بخشی از مقاله
خلاصه
محاسبه صحیح انتقال ناشی از پخشیدگی1 در مدلسازی پدیدههایی نظیر انتقال رسوب، آلودگی، شوری، حرارت و دیگر پدیدههای هیدرولیکی بسیار مهم میباشد. بسیاری از مدلهای هیدرودینامیکی از تبدیل مختصات سیگما برای تعیین تراز سطح آزاد آب استفاده میکنند که در مقایسه با روشهایی نظیر حجم پر شده توسط سیال بسیار سریعتر و کمهزینهتر میباشد. محاسبهی مستقیم انتقال پخشیدگی در سیستم مختصات سیگما برای مواردی با سطوح شیبدار یا دارای تراز سطح آب مواج، مقادیر نادرستی را سبب میگردد. در این مقاله با استفاده از روش احجام محدود و با تعریف و بکارگیری شبکهبندی متعامد غیر منطبق در گوشه سلول، روشی برای محاسبه نرخ انتقال پخشیدگی در سیستم مختصات سیگما ارائه گردیده است. مقایسه بین جوابهای تحلیلی و نتایج آزمایش عددی انجام گرفته در این مطالعه دقت روش حاضر را نسبت به روشهای مرسوم تایید مینماید.
کلمات کلیدی: پخشیدگی افقی، شبکهبندی سیگما، شبکهبندی متعامد غیر منطبق در گوشه سلول، احجام محدود
1. مقدمه
محاسبه صحیح انتقال ناشی از پخشیدگی در مدلسازی پدیدههای هیدرولیکی و هیدرودینامیکی از اهمیت بالایی برخوردار میباشد. در مدلسازی پدیده-هایی نظیر انتقال رسوب، شوری، آلودگی و حرارت در محیط دریا و رودخانه، پخشیدگی نقش مهمی را دارا میباشد. در دهههای اخیر مدلهای عددی بطور گستردهای در مهندسی سواحل، هیدرولیک دریا و رودخانه مورد استفاده قرار گرفتهاند. به منظور پیشبینی تراز متغیر سطح آزاد سیال روشهای عددی گوناگونی پیشنهاد شده که میتوان در دو قالب کلی روش تبدیل مختصات سیگما و روشهای مبتنی بر انتقال حجم سیال دستهبندی نمود. شبکه-بندی سیگما که اولین بار توسط فیلیپس - - 1957 معرفی شد، شبکهبندی منحنیالخط غیرمتعامد منطبق با مرزی میباشد که با سطح آزاد آب و بستر محدوده محاسباتی در دو سمت منطبق میشود. از مهمترین فرضیات برای این شبکهبندی میتوان به تعداد ثابت اجزاء شبکه قائم در کل محدوده و منحنیالخط بودن، تنها در جهت طولی اشاره کرد.
در تبدیل معادلات حاکم از دستگاه مختصات کارتزین به سیستم مختصات سیگما ترمهای اضافی در معادلات حاصل میگردد. در روشهای مرسوم با صرفنظر کردن از برخی از این ترمهای اضافه شده، به حل معادلات در سیستم مختصات سیگما پرداخته میشود که باعث ایجاد خطاهای عددی میگردد. برای کاهش خطای بوجود آمده روشهای مختلفی پیشنهاد و ارائه شده است. در روش دیگر بدون تبدیل معادلات از سیستم مختصات، تنها با استفاده از شبکهبندی سیگما و حل معادلات در سیستم مختصات کارتزین به حل معادلات پرداخته میشود که در مطالعه حاضر این روش بکار گرفته شده است.
فرتناتو و باپتیستا - - 1994 مقدار پخشیدگی افقی را در فضای مختصات کارتزین و با استفاده از درونیابی خطی محاسبه کردند. در این روش برای محاسبه مقدار غلظت همتراز افقی سلول مورد نظر، از درونیابی خطی استفاده میشود. این روش ضمن مزیت خود مبنی بر حفظ تفسیر فیزیکی گرادیان افقی دارای نقایصی است که میتوان به تولید خطای عددی در مواردی با توزیع غلظت بصورت غیرخطی، اشاره کرد. ملر و بلامبرگ - - 1985 و هوانگ و اسپالدینگ - - 1996 از معادلات تبدیل دیگری برای محاسبه مستقیم پخشیدگی افقی در شبکهبندی سیگما استفاده کردند و با تبدیل معادلات پخشیدگی از دستگاه مختصات کارتزین به سیستم مختصات سیگما به حل معادله پخشیدگی افقی پرداختهاند. ترمهای اضافی ایجاد شده بدلیل تبدیل و انتقال معادلات از دستگاه مختصات کارتزین به سیستم مختصات سیگما، سبب پیچیدگی در حل معادلات میگردد که برای راحتی کار و بر اساس اهمیت ترمهای اضافی بوجود آمده، از برخی از آنها صرفنظر میگردد. تقریب روش ملر و بلامبرگ برای محاسبه پخشیدگی افقی در مختصات سیگما مشابه محاسبه در مختصات کارتزین میباشد. این کار موجب پایداری حل عددی شده و دقت قابل قبولی را در شرایط شیب بستر ملایم فراهم میآورد.
ملر و بلامبرگ - - 1985 و هوانگ و اسپالدینگ - - 1996 روشهایی بر مبنای روش اختلاف محدود پیشنهاد نمودهاند که محاسبه انتقال ناشی از پخشیدگی در شبکهبندی سیگما را بهبود میبخشد. آزمایشات عددی انجام گرفته توسط هوانگ و اسپالدینگ - - 1996 برای پخشیدگی خالص در یک حوضچه بسته، نشان داد که تقریب ملر و بلامبرگ سبب ایجاد میزان پخشیدگی مجازی در لایههای سیگما، بخصوص بر روی سطوح شیبدار، میگردد. هوانگ و اسپالدینگ - - 1996 معادله تبدیل دیگری برای ترم پخشیدگی افقی در مختصات سیگما توسعه دادند. نتایج آزمایش عددی آنها نشان داد که تقریب این روش خطاهای عددی را بطور قابل ملاحظهای کاهش میدهد. بهرحال افزودن ترمهای اضافی در معادلات تبدیل، سختیهای روش تفاضل محدود و مشکلات برنامهنویسی را افزایش میدهد. هوانگ و اسپالدینگ - - 2002 با استفاده از درونیابی چند جملهای لاگرانژی و با بکارگیری روش تفاضل محدود روشی پیشنهاد دادند که خطای حاصل شده در حل معادلات پخشیدگی در سیستم مختصات سیگما را با دقت بسیار خوب کاهش میدهد. در این روش برای محاسبه مقدار شار عبوری از مرز سلولها در جهت افقی، ابتدا با استفاده از درونیابی چند جملهای لاگرانژی مقدار غلظت همتراز افقی سلول با سلول مورد نظر، در سمت چپ و راست محاسبه میگردد.
سپس مقدار شار عبوری بر اساس اختلاف غلظت سلول مورد نظر با مقدار غلظت محاسبه شده در دو سمت سلول محاسبه میگردد. همچنین برای مرز بستر شرایط مرز پلهای را در نظر گرفتهاند که علاوه بر تطابق بیشتر با فیزیک مسئله، باعث بهبود نتایج نیز میگردد. در این مطالعه با تعریف و بکارگیری شبکهبندی پلکانی که بصورت یک شبکه متعامد غیر منطبق در گوشه سلول تعریف میشود و با استفاده از روش احجام محدود، روش دیگری پیشنهاد گردیده است و نتایج آزمایشات عددی صورت گرفته دقت روش مذکور را تایید مینماید. در انتها با توسعه یک مدل عددی و برای صحت نتایج، غلظت شوری در یک حوضچه بسته با بستری شیبدار مورد بررسی قرار گرفته است و نتایج، بهبود در محاسبه انتقال ناشی از پخشیدگی را نشان میدهد.
2. معادلات حاکم
همانطور که در شکل 1 مشاهده میشود در شبکهبندی سیگما - شکل الف - هر سلول در جهت افقی تنها با دو سلول همردیف خود مرز مشترک دارد در حالیکه در شبکهبندی پلکانی - شکل ب - که در این مطالعه معرفی و بکار برده شده است هر سلول علاوه بر سلولهای مجاور و همردیف خود، میتواند با سلولهایی که در ردیفهای پایین یا بالاتر از ردیف خود واقع شدهاند نیز مرز مشترک داشته باشد. دلیل استفاده از این شبکهبندی در این مطالعه نیز تنها بدین منظور صورت میگیرد که بتوان در جهت افقی ارتباط بیشتری را بین سلولها در نظر گرفت. حال با استفاده از شبکهبندی جدید به سراغ حل معادله پخشیدگی افقی در فضای دو بعدی قائم میپردازیم. رابطه شماره 1، معادله حاکم بر پخشیدگی در حالت یک بعدی میباشد. c مقدار غلظت و Dx ضریب پخشیدگی در جهت x میباشد. در صورت ثابت فرض نمودن ضریب پخشیدگی در مکان خواهیم داشت:
در رابطه فوق مقدار غلظت در سلول واقع در ستون i ام و ردیف j ام و در گام زمانی n+1 ام و مقدار غلظت در گام زمانی n ام میباشد. همچنین Fi+1/2 و Fi-1/2 به ترتیب مقادیر شار عبوری از وجه سمت چپ و راست سلول واقع در ستون i ام و ردیف j ام میباشد. در شبکهبندی سیگما در صورت حل مستقیم، مقدار این شار برابر اختلاف مقادیر غلظت بین دو سلول مجاور میباشد در حالیکه در شبکهبندی جدید مقدار آن از روابط زیر حاصل میگردد: Fi,j ها مقادیر شار وارد یا خارج شده از سلول واقع در ستون i و ردیف j ام میباشد که مطابق شکل 2 تعریف میشوند و در مسئله پخشیدگی مقادیر آنها از روابط 6 محاسبه میگردند. در شکل 2 شارهای Fi,1j و Fi,6j - که با خط چین نشان داده شدهاند - برابر صفر میباشند، ولی با توجه به شرایط مختلف بستر و تراز سطح آب، ممکن است تمامی شارها غیر صفر باشند.
