بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
آناليز ارتعاش آزاد ورق مستطيلي ايزوتروپيک با ترک و وصله سراسري به موازات لبه
چکيده
در اين مقاله با استفاده از تئوري کلاسيک ، ارتعاش آزاد ورق مستطيلي ايزوتروپيک با ترک سراسري به موازات لبه ، تعمير شده بوسيله وصله سراسري ايزوتروپيک تحليل گرديده است . اثر متغيرهاي هندسي ترک (عمق ترک و محل قرار گيري آن )، متغيرهاي وصله (ابعاد، خواص مکانيکي و محل قرار گيري آن ) بر فرکانس طبيعي سيستم بررسي شده است . جهت بررسي دقت روش ارائه شده ، نتايج حاصله با نتايج حاصل از حل اجزا محدود نرم افزار آباکوس ١ مورد مقايسه قرار گرفته است .
واژه هاي کليدي
ارتعاش آزاد، ورق مستطيلي، ترک سراسري ، وصله
مقدمه
ورق ها در بسياري از زمينه هاي علوم مهندسي کاربرد وسيعي دارند. از اين رو بررسي مشخصات ديناميکي سازه هاي ورقي و عوامل موثر بر آن براي عملکرد مطلوب در محيط هاي ارتعاشي مفيد و ضروري است . عيوب سازه اي ممکن است در حين ساخت سازه يا در طول عمر آن به دليل قرار گرفتن در معرض محيط کار، ضربه خوردن و يا تحمل بار اضافي ايجاد گردد. از عيوب موثر بر مشخصات ديناميکي در سازه هاي ورقي، ترک ها مي باشند. براي بازگرداندن يکپارچگي سازه اي، قطعه آسيب ديده تعمير مي گردد .
تعمير، ايجاد يک اتصال است و از جمله اتصال هاي مطلوب در سازه ها، اتصال چسبي است . ارتعاش ورق هاي ترک دار و ورق هاي با جرم متصله در گذشته مورد بررسي قرار گرفته اند. خادم و رضايي [١و٢] براي تشخيص ترک ورق هاي مستطيلي تحت بارهاي يکنواخت ، روشي تحليلي بوسيله آناليز ارتعاش آزاد ارائه نمودند. ملک زاده و همکاران [٣] ارتعاش آزاد ورق مستطيلي به همراه جسم متصله گسترده را با در نظر گيري اثر سفتي جسم متصله و با استفاده از تئوري برشي مرتبه بالا بررسي نمودند. کومپاز٢ و تلي ٣ [٤] با استفاده از تئوري کلاسيک و روش گالرکين ، روشي تحليلي را جهت يافتن مقادير ويژه ورق مستطيلي به همراه جرم توزيع شده يکنواخت ارائه نمودند. علي بيگلو و همکاران [٥و٦] ارتعاش آزاد و اجباري ورق کامپوزيتي مستطيلي به همراه جرم توزيع شده متصله را با استفاده از تئوري برشي مرتبه سوم بررسي نمودند. حسيني هاشمي و همکاران [٧] روش تحليلي جهت تعيين فرکانس طبيعي ورق با يک يا چند ترک سراسري که به موازات لبه مي باشد را ارائه نمودند.
تعريف مساله
ورق مستطيلي ايزوتروپيک با ترک سراسري به موازات محور طولي فرض شده است . جهت تعمير ترک، وصله سراسري به صورت متقارن بر روي ترک تعبيه گرديده است . شرايط مرزي ورق ، لبه هاي مفصل در نظر گرفته شده است . مشخصات مکانيکي و هندسه ورق ، وصله و ترک در جدول ١ و شکل شماره ١ ارائه و درکليه بخش هاي مقاله بجز مواردي که اشاره شده ، مورد استفاده قرار گرفته است .
ارتعاش آزاد ورق با ترک و وصله سراسري برمبناي روش کلاسيک ، تحليل و فرکانس هاي طبيعي سيستم در مودهاي مختلف ارتعاشي بدست آورده شده است . نتايج با حل اجزاي محدود نرم افزار آباکوس و در يک مورد با مقاله خادم و رضايي [١] مقايسه گرديده است . همچنين اثر عمق و محل قرارگيري ترک، محل تعبيه وصله ، عرض ، ارتفاع و مدول الاستيک وصله بر فرکانس پايه سيستم مورد بررسي قرار گرفته است .
معادلات حاکم بر ورق
معادله ورق کلاسيک مطابق رابطه زير است [٨] :
که w0 تغييرمکان در راستاي محور z(ارتفاع ورق ) ،y,x محورهاي مختصات کارتزين در راستاي طولي و عرضي ورق ، بالا نويس نشانگر مشتق دوم تغيير مکان نسبت به زمان ،D سفتي خمشي و I0 ممان اينرسي ورق است که :
به ترتيب مدول الاستيک ، ارتفاع ، ضريب پواسون و چگالي ورق مي باشد.
معادله (١) به صورت بدون بعد بازنويسي شده است [١] :
که به ترتيب طول و عرض ورق مشيرايباط شدم.رزي ورق ، لبه هاي مفصل در نظر گرفته شده است . لذا با در نظر گرفتن شرايط تکيه گاهي ورق ، تابع بدون بعد w0 به صورت زير فرض گرديده است [١]:
Y تابعي نامعلوم از متغير به ترتيب فرکانس طبيعي سيستم و زمان است .
با جايگذاري رابطه (٥) در رابطه (٤) و توجه به اينکه در حالت کلي مخالف صفر است ، داريم :
معادله مشخصه رابطه (٥) به صورت زير بيان گرديده است :
که در آن :
با حل معادله (٦)، جواب هاي q به صورت زير حاصل گرديده است :
با فرض داريم :
بنابراين جواب معادله به صورت زير حاصل شده است :
همچنين ، Am,Bm,Cm,Dm ضرايب نامعلوم بوده و پس از ارضاي شرايط مرزي و سازگاري حاصل مي شود.
مدل سازي اثر ترک سراسري
ترک به صورت سراسري و با عمق محدود h٠ به موازات لبه عرضي ورق در نظر گرفته شده و فرض گرديده که درکليه مراحل آناليز به صورت باز و رشدناپذير باشد.خادم و رضايي [١] نشان دادند شيب اضافي در اثر وجود ترک در يک ورق مستطيلي به صورت زير حاصل مي گردد:
و مطابق [٩] :
که نسبت عمق ترک به ارتفاع ورق مي باشد. رابطه (١١) براي صادق است .
معادلات حاکم بر ورق با ترک و وصله سراسري
جهت حل معادله ورق با ترک و وصله سراسري در راستاي محور طولي، ورق مطابق شکل ١ به چهار قسمت تقسيم گرديده است .
مطابق روابط (٧) و (٩) مقادير براي بخش هاي مختلف سيستم شکل شماره ١ به صورت زير محاسبه گرديده است :
که انديس هاي ١,٢,٣,٤ مربوط به بخش هاي مشخص شده در شکل شماره ١ بوده و انديس هاي p,s به ترتيب نشانگر ورق به همراه وصله و ورق است ، همچنين داريم :
و :
جواب معادله با توجه به تقسيم بندي انجام شده به صورت زير حاصل شده است :
با اعمال شرايط مرزي لبه ي از نوع مفصل در جهت داريم :
با جايگذاري ضرايب حاصله (١٩) در روابط (١٨) و جايگذاري روابط (١٨) در رابطه (٤) ، به صورت زير بازنويسي گرديده است :
با اعمال شرايط سازگاري ورق ، وصله و ترک سراسري داريم :
که در آن
با جايگذاري روابط (٢١) الي (٢٥) در معادلات (٢٠) و بازنويسي به صورت ماتريسي داريم :
برخي مولفه هاي ( در ضميمه آورده شده است . دستگاه معادلات (٢٦) زماني داراي جواب است که دترمينان Lij برابر صفر باشد. با حل دترمينان ، فرکانس طبيعي سيستم حاصل گرديده است .
نتايج و بحث
اعتبار سنجي
فرکانس طبيعي سيستم ، متناظر با شکل مودهاي مورد نظر به دست آمده ، در جدول شماره ٢ نشان داده شده است . براي حل دستگاه معادلات (٢٦) از نرم افزار متلب ١ و براي صحت سنجي نتايج حاصله از اين روش ، از نتايج بدست آمده از نرم افزار اجزاي محدود آباکوس استفاده شده است . در مدل اجزا محدود، از المان هاي سه بعدي مرتبه دوم ٢و با اشکال شش وجهي ٣ و گوه ٤ استفاده شده و تعداد المان هاي مورد نياز جهت همگرايي پاسخ در نظر گرفته شده است .
شکل شماره ٢ مدل اجزا محدود را نمايش مي دهد. نتايج به همراه درصد اختلاف نتايج دو روش در جدول ٢ ارائه شده است .
همچنين نتايج دو روش بدون در نظر گرفتن اثر ترک و وصله در جدول ٢ ارائه گرديده است . مقايسه مقادير فرکانس طبيعي سيستم در چهار مود فرکانسي براي حل به روش حاضر و حل اجزاي محدود رم ا ز ر آباکوس ، درصد اختلاف قابل قبولي را نشان مي دهد. جدول شماره ٢، اختلاف فرکانس سيستم در مودهاي مختلف ناشي از وجود ترک را نشان مي دهد.
