
در رابطه بالا تانسور تنش غیرمحلی، تانسور کرنش، و ثوابت لامه میباشند.
ثابت ماده به نام پارامتر غیرمحلی میباشد که در آن ثابتی متناسب برای هر ماده و طول مشخصه داخلی است. زمانی که پارامتر غیر محلی باشد رابطهی ساختاری محلی یا همان قانون هوک بدست میآید.
انرژی کرنشی و جنبشی در تئوری الاستیسیته غیر محلی برای ورقی که حجم V را در بر می گیرد از رابطه زیر حاصل می گردد.
