بخشی از مقاله
چکیده
در تحقیق حاضر معادله حاکم بر مساله تفرق امواج پیرامون یک سیلندر قائم با مقطع دایره به روش المان محدود در سطح آزاد میانگین مورد بررسی قرار گرفته است. با فرض برقراری شرایط تئوری موج خطی و قرار گیری استوانه قائم در آب عمیق، نیروی سرج ناشی از یک موج منظم با دامنه واحد بر واحد طول استوانه مدور قائم به صورت عددی تخمین زده شده است.
برای این منظور دامنه مسئله با استفاده از المان های مستطیلی 9 گرهی شبکه بندی شده است و معادلات انتگرالی بدست آمده به روش های عددی محاسبه شده اند. نتایج حاصل با نتایج تحلیلی حاصل از تئوری مک کامی و فوکس مورد مقایسه قرار گرفته است و نتایج حاصل به کمک نرم افزار MATLAB ارائه شده است. نتایج نشان می دهد که روش المان محدود روشی بسیار دقیق برای مساله مذکور بوده و دقت نتایج ارائه شده قابل قبول است.
-1 مقدمه:
موج یکی از مهمترین عوامل نیروهای محیطی در دریاست که قادر است نیروی عظیمی را به سازه های دور از ساحل و سازه های ساحلی اعمال کند.
سیلندرهای قائم یکی از پرکاربرد ترین المان ها در ساخت سازه های فراساحلی هستند. این اعضا، در ابعاد کوچکتر در سکوهای خرپایی و در ابعاد بزرگ در سکوهای ستونی و ستونی خرپایی مورد استفاده قرار می گیرند که در معرض مستقیم نیروهای ناشی از امواج دریا قرار دارند که به منظور طراحی، نصب و بهره برداری از آنها تئوری تفرق باید مورد توجه جدی قرار بگیرد. لذا برآورد درستی از نیروی وارد بر این سازه ها امری ضروری است.
محققین زیادی بر روی مسئله تفرق امواج از سیلندر قائم کار کرده اند. اولین بار این مسئله در سال 1940 برای سیلندر با مقطع دایره در آب عمیق توسط هاولوک[2]1 به روش تحلیلی حل شد. هاولوک پتانسیل سرعت را برای یک استوانه منفرد که در معرض برخورد امواج منظم در آب عمیق قرار داشت محاسبه نمود.
اومر و هال[3]2 در سال 1949 مسئله را برای آب کم عمق مورد مطالعه قرار دادند. البته اومر و هال بیشتر بر بالاروی امواج پیرامون یک جزیره دایره ای متمرکز شدند و مقایسه ای از تخمین های خود با بالاروی های مشاهده شده در اطراف جزایر کوایی ارائه داد. پس از آنها در سال 1954 مک کامی و فوکس[4]3 مسئله را برای هر عمق دلخواه حل کردند. مک کامی و فوکس نه تنها اولین افرادی بودند که در عمق دلخواه این مساله را بررسی می کردند، بلکه بیشتر تاکیدشان بر محاسبه نیروی ناشی از موج وارد بر سیلندر قائم بود. همچنین تم و چاکرابارتی[5]4 برای نسبت قطر استوانه به طول موج تا 0/12 و تا 0/54 و یک مورد نسبت 1/3 تطابق خوبی بین نتایج حاصل از تئوری مک کامی و فوکس با نتایج مشاهده شده در آزمایشگاه ها به تائید رساندند.
یکی از روش های عددی موجود، روش المان محدود است که در این تحقیق به بررسی کاربرد این روش بر روی یک استوانه قائم با مقطع دایره که در آب عمیق و در معرض برخورد موجی با دامنه واحد قرار گرفته است، پرداخته شده است و نتایج حاصل با تئوری مک کامی و فوکس مقایسه شده اند.
2 معادلات حاکم بر مساله
استوانه قائمی با مقطع دایره در آب عمیق در نظر گرفته شده است. با در نظر گرفتن قطر استوانه به عنوان بعد مشخصه و فرض بزرگ بودن بعد مشخصه در برابر طول موج و همچنین برقراری شرایط تئوری موج خطی و تئوری تفرق، معادله حاکم بر سیال پتانسیل در تئوری تفرق به صورت رابطه زیر است
که φ پتانسیل سرعت سیال است. با اعمال این حقیقت که هیچ ذره آبی از روی سطح آزاد به بیرون پرتاب نمی شود و در واقع جریانی عمود بر سطح آزاد وجود ندارد، شرط مرزی سینماتیکی را می توان به صورت زیر نوشت.
η جابجایی قائم سطح آزاد است. با فرض کوچک بودن دامنه موج، مولفه های سرعت ذره سیال و شیب موج کمیت های کوچکی خواهند بود و در نتیجه جملات غیر خطی در سمت راست رابطه - 2 - در مقایسه با جمله خطی قابل صرف نظر هستند. همچنین فرض کوتاه بودن دامنه امواج این اجازه را می دهد که شرایط مرزی سطح آب به جای سطح آزاد نوسانی در سطح آزاد میانگین - z = 0 - ارضا شود. در نتیجه شرط مرزی سینماتیکی سطح آزاد به صورت معادله زیر خطی می شود.
شرط مرزی دینامیکی سطح آزاد بیان می کند که فشار در سطح آزاد باید برابر با فشار اتمسفر باشد. این شرط با استفاده از معادله برنولی بیان می شود. در سطح آزاد که فشار نسبی صفر است، با صرف نظر کردن از جملات درجه دوم، این شرط به صورت زیر خطی می شود.
در رابطه فوق g شتاب جاذبه است. با مشتق گیری از رابطه فوق نسبت به زمان و ترکیب آن با رابطه - 3 - شرط مرزی خطی سازی شده سطح آزاد سیال به صورت زیر نوشته می شود.
مولفه قائم سرعت در تراز بستر دریا صفر است. مسطح بودن بستر دریا یکی از فرضیات متداول در مسائل موج است. در بستر دریا، به دلیل غیر قابل نفوذ بودن، جریانی عمود بر کف وجود ندارد. بنابراین بیان ریاضی شرط مرزی در بستر دریا به صورت زیر خواهد بود.
در رابطه فوق z مختصات کارتزین در راستای قائم و d عمق آب است. در صورتی که جسم ثابت باشد، در راستای عمود بر سطح جسم سرعت ذرات سیال صفر است. این شرط طبق رابطه زیر تعریف می شود.
به منظور تعیین شرط مرزی امواج پراکنده شده از سطح جسم در دوردست، کافی است از این اصل بهره ببریم که این امواج باید از نظر رابطه ریاضی به صورت امواج بیرون رونده محدود شوند. چنین اصلی سبب می گردد که تابع پتانسیل امواج پراکنده شده شرط زیر را ارضا نماید.
که در رابطه فوق φs پتانسیل امواج پراکنده شده به دلیل وجود جسم و c سرعت انتشار موج و r فاصله شعاعی از نقطه مورد نظر روی سطح جسم است. سامرفلد[8]1 در سال 1949 و استوکر[9]2 در سال 1957 نشان دادند که رابطه فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی نمود.
در رابطه فوق k عدد موج بوده و i متغیر موهومی است. شرط مرزی فوق به شرط مرزی دوردست یا سامرفلد معروف است.
-3 مدلسازی المان محدود
هدف بدست آوردن پتانسیل سرعت سیال در اطراف استوانه قائم با مقطع دایره است. پتانسیل سرعت مشتکل از پتانسیل سرعت موج برخوردی3 و پتانسیل سرعت موج پراکنده شده است.
که φI و φs به ترتیب پتانسیل سرعت های امواج برخوردی و پراکنده شده هستند.
