بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، بسامدهاي ارتعاش آزاد صفحات مستطیلی ضخیم متشکل از مصالح ایزوتروپ جانبی بر روي چهار لبه ساده، به کمک توابع پتانسیل تغییرمکان تعیین شده است. مؤلفههاي تغییرمکان ورق، برحسب توابع پتانسیل تغییرمکان، بیان و با جایگذاري آنها در معادلات ناویر، معادلات حاکم، به فرم دو معادله دیفرانسیل پارهاي خطی از مرتبهي دو و چهار بهدست آمدهاند.
معادلات، به روش جداسازي متغیرها و اعمال شرایط مرزي حل و بر اساس آن، معادلهي مشخصهي ارتعاش آزاد ورق و بسامدهاي طبیعی آن تعیین شدند. نتایج، به ازاي ابعاد و ضخامتهاي مختلف ورق بهدست آمده و با نتایج سایر کارها مقایسه شدهاند.
انطباق خوب این مقایسه، دقت و اعتبار روش مورد استفاده را تأیید میکند. همچنین نتایج بهدستآمده از این پژوهش در حالت خاص ایزوتروپ کامل، با نتایج موجود از حل تحلیلی مقایسه شده است. نتایج نشان میدهد که هرچند در ورقهاي نازك، تفاوت چندانی بین مقادیر بسامد طبیعی ورقهاي ایزوتروپ و ایزوتروپ جانبی وجود ندارد، اما با ضخیم شدن ورق و یا بالا رفتن مودهاي ارتعاشی، این تفاوت افزایش مییابد.
1. مقدمه
صفحات مستطیلی ازجمله سازههاي متداولی هستند که در شاخههاي مختلف مهندسی مثل مهندسی سازه، دریا، مکانیک و هوافضا کاربرد دارند. ازاینرو مطالعهي رفتار ارتعاش آزاد آنها و یافتن فرکانسهاي طبیعی، بهعنوان مهمترین عامل در طراحی دینامیکی سازهها ضرورت دارد. مطالعهي ارتعاش آزاد صفحات به سال 1800 و آزمایشات چلادنی برمیگردد.
او ارتعاش آزاد ورق مربعی با لبههاي آزاد را بررسیکرد و مودهاي ارتعاشی آن را بهدست آورد. پس از او ارتعاش صفحات مورد توجه قرارگرفت و کارهاي زیادي درمورد تحلیل ارتعاشات منتشر شد که اغلب آنها به ارتعاش صفحات نازك بر پایهي تئوري ورق کیرشهوف استوار است. لیسا [2]، مرور جامعی از این تحقیقات را در کتاب خود ارئه کرده است. با پیشرفت تکنولوژي استفاده از ورقهاي ضخیم در صنعت گسترشیافته است. اگر تئوري ورق نازك براي طراحی این ورقها استفاده شود، پاسخها غیرمطمئن خواهند بود؛ چراکه در تئوري ورق نازك اثرات تغییر شکل برشی و اینرسی دورانی نادیده گرفته میشود و این موضوع باعث تخمین بیشتر فرکانسهاي ارتعاش میشود. این خطا با ضخیمتر شدن ورق افزایش مییابد.
میندلین و همکارانش [5-4] در سال 1956،ارتعاش آزاد ورق نسبتاً ضخیم مستطیلی با لبههاي ساده را، با فرض توزیع تنش برشی ثابت در امتداد ضخامت ورق، به دست آوردند. در این تئوري که به تئوري برشی مرتبه اول معروف است، اثر تغییرشکلهاي برشی درنظرگرفته شده است و با احتساب اثر اینرسی دورانی در معادلات دینامیکی، نتایج حاصل از تئوري کلاسیک که براي ورقهاي نازك میباشد، بهبود دادهشده است. در این تئوري، براي جبران خطاي ناشی از توزیع فرضی تنش برشی از ضریب تصحیح برشی استفاده میشود.
پسازآن تئوريهاي مرتبهي بالاتر ورق ازجمله تئوري برشی مرتبهي سوم، توسط ردي معرفی شد که در آن نیازي به کاربرد ضریب تصحیح برشی نیست و توزیع تنش برشی را سهمی فرض میکند که دقت نتایج حاصل را بیشتر میکند
لیو و همکاران[8]، مرور جامعی از مطالعات صورت گرفته بر روي ارتعاش آزاد ورقهاي ضخیم مستطیلی ارائه نمودند.
برت و همکارانش[9]، تئوري صفحهي میندلین را براي ارتعاش صفحات مستطیلی ضخیم با مواد مرکب به کاربردند. نتایج به دو روش المان محدود و حل تحلیلی بسته براي ورقهاي ارتوتروپیک تک لایه و دولایه با تکیهگاههاي ساده محاسبه شد.
سعیدي و آتشی پور[10]، در سال 2008، حل تحلیلی ارتعاشات آزاد ورقهاي ضخیم مستطیلی ایزوتروپ جانبی را بر اساس تئوري برشی مرتبه اول ارائه کردند.
هاشمی و همکارانش[11] در سال 2012، بر پایهي تئوري برشی مرتبه سوم ردي و با استفاده از اصل همیلتون، معادلات حاکم بر ارتعاش آزاد ورق مستطیلی ضخیم ایزوتروپ جانبی را براي سه شرایط مرزي مختلف به دست آوردند. این معادلات به روش تحلیلی حل و مقادیر فرکانسهاي طبیعی و شکل مودهاي مربوط به آنها به دست آمد.
استفاده از تئوري سه بعدي کشسانی که شرایط تنشهاي سهبعدي ورقهاي ضخیم را در نظر میگیرد، در تحلیل ارتعاشی این ورقها، دقت نتایج را افزایش میدهد. در این تئوري، کاربرد توابع پتانسیل، بهخصوص توابع پتانسیل تغییر مکان بسیار کارا و مؤثر است.
نوایی نیا [12]، در سال 1393، با استفاده از توابع پتانسیل تغییر مکان - توابع پتانسیل اسکندري قادي - ، حل دقیق معادلات سهبعدي کشسانی ارتعاش آزاد صفحات مستطیلی ایزوتروپ همگن با ضخامت ثابت و با لبههاي ساده را ارائه کرد که ضمن اقناع معادلات دیفرانسیل حاکم، شرایطمرزي را دقیقاً رعایت میکند. در پژوهش حاضر، حل اخیر براي صفحات ایزوتروپ جانبی تعمیم دادهشده است. در این روش، برخلاف تئوريهاي برشی موجود، توزیع فرضی تنش برشی در ضخامت ورق، درنظر گرفته نمیشود و از کرنش نرمال جانبی - - zz نیز صرفنظر نمیشود. عمده مزیت روش ارائه شده در این تحقیق، اعتبار نتایج براي صفحات با ضخامت دلخواه اعم از نازك، ضخیم نسبی و ضخیم میباشد.
2. تئوري
صفحهي مستطیلی به ضخامت h ، شامل مصالح الاستیک خطی و ایزوتروپ جانبی بر روي لبههاي ساده، مطابق شکل - 1 - در نظرگرفته میشود. صفحهي xy ، مطابق با صفحهي ایزوتروپی و محور z را عمود بر آن در نظر میگیریم. ابعاد صفحه، شامل؛ طول، عرض و ضخامت، بهترتیب برابر با h , b , a میباشد.
شکل.1 ابعاد و مختصات صفحهي مستطیلی ایزوتروپ جانبی بر روي تکیه گاه هاي ساده.
